柯西不等式各种形式的证明及其应用Word下载.doc
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向量形式的证明:
一般形式
一般形式的证明:
证明:
推广形式(卡尔松不等式):
卡尔松不等式表述为:
在m*n矩阵中,各行元素之和的几何平均数不小于各列元素
之积的几何平均之和。
或者:
或者
推广形式的证明:
推广形式证法一:
推广形式证法二:
事实上涉及平均值不等式都可以用均值不等式来证,
这个不等式并不难,可以简单证明如下:
付:
柯西(Cauchy)不等式相关证明方法:
等号当且仅当或时成立(k为常数,)现将它的证明介绍如下:
证明1:
构造二次函数
=
恒成立
即
当且仅当即时等号成立
证明
(2)数学归纳法
(1)当时左式=右式=
显然左式=右式
当时,右式右式
仅当即即时等号成立
故时不等式成立
(2)假设时,不等式成立
即
当,k为常数,或时等号成立
设
则
即时不等式成立
综合
(1)
(2)可知不等式成立
二、柯西不等式的应用
1、巧拆常数证不等式
例1:
设a、b、c为正数且互不相等。
求证:
.均为正数
为证结论正确,只需证:
又
又互不相等,所以不能取等
原不等式成立,证毕。
2、求某些特殊函数最值
例2:
函数的定义域为[5,9],
3、用柯西不等式推导点到直线的距离公式。
已知点及直线
设点p是直线上的任意一点,则
(1)
(2)
点两点间的距离就是点到直线的距离,求
(2)式有最小值,有
由
(1)
(2)得:
即
(3)
当且仅当
(3)式取等号即点到直线的距离公式
4、证明不等式
例3已知正数满足证明
利用柯西不等式
又因为在此不等式两边同乘以2,再加上得:
故
5、解三角形的相关问题
例4设是内的一点,是到三边的距离,是外接圆的半径,证明
由柯西不等式得,
记为的面积,则
故不等式成立。
6、求最值
例5已知实数满足,试求的最值
解:
由柯西不等式得,有
由条件可得,
解得,当且仅当时等号成立,
代入时,
时
7、利用柯西不等式解方程
例6在实数集内解方程
解:
由柯西不等式,得
①
即不等式①中只有等号成立
从而由柯西不等式中等号成立的条件,得
它与联立,可得
8、用柯西不等式解释样本线性相关系数
在线性回归中,有样本相关系数,并指出且越接近于1,相关程度越大,越接近于0,则相关程度越小。
现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。
现记,,则,
,由柯西不等式有,
当时,
此时,,为常数。
点均在直线
上,
而
为常数。
此时,此时,,为常数
点均在直线附近,所以越接近于1,相关程度越大
当时,不具备上述特征,从而,找不到合适的常数,使得点都在直线附近。
所以,越接近于0,则相关程度越小。
9、关于不等式的几何背景
几何背景:
如图,在三角形中,,
则Q(c,d)
OP(a,b)
将以上三式代入余弦定理,并化简,可得
或
因为,所以,,
于是
.
柯西不等式的相关内容简介
(1)赫尔德(Holder)不等式
当时,即为柯西不等式。
因此,赫尔德不等式是柯西不等式更为一般的形式,在分析学中有着较为广泛的应用。
(2)平面三角不等式(柯西不等式的等价形式)
可以借助其二维形式来理解,根据三角形的两边之和大于第三边,很容易验证这一不等式的正确性。
该不等式的一般形式
称为闵可夫斯基(Minkowski)不等式。
它是由闵可夫斯基在对n维空间中的对称凸几何体定义了一种“距离”的基础上得到的,即对于点,定义其距离为
.
闵可夫斯基立足于这一不等式确立了相应的几何,建立了一种类似于现代度量空间的理论,即实变函数中的赋范空间基础。
这从另一个侧面体现了柯西不等式的丰富数学背景。
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