北京市顺义区届高考二模数学试题理及答案文档格式.docx
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7.已知是正△的中心.若,其中,,则的值为
A.B.C.D.2
8.已知点.若曲线上存在两点,使为正三角形,则称为“正三角形”曲线.给定下列三条曲线:
①;
②;
③.
其中,“正三角形”曲线的个数是
A.
B.
C.
D.
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)
9.若,则.
10.已知为等差数列,为其前项和,若,则_______.
11.设双曲线经过点(4,1),且与具有相同渐近线,
则的方程为________________;
渐近线方程为__________________.
12.曲线为参数)的对称中心到直线的距离为_______.
13.在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,他们的终边关于轴对称,
若,则.
14.已知是集合的非空子集,且当时,有.记满足条件的集合的个数为,则_______;
_______.
三、解答题(本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)
在中,内角所对的边分别为.已知,,的面积为9.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求及的值.
16.(本小题满分13分)
2018年2月25日第23届冬季奥运会在韩国平昌闭幕,中国以1金6银2铜的成绩结束本次冬奥会的征程.某校体育爱好者协会在高三年级某班进行了“本届冬奥会中国队表现”的满意度调查(结果只有“满意”和“不满意”两种),按分层抽样从被调查的学生中随机抽取了11人,具体的调查结果如下表:
某班
满意
不满意
男生
2
3
女生
4
(Ⅰ)若该班女生人数比男生人数多4人,求该班男生人数和女生人数
(Ⅱ)在该班全体学生中随机抽取一名学生,由以上统计数据估计该生持满意态度的概率;
(Ⅲ)若从该班调查对象中随机选取2人进行追踪调查,记选中的2人中对“本届冬奥会中国队表现”满意的人数为,求随机变量的分布列及其数学期望.
17.(本小题满分14分)
如图,在正三棱柱中,侧棱长和底面边长均为1,是的中点.
(Ⅰ)求证:
∥平面;
(Ⅱ)求与平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)试问线段上是否存在点,使?
若存在,求的值,若不存在,说明理由.
18.(本小题满分13分)
已知函数,其中.
(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)若不等式在定义域内恒成立,求实数的取值范围.
19、(本小题满分14分)已知椭圆的左焦点为,左顶点为,离心率为,点满足条件.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)设过点的直线与椭圆交于两点,记和的面积分别为,证明:
.
20、(本小题满分13分)已知数列.如果数列满足,,其中,则称为的“陪伴数列”.
(Ⅰ)写出数列的“陪伴数列”;
(Ⅱ)若的“陪伴数列”是.试证明:
成等差数列.
(Ⅲ)若为偶数,且的“陪伴数列”是,证明:
顺义区2018届高三第二次统练数学试卷答案(理科)
一、ADDBBCCC
二、9.1.10.1811..
12..13..14.3,
15.解:
(Ⅰ)因为的面积,
所以
所以.
因为,所以.-----------------------------------------7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知在中,由余弦定理得,
所以.----------------------------------------10分
又因为,
所以在中,由正弦定理得.
-----------------------------------13分
16.(Ⅰ)不妨设女生人数为X,男生人数为Y,则可得X-Y=4
(1)
又由分层抽样可知,
(2)
联立
(1)
(2)可解得X=24,Y=20
(Ⅱ)设该生持满意态度为事件A,则基本事件的总数有11种,事件A中包含的基本事件有6种,所以
(Ⅲ)的可能取值有0,1,2
对应的事件为从该班11名调查对象中抽取2人,2人中恰好有0人持满意态度
基本事件的总数为=55,其中包含的基本事件数有种
所以
同理:
,
所以分布列为:
1
P
所以期望
17.(Ⅰ)连结交于点O,连结OD
交于点OO是的中点
又是的中点OD是的一条中位线
∥OD又
∥平面…………………….4分
(Ⅱ)以点D为坐标原点,DB所在直线为X轴,AD所在直线为Y轴,垂直于面ABC的直线为Z轴,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(0,,0),C(,0,0)
在平面ADC1中,(0,,0),
设为平面ADC1的一个法向量,则有,即
不妨令,则,,所以
又,则
设与平面所成角为,则==
与平面所成角的正弦值为………………….9分
(Ⅲ)假设点E在线段上,使
不妨设()
(1)
(2)
由
(1)可解得又
(2)可解得
(1)与
(2)矛盾,所以这样的点E不存在………………….14分
18.解:
(Ⅰ)当时,
∴--------------------------------------------2分
则,又----------------------------------------4分
∴曲线在点处的切线方程为:
-----5分
(Ⅱ)函数定义域为,且-------6分
下面对实数进行讨论:
①当时,恒成立,满足条件------------------------------7分
②当时,由解得,从而知
函数在内递增;
同理函数在内递减,
-------------------9分
因此在处取得最小值------------10分
∴,
解得--------------------------------12分
综上:
当时,不等式在定义域内恒成立.---13分
19.解:
(Ⅰ)椭圆的标准方程为:
∴,------------------------2分
则,--------------------3分
∵,解得-------------4分
(Ⅱ)方法一:
①若直线的斜率不存在,则,,符合题意--------5分
②若直线的斜率存在,因为左焦点,则可设直线的方程为:
,
并设.
联立方程组,消去得:
---6分
∴,--------------------------------7分
∵----------------9分
∴-------------------------------------------------------------------12分
∵,
∴------------------------------------------------------------------14分
方法二:
依题意可设直线的方程为:
,并设.—5分
联立方程组,消去,得--------6分
∵------------------------------9分
∴------------------------------------------------------------------12分
20.
(Ⅰ)解:
.………………3分
(Ⅱ)证明:
对于数列及其“陪伴数列”,
因为,
……
将上述几个等式中的第这4个式子都乘以,
相加得
即
故
所以成等差数列.……………8分
(Ⅲ)证明:
因为,
由于为偶数,将上述个等式中的第这个式子都乘以,相加得
即,.………………13分
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