极限练习+总结Word文档格式.docx
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例1:
已知当x→0时,a(1-cosx)与xsinx是等价无穷小,则a=2.
解:
令,解得a=2(06、7)
例2:
已知当x→0时,x2ln(1+x2)是sinnx的高阶无穷小,而sinnx又是1-cosx的高阶无穷小,则n=3(07、2)
解:
要使
要使
综上所述,得n=3.
三、两个重要极限
四、求极限的常用方法
1、极限存在的充要条件:
2、无穷小量与有界函数之积仍为无穷小量:
3、无穷小量的倒数为无穷大量,无穷大量的倒数为无穷小量;
4、用极限的四则运算法则;
5、利用两个重要极限。
五、几种特殊类型的极限求法
(一)型
1、消去“零”因子法:
如
又如
2、有理化:
3、利用等价无穷小代换:
(二)型
有理分式函数的分子、分母同除以分子分母中的最高次幂。
(三)型
将其化为。
(四)型
通过通分化为。
(五)型
利用重要极限
例1求
解:
原式,一般地:
0,m<
n
=
例2讨论的正确性。
(错,数列,先求前n项的和,再求极限)
原式
例3求(分子、分母同时有理化)
例4求的常数)
例5求(cosα-cosβ=-)
例6求
例7求(先化成部分分式)
例8求(变量替换)
令
例9求(用等价无穷小代换)
当x→0时,~,sinx~x
原式
例10求(用等价无穷小代换)
当x→0时,~,-1~
例11判断的正确性。
(错,加减运算不能用等价无穷小替换)
例12求
法一原式(提取公因子,用等价无穷小替换)
法二原式
(添项后用等价无穷小替换)
例13求
例14求(先通分,化成)
例15求(n为正整数,x>
0且x≠0)
(利用)
例16若,求c
左
由左=右,得:
3x+2,x≤0
x2+1,0<
x<
1
例17设f(x)=,,求
例18若,试求a,b(05、13)分母零因子
因
所以
例19计算(06、13)分子分母同时因式分解或有理化
例20已知
设,则当x→0时,u→∞,代入已知极限得:
即
例21求极限(08、13)利用两个重要极限
连续
一、概念
1、在x0处连续的定义:
f(x)在x0邻域内有定义,且;
或。
2、间断点的定义:
f(x)在x0邻域内有定义(也可没有定义),若x0处不连续,称x0为间断点(一般是使函数无意义的点)。
3、间断点的分类:
第一类:
①均存在,但不相等(又称跳跃间断点);
②(又称可去间断点);
第二类:
至少有一个单侧极限不存。
二、几个定理
1、最值定理:
若f(x)在[a,b]上连续,则y=f(x)在[a,b]上一定有最大值与最小值。
(证明不等式)
2、介值定理:
若f(x)在[a,b]上连续,m与M是其在[a,b]区间上的最小值与最大值,且m<
u<
M,则在[a,b]上至少存在一点ξ,使f(ξ)=u。
3、零点定理:
若f(x)在[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号,则在(a,b)内至少存在一点ξ,使f(ξ)=0。
(确定方程的根)
应用此定理需要注意以下几点:
如何定义。
区间的选择,在证明题,有明确的线索。
验证在闭区间上的连续性,
验证在两端的符号。
此定理不能确定是否具有唯一零点,但有唯一性的要求时,应验证在内的单调性(参见导数应用部分)
三、分段函数在其分段点处的连续性
x+1,x≤0
1、在分段点处的两侧的表达式不同,要分左右极限来讨论;
ex,x>
例1讨论f(x)=在x=0处的连续性。
故f(x)在x=0处的连续。
2、在分段点处的两侧的表达式相同,不必分左右极限来讨论(指数函数的某种情况除外);
1,x=0x=0
例2讨论f(x)=在x=0处的连续性。
故f(x)在x=0处间断。
3、在分段点的两侧的表达式虽相同,但需分左右极限来讨论;
0,x=1x=0
例3讨论f(x)=在x=1处的连续性。
四、求间断点及判断类型(依所给函数而定,不能化简)
例4求的间断,并判断其类型。
间断点:
x=0,x=1,x=-1
在x=0处,,故x=0为第一类间断点,且为可去间断点。
在x=1处,,故x=1为第一类间断点,且为可去间断点。
在x=-1处,,故x=-1为第二类间断点。
例5x=0是函数的(A)(05、1)
A、可去间断点B、跳跃间断点C、第二类间断点D、连续点
9、物质的变化一般分为物理变化和化学变化。
化学变化伴随的现象很多,最重要的特点是产生了新物质。
物质发生化学变化的过程中一定发生了物理变化。
x+2a,x≥0
例6函数f(x)=,若f(x)在x=0处连续,求a.(05B、8)
f(0)=0+2a=2a,故2a=2,解得a=1.
4、如何借助大熊座找到北极星?
(P58)例7若且f(x)在x=x0处有定义,则当A=f(x0)时f(x)在x0处连续。
(06、8)
答:
烧饭时米变成了饭;
写字时纸上留下了字迹;
下雨后路上的积水慢慢地变成水蒸气消失在空中;
岩石风化变成沙子等。
要使f(x)在x0处连续,必有,而f(x)在x=x0处有定义,即f(x0)存在,故只要A=f(x0)时,f(x)在x0处就连续。
2、在加热的过程中,蜡烛发生了什么变化?
(P29)
9、淡水是我们人类和其他生物生存的必需品,但是地球上的淡水资源十分有限,地球上的多数地区缺水。
2,x=0
例8设函数f(x)=在点x=0处连续,求常数k.(07、7)
所以,k=ln2
例9函数的第一类间断点是x=1(08、7)
12、淡水在自来水厂中除了沉淀和过滤之外,还要加入药物进行灭菌处理,这样才能符合我们使用的标准。
1、我们每天都要消耗食物和各种各样的生活用品,与此同时,也产生了许多垃圾。
例10函数f(x)=在x=0处连续,则a=3.(08、8)
例11证明方程至少有一个实根介于1和3之间。
10、生物学家列文虎克于1632年出生在荷兰,他制成了世界上最早的可放大300倍的金属结构的显微镜。
他用自制的显微镜发现了微生物。
证:
令,f
(1)=-1.f(3)=27,由零值定理知在(1,3)内至少有一点ξ,使f(ξ)=0,即方程至少有一个实根介于1和3之间。
19、细胞也是生物最基本的功能单位,生物的呼吸、消化、排泄、生长、发育、繁殖、遗传等生命活动都是通过细胞进行的。
例12设f(x)在[0,2a]上连续,且f(0)=f(2a)≠f(a),证明在[0,a]上至少存在一点ξ,使f(ξ)=f(ξ+a).08、23)
当月球运行到地球和太阳的中间,如果月球挡住了太阳射向地球的光,便发生日食。
令φ(x)=f(x)-f(x+a),则φ(x)在[0,a]上连续,且φ(0)=f(0)-f(a),φ(a)=f(a)-f(2a)=f(a)-f(0)
(1)若f(0)-f(a)=0,则可取ξ=0或ξ=a;
(2)f(0)-f(a)≠0,则显然φ(0)与φ(a)异号,由零值定理可知,至少存在一点ξ∈(0,a),使φ(ξ)=0,即f(ξ)=f(ξ+a)
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