华师版初中数学教案全第八章一元一次不等式Word下载.docx
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如果买30张票合算,那么应有
120<
5x
现在的问题就是:
x取哪些数值时,上式成立?
前面已经算过,当x=27时,上式成立。
让我们再取一些值试一试,将结果填入下表。
x
5x
比较120与5x的大小
120<
5x
21
105
120>
不成立
22
23
24
25
26
27
成立
…
由上表可见,当x=___________时,不等式120<
5x成立。
也就是说,少于30人时,至少要有_____人进公园时,买30张票反而合算。
概括
像上面出现的120<
135,x<
30,120<
5x那样用不等号“<
”或“>
”表示不等关系的式子,叫做不等式(inequality)。
不等式120<
5x中含有未知数x。
能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解(solutionofinequality)。
如上例中,x=25,26,27,…都是不等式120<
5x的解,而x=24,23,22,21则不是它的解。
例用不等式表示:
(1)x的一半小于-1
(2)y与4的和大于0.5
(3)a是负数;
(4)b是非负数;
解
(1)x<
-1
(2)y+4>
0.5
(3)a<
(4)b是非负数,就是b不是负数,它可以是正数或零,即b>
0或b=0,通常可表示成b≥0。
练习
1.用不等式表示:
(1)x的3倍大于5;
(2)y与2的差小于-1。
(3)x的2倍大于x;
(4)y的与3的差是负数。
(5)a是正数;
(6)b不是正数;
2.用“<
”号填空:
(1)7+3________4+3;
(2)7+(-1)______4+(-1);
(3)7×
3________4×
3;
(4)7×
(-3)______4×
(-3)。
3.下列各数中,哪些是不等式x+2>
5的解?
哪些不是?
-3,-2,-1,0,1.5,2.5,3,3.5,5,7。
习题8.1
1.比较下列各数的大小,用“<
”填空:
(1)-3______-2;
(2)-1______0;
(3)3______-4;
(4)-5______-6;
(5)______;
(6)-______-。
2.用不等式表示:
(1)x的与3的差大于2;
(2)2x与1的和小于零;
(3)a的2倍与4的差是正数;
(4)b的与c的和是负数;
(5)a与b的差是非负数;
(6)x的绝对值与1的和不小于1。
3.向阳小队10人到学校图书馆参加装订杂志的劳动,开始两天,每人每天完成5本杂志。
问以后3天,每人每天必须完成几本杂志,才能超额完成300本杂志的装订任务?
试列出不等式,找出符合题意的一些解。
8.2解一元一次不等式
1.不等式的解集
回忆
在上一节练习第3题中,我们发现,-3、-2、-1、0、1.5、2.5、3都不是不等式x+2>
5的解。
由此可以看出,不等式x+2>
5有许多个解。
进而看出,大于3的每一个数都是不等式x+2>
5的解,而不大于3的每一个数都不是不等式x+2>
由此可见,不等式x+2>
5的解有无限多个,它们组成一个集合,称为不等式x+2>
5的解集。
一个不等式的所有解,组成这个不等式的解的集合,简称为这个不等式的解集(solutionset)。
研究不等式的一个重要任务,就是求出不等式的解集。
求不等式的解集的过程,叫做解不等式(solvinginequality)。
不等式x+2>
5的解集,可以表示成x>
3,它也可以在数轴上直观地表示出来,如图8.2.1所示。
同样,如果某个不等式的解集为x≤-2,也可以在数轴上直观地表示出来,如图8.2.2所示。
1.根据“当x为任何正数时,都能使不等式x+3>
2成立”,能不能说“不等式x+3>
2的解集是x>
0”?
为什么?
2.两个不等式的解集分别为x<
2和x≤2,它们有什么不同?
在数轴上怎样表示它们的区别?
3.两个不等式的解集分别为x<
1和x≥1,分别在数轴上将它们表示出来。
2.不等式的简单变形
回顾与探索
在解一元一次方程时,我们主要是对方程进行变形。
在研究解不等式时,我们同样应先探究不等式的变形规律。
如图8.2.3所示,一个倾斜的天平两边分别放有重物,其质量分别为a和b(显然a>
b),如果在两边盘内分别加上等量的砝码c,那么盘子仍然像原来那样倾斜(即a+c>
b+c)。
不等式的性质1如果a>
b,那么
a+c>
b+c,a-c>
b-c
这就是说,不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等式的方向不变。
思考
不等式的两边都乘以(或除以)同一个不为零的数,不等号的方向是否也不变呢?
试一试
将不等式7>
4两边都乘以同一个数,比较所得的数的大小,用“<
7×
3_______4×
3,
2_______4×
2,
1_______4×
1,
0_______4×
0,
(-1)_______4×
(-1),
(-2)_______4×
(-2),
(-3)_______4×
(-3),
………………………………………………
从中你能发现什么?
不等式的性质2如果a>
b,并且c>
0,那么ac>
bc。
不等式的性质3如果a>
b,并且c<
0,那么ac<
这就是说,不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;
不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。
与解方程一样,解不等式的过程,就是要将不等式变形成x>
a或x<
a的形式。
例1解不等式:
(1)x-7<
8
(2)3x<
2x-3
解
(1)不等式的两边都加上7,不等式的方向不变,所以
x-7+7<
8+7,
得x<
15
(2)不等式的两边都减去2x(即加上-2x),不等号的方向不变,所以
3x-2x<
2x-3-2x
得x<
-3
这里的变形,与方程变形中的移项相类似,你能说出不等式变形的“移项”该怎么进行吗?
例2解不等式:
(1)x>
-3;
(2)-2x<
6。
解
(1)不等式的两边都乘以2,不等号的方向不变,所以
x×
2>
(-3)×
得x>
-6。
(2)不等式的两边都除以-2(即乘以-),不等式的方向改变,所以
-2x×
(-)>
6×
(-),
-3。
这里的变形,与方程变形中的“将未知数的系数化为1”相类似,它依据的是不等式的性质2或3,要注意不等式两边乘以(或除以)的数是正数还是负数,确定变形时不等号的方向是否需要改变。
解下列不等式,并在数轴上表示出来:
1.X-2>
02.X+1>
3.-2x<
44.3x≤0
3.解一元一次不等式
前面遇到的不等式有一个共同的特点:
它们都只含有一个未知数,且含未知
数的式子是整式,未知数的次数是1。
像这样的不等式叫做一元一次不等式(linearinequalitywithoneunknown)。
我们再来解一些一元一次不等式。
例3解下列不等式,并将解集在数轴上表示出来:
(1)2x-1<
4x+13;
(2)2(5x+3)≤x-3(1-2x).
解
(1)2x-1<
4x+13,
2x-4x<
13+1,
-2x<
14,
x>
-7.
它在数轴上的表示如图8.2.4.
(2)2(5x+3)≤x-3(1-2x),
10x+6≤x-3+6x,
3x≤-9,
x≤-3.
它在数轴上的表示如图8.2.5
例4当x取何值时,代数式与与的值的差大于1?
解根据题意,得->
2(x+4)-3(3x-1)>
6,
2x+8-9x+3>
-7x+11>
-7x>
-5,
得x<
所以,当x取小于的任何数时,代数式与与的值的差大于1。
讨论
试从例4的解答中总结一下解一元一次不等式的步骤,与你的同伴讨论和交流。
1.解下列不等式,并把解集在数轴上表示出来:
(1)2x+1>
(2)2-x<
1;
(3)2(x+1)<
3x;
(4)3(x+2)≥4(x-1)+7.
2.解不等式:
>
3.一个工程队原定在10天内至少要挖土600m3,在前两天一共完成了120m3,由于整个工程调整工期,要求提前两天完成挖土任务。
问以后几天内,平均每天至少要挖土多少m3?
问题2
在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有20道题,对于每一道题,答对得10分,答错或不答扣5分,总得分不少于80分者通过预选赛。
育才中学25名学生通过了预选赛,它们分别可能答对了多少道题?
实践与探索
试解决这个问题(不限定方法)。
你是用什么方法解决的?
有没有其他方法?
与你的同伴讨论和交流一下。
如果你是利用不等式的知识解决这个问题的,在得到不等式的解集以后,如何给出原问题的答案?
应该如何表述?
1.求下列不等式的正整数解:
(1)-4x≥-12;
(2)3x-11<
0.
2.学校图书馆搬迁,有15万册图书,原准备每天在一个班级的劳动课上,安排一个小组同学帮助搬运图书,两天共搬了1.8万册。
如果要求在一周内搬完,设每个小组搬运图书数相同,则在以后五天内,每天至少安排几个小组搬书?
习题8.2
1.解不等式:
(1)x-5<
0
(2)3x≥2x-6
(3)2x<
-3(4)-2x>
2.写出下图所表示的不等式的解集
3.解下列不等式,并把它们的解集在数轴上表示出来。
(1)3x≥-3;
(2)-3x+3<
(3)2x+2≤3x+3(4)5x-1>
8x+3
4.a取什么值时,代数式4a+2的值:
(1)大于1?
(2)等于1?
(3)小于1?
5.解下列不等式:
(1)+1>
x;
(2)3(x+2)<
4(x-1)+7;
(3)(x-3)<
-2x;
(4)->
-2.
6.求不等式1-2x<
6的负整数解。
7.某高速公路工地需要实施爆破,操作人员点燃导火线后,要在炸药爆炸前跑到400米以外的安全区域。
已知导火线的燃烧速度是1.2厘米/秒,人
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- 华师版 初中 数学教案 第八 一元 一次 不等式