二次函数压轴题复习专题1线段面积最值问题含简单答案解题思路与详细解答Word格式文档下载.docx
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优先考虑作斜线:
过两已知点作斜线,这样容易求出斜线的解析式
△AFD(或右图中△BFC)的面积=1/2*铅垂线上两点纵坐标之差)*斜线上两点横坐标之差
垂线上的两点:
第1点就是作垂线时的起点(往往是抛物线上的一动点,如左、右图中的点F)
第2点是垂线与斜线(或其延长线)的交点(如左图中的点E,右图中的点Q)
左图:
S△FAD=S△FAE+S△FDE右图:
S△BFC=S△FBQ-S△FCQ
=FE•(左边△的高+右边△的高)=FQ•(△FBQ的高-△FCQ的高)
=FE•(D的横坐标-A的横坐标)=FQ•(B的横坐标-C的横坐标)
1.周长最小,面积最大
例1如图1,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣3,0),B(1,0),C(0,3)三点,其顶点为D,对称轴是直线l,l与x轴交于点H.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点,求△PBC周长的最小值及点P的坐标。
;
(3)如图
(2),若E是线段AD上的一个动点(E与A、D不重合),过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F,交x轴于点G,设点E的横坐标为m,△ADF的面积为S.
①求S与m的函数关系式;
②S是否存在最大值?
若存在,求出最大值及此时点E的坐标;
若不存在,请说明理由.
例1(拓展).(2015•深圳)如图1,关于x的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣3,0),点C(0,3),点D为二次函数的顶点,DE为二次函数的对称轴,E在x轴上.
(1)求抛物线的解析式;
(2)DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等?
若存在求出点P,若不存在请说明理由;
(3)如图2,DE的左侧抛物线上是否存在点F,使2S△FBC=3S△EBC?
若存在求出点F的坐标,若不存在请说明理由.
例3已知某二次函数的图象与轴分别相交于点和点,与轴相交于点,顶点为点。
⑴求该二次函数的解析式(系数用含的代数式表示);
如图①,当时,点为第三象限内抛物线上的一个动点,设的面积为,试求出与点的横坐标之间的函数关系式及的最大值;
如图②,当取何值时,以、、三点为顶点的三角形与相似?
例4如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣3,0)、B(1,0)、C(0,3)三点,其顶点为D,连接AD,点P是线段AD上一个动点(不与A、D重合),过点P作y轴的垂线,垂足点为E,连接AE.
(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标;
(2)如果P点的坐标为(x,y),△PAE的面积为S,求S与x之间的函数关系式,直接写出自变量x的取值范围,并求出S的最大值;
(3)在
(2)的条件下,当S取到最大值时,过点P作x轴的垂线,垂足为F,连接EF,把△PEF沿直线EF折叠,点P的对应点为点P′,求出P′的坐标,并判断P′是否在该抛物线上.
例2如图,对称轴为直线x=2的抛物线经过A(﹣1,0),C(0,5)两点,与x轴另一交点为B.已知M(0,1),E(a,0),F(a+1,0),点P是第一象限内的抛物线上的动点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)当a=1时,求四边形MEFP的面积的最大值,并求此时点P的坐标;
(3)若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形,求a为何值时,四边形PMEF周长最小?
请说明理由.
2.周长最大值
如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(2,0),交y轴于点B(0,).直线y=kx过点A与y轴交于点C,与抛物线的另一个交点是D.设点P是直线AD上方的抛物线上一动点(不与点A、D重合),过点P作y轴的平行线,交直线AD于点M,作DE⊥y轴于点E.
(1)求抛物线y=x2+bx+c与直线y=kx的解析式;
(2)探究:
是否存在这样的点P,使四边形PMEC是平行四边形?
若存在请求出点P的坐标;
若不存在,请说明理由;
(3)作PN⊥AD于点N,设△PMN的周长为l,P的横坐标为x,求l与x的函数关系式,并求出l的最大值.
3.距离之差最大值
如图,抛物线与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,已知点B的坐标为(3,0).
(1)求a的值和抛物线的顶点坐标;
(2)分别连接AC、BC.在x轴下方的抛物线上求一点M,使△AMC与△ABC的面积相等;
(3)设N是抛物线对称轴上的一个动点,d=|AN﹣CN|.探究:
是否存在一点N,使d的值最大?
若存在,请直接写出点N的坐标和d的最大值;
若不存在,请简单说明理由.
(备用图)
补充:
轴对称作图题专练
1、如图1和图2两种情况,分别在如下直线上确定M的位置,使M到A和B的距离之差的绝对值最大
2、如图1,在一条河的同一岸边有A和B两个村庄,要在河边修建码头M,使M到A和B的距离之和最短,试确定M的位置(牛喝水模型);
如图2若A与B在河的两侧,其他条件不变,又该如何确定M的位置?
4、距离之和的最小值
例1如图1,P(m,n)是抛物线y=﹣1上任意一点,l是过点(0,﹣2)且与x轴平行的直线,过点P作直线PH⊥l,垂足为H.
(1)
【探究】填空:
当m=0时,OP= ,PH= ;
当m=4时,OP= ,PH= ;
(2)
【证明】对任意m,n,猜想OP与PH的大小关系,并证明你的猜想.
(3)
【应用】如图2,已知线段AB=6,端点A,B在抛物线y=﹣1上滑动,求A,B两点到直线l的距离之和的最小值.
例2已知:
直线l:
y=﹣2,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y轴,且经过点(0,﹣1),(2,0).
(2)如图①,点P是抛物线上任意一点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q,求证:
PO=PQ.
(3)请你参考
(2)中结论解决下列问题:
(i)如图②,过原点作任意直线AB,交抛物线y=ax2+bx+c于点A、B,分别过A、B两点作直线l的垂线,垂足分别是点M、N,连结ON、OM,求证:
ON⊥OM.
(ii)已知:
如图③,点D(1,1),试探究在该抛物线上是否存在点F,使得FD+FO取得最小值?
若存在,求出点F的坐标;
若不存在,请说明理由.
5.面积取值范围
例如图,已知抛物线y=x2+bx+c(b,c是常数,且c<0)与x轴分别交于点A、B(点A位于点B的左侧),与y轴的负半轴交于点C,点A的坐标为(﹣1,0).
(1)b=,点B的横坐标为 (上述结果均用含c的代数式表示);
(2)连接BC,过点A作直线AE∥BC,与抛物线y=x2+bx+c交于点E,点D是x轴上的一点,其坐标为(2,0).当C,D,E三点在同一直线上时,求抛物线的解析式;
(3)在
(2)条件下,点P是x轴下方的抛物线上的一个动点,连接PB,PC,设所得△PBC的面积为S.
①求S的取值范围;
②若△PBC的面积S为整数,则这样的△PBC共有 个.
2016年广东省中考压轴题
二次函数压轴题复习专题1:
线段、面积最值问题答案
例1
(1)解析式为:
y=﹣x2﹣2x+3;
(2)①△PBC周长的最小值为3+.
②点P(-1,2)
(3)①S=(﹣m2﹣4m﹣3)×
2=﹣m2﹣4m﹣3;
②S最大值为1,此时点E的坐标为(﹣2,2).
例1(拓展).(2015•深圳)
(1)y=﹣x2﹣2x+3,
(2)存在,P为(﹣1,﹣1)或(﹣1,﹣﹣1);
(3)F(,).
例2
(1)y=﹣x2+4x+5.
(2)当a=1时,四边形MEFP的面积有最大值为,此时点P坐标为(,).
(3)a=时,四边形PMEF周长最小.
例3⑴解析式为
⑵,当时,有最大值
⑶当时,以、、三点为顶点的三角形与
例4⑴解析式为y=﹣x2﹣2x+3定点D(﹣1,4).
(2)求得AD解析式:
y=2x+6,
∴S△APE=1/2•PE•yP=1/2•(﹣x)•(2x+6)=﹣x2﹣3x(﹣3<x<﹣1),
当x=﹣3/2时,S取最大值9/4
(3)P′(,).∴点P′不在该抛物线上.
(1)∴抛物线的解析式是y=x2﹣x+,直线的解析式是y=x﹣,
(2)存在两点符合题意的P(﹣2,3)和(﹣4,),使四边形PMEC是平行四边形,
(3)l=﹣x2﹣x+=﹣(x+3)2+15,﹣8<x<2,
当x=﹣3时,l的最大值是15.
(1)a=﹣,顶点坐标(﹣,);
(2)M(﹣9,﹣4);
(3)N(﹣,3),d的最大值为BC=.
例1
(1)解:
OP=1,PH=1;
OP=5,PH=5.
(2)猜想:
OP=PH.
(3)A,B两点到直线l的距离之和的最小值为6.
例2
(1)抛物线的解析式为:
y=
(2)方法同例1之
(2)
(3)①证略
②F(1,).
(1)b=+c,B的横坐标为﹣2c;
(2)抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2;
(3)①0<S<5;
②11个;
2016年广东省中考压轴题答案
25.解:
(1)四边形APQD为平行四边形;
(2)证明△AOB≌△OPQ,再利用等角加等角转化到90度,即垂直
(3)情况一:
当Q点在BC之间时,
当x=1时,面积最大值为
情况二,当P点在BC之间时,
当x=2时,面积最大值为2
综上所述,当P点与C点重合时,△OPB面积有最大值,且最大值为2.
线段、面积最值问题解题思路
(2)牛喝水(将军饮马)模式
①∵BC是定值,∴当PB+PC最小时,△PBC的周长最小,
∵点A、点B关于对称轴I对称,∴连接AC交l于点P,即点P为所求的点。
∴△PBC的周长最小是:
AC+BC
由勾股定理求得AC=3,BC=;
故△PBC周长的最小值为3+.
②求得直线AC的方程为y=x+3,抛物线对称轴为直线x=-1,当x=-1,y=2,∴点P(-1,2)
(3)①先求得顶点D的坐标(﹣1,4),再求直线AD的解析式为y=2x+6
∵点E在直线AD上,且横坐标为m,∴E(m,2m+6),F(m,﹣m2﹣2m+3)
∵S△ADF=E、F的纵坐标之差乘以A、D的横坐标之差的1/2
∴S=(﹣m2﹣4m﹣3)×
②S=﹣m2﹣4m﹣3∴当m=﹣2时,S最大,最大值为1,此时点E的坐标为(﹣2,2).
(2)存在,
①当P在∠DAB的平
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