高一数学对数函数综合练习题答案Word文件下载.docx

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，然后应用对数的运算性质即可出现已知条件的形式。

．

此题应强调注意已知与所求的内在联系。

例5．已知，求．

由于是真数，故可直接利用对数定义求解；

另外，由于等式右端为两实数和的形式，的存在使变形产生困难，故可考虑将移到等式左端，或者将变为对数形式。

（法一）由对数定义可知：

．

（法二）由已知移项可得，即，由对数定义知：

，∴．

（法三），∴，∴．

此题有多种解法，体现了基本概念和运算性质的灵活运用，可以对于对数定义及运算性质的理解。

1．对数的运算性质：

如果a>

0，a≠1，M>

0，N>

0，那么

（1）；

（3）．

证明：

（性质1）设，，

（性质3）

设，

由对数的定义可得，

∴，

即证得．

由对数的定义可得，，

练习：

证明性质2．

（1）语言表达：

“积的对数=对数的和”……（简易表达以帮助记忆）；

（2）注意有时必须逆向运算：

如；

（3）注意定义域：

是不成立的，

是不成立的；

（4）当心记忆错误：

，试举反例，

，试举反例。

例6．

（1）已知，用a表示；

（2）已知，，用、表示．

（1）∵，∴，∴log34-log36=．

（2）∵，∴，

又∵，∴=．

换底公式

1．换底公式：

（a>

0,a≠1；

）

设，则，两边取以为底的对数得：

，∴，

从而得：

，∴．

两个较为常用的推论：

（2）（、且均不为1）．

（2）．

2．例题分析：

例1．计算：

（2）．

（1）原式=；

（2）原式=．

例2．已知，，求（用a,b表示）．

∵，∴，∴，

又∵，∴，∴．

例3．设，求证：

∵，∴，

∴．

例4．若，，求．

∵，∴，

又∵，∴，∴∴．

例5．计算：

原式

例6．若，求．

由题意可得：

，∴，∴．

对数函数

例1．求下列函数的定义域：

此题主要利用对数函数的定义域求解。

（1）由>

0得，∴函数的定义域是；

（2）由得，∴函数的定义域是；

（3）由9-得-3，∴函数的定义域是．

此题只是对数函数性质的简单应用，应强调学生注意书写格式。

例2．求函数和函数的反函数。

（1）∴；

（2）∴．

例4．比较下列各组数中两个值的大小：

（1），；

（2），；

（3），.

（1）对数函数在上是增函数，

于是；

（2）对数函数在上是减函数，

（3）当时，对数函数在上是增函数，

于是，

当时，对数函数在上是减函数，

于是．

例5．比较下列比较下列各组数中两个值的大小：

（1），；

（3），，；

（4），，．

（1）∵，，∴；

（2）∵，，∴．

（3）∵，，，

∴．

（4）∵，∴．

例6．已知，比较，的大小。

∵，∴，当，时，得，

∴，∴．当，时，得，

∴，∴．当，时，得，，

∴，，∴．

综上所述，，的大小关系为或或．

例7．求下列函数的值域：

（3）（且）．

（1）令，则，∵，∴，即函数值域为．

（2）令，则，∴，即函数值域为．

（3）令，当时，，即值域为，

当时，，即值域为．

例8．判断函数的奇偶性。

∵恒成立，故的定义域为，

，所以，为奇函数。

例9．求函数的单调区间。

令在上递增，在上递减，

又∵，∴或，

故在上递增，在上递减，又∵为减函数，

所以，函数在上递增，在上递减。

利用对数函数性质判断函数单调性时，首先要考察函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断方法来求单调区间。

例10．若函数在区间上是增函数，的取值范围。

令，∵函数为减函数，

∴在区间上递减，且满足，∴，解得，

所以，的取值范围为．

1如图，曲线是对数函数的图象，已知的取值，则相应于曲线的值依次为（ 

）．

　　（A） 

　　（B） 

　　（C）

　　（D）

2.函数y=logx－1（3－x）的定义域是

如果对数有意义，求x的取值范围；

要使原函数有意义，则

解之得：

∴原函数的定义域为-7，-6）（-6，-5）（-1，+）

函数的定义域为一切实数，求k的取值范围。

利用图像判断方程根的个数

3．已知关于的的方程，讨论的值来确定方程根的个数。

因为在同一直角坐标系中作出函数与的图象，如图可知：

①当时，两个函数图象无公共点，所以原方程根的个数为0个；

②当时，两个函数图象有一个公共点，所以原方程根的个数为1个；

③当时，两个函数图象有两个公共点，所以原方程根的个数为2个。

4．若关于的方程的所有解都大于1，求的取值范围．

由原方程可化为

，变形整理有

（*）

，，由于方程（*）的根为正根，则

解之得，从而

5．求函数的单调区间．

．解：

设，，由得，知定义域为

又，则当时，是减函数；

当时，是增函数，而在上是减函数

的单调增区间为，单调减区间为

题目2】求函数的单调区间。

正解】由得x＜1或x＞5，即函数的定义域为{x|x＜1或x＞5}，

当x＜1时，是减函数，是减函数，所以是增函数；

当x＞5时，是增函数，是减函数，所以是减函数；

所以的增区间是（-∞，1）；

减区间是（5，∞，）。

6、设函数，若的值域为，求实数的取值范围．

　　分析：

由值域为和对数函数的单调性可将问题转化为能取遍所有正实数的问题．

　　解：

令，依题意应取遍一切正实数即函数值域是正实数集的子集．则有或，解得．

已知函数f（x）=lg［（a2－1）x2+（a+1）x+1］.

（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围；

（2）若f（x）的值域为R，求实数a的取值范围.

（1）（a2－1）x2+（a+1）x+1＞0对x∈R恒成立.

a2－1=0时，a=±

1，经检验a=－1时恒成立；

a2－1≠0时，

a＜－1或a＞，

∴a≤－1或a＞.

（2）a2－1=0，即a=1时满足值域为R；

1＜a≤.

∴1≤a≤.

7的定义域为R，求a的取值范围。

【正解】①当a=0时，y=0，满足条件，即函数y=0的定义域为R；

②当a≠0时，由题意得：

由①②得a的取值范围为[0，4）。

【评注】参数问题，分类要不重不漏，对于不等式不一定是一元二次不等式。

8.函数y=log［（1－x）（x+3）］的递减区间是（）

A.（－3,－1）B.（－∞,－1）C.（－∞,－3）D.（－1，＋∞）

【解析】设t＝（1－x）（x＋3）＝－x2－2x＋3＝－（x＋1）2＋4由（1－x）（x＋3）＞0得－3＜x＜1当x∈（－3，－1）时，t＝（1－x）（x＋3）递增∴y＝log［（1－x）（x＋3）］的递减区间是（－3，－1）

9.已知函数y＝loga（2－ax）在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是（）

A.0＜a＜1B.a＞1C.1＜a＜2D.1＜a≤2

【解析】若0＜a＜1，则函数在定义域上是增函数；

若a＞1，则当0≤x≤1时，2－ax＞0恒成立即x＜，因此＞1∴1＜a＜2

10.求函数y=loga（2-ax-a2x）的值域。

【解】由于2-ax-a2x>

0，得-2<

ax<

1。

∴t=2-ax-a2x=（ax+）2+∈（0，2）。

又当a>

1时，y=logat递增，∴y<

loga2；

当0<

a<

1时，y=logat递减，∴y>

loga2。

故当a>

1时，所求的值域为（-∞，loga2）；

1时，所求的值域为（loga2,+∞）。

11.求函数y=log2·

log2（x∈［1,8］）的最大值和最小值.

【解】令t=log2x,x∈［1,8］,则0≤log2x≤log28即t∈［0,3］

∴y=（log2x－1）（log2x－2）=（t－1）（t－2）=t2－3t+2=（t－）2－t∈［0,3］

∴当t=,即log2x=,x=2=2时，y有最小值=－.

当t=0或t=3，即log2x=0或log2x=3,也即x=1或x=8时，y有最大值=2.

12.设函数y=f（x）,且lg（lgy）=lg（3x）+lg（3-x）,

（1）求f（x）的表达式及定义域；

（2）求f（x）的值域。

【解】

（1）若lg（lgy）=lg（3x）+lg（3-x）有意义，

则又∵lg（lgy）=lg（3x）+lg（3-x）,∴lgy=3x（3-x）。

∴y=103x（3-x）（0<

x<

3）。

（2）∵3x（3-x）=-3x2+9x=-3（x-）2+（0<

3）,∴0<

-3x2+9x≤。

∴1<

y≤10。

∴y=f（x）的定义域为（0，3），值域为（1，10）。

13函数在区间上的最大值比最小值大2，则实数=___．或；

14已知函数．①判断函数的单调区间及在每一个单调区间内的单调性；

　②当时，求的最大值，最小值及相应的值．

①在上单调递减，在上单调递增．②当时，，当时，．

15、已知函数y=loga（1－ax）（a＞0且a≠1）。

（1）求函数的定义域和值域；

（2）证明函数图象关于直线y=x对称。

（1）当a＞1时，函数的定义域和值域均为（－∞，0）；

当0＜a＜1时，函数的定义域和值域均为（0，+∞）。

（2）由y=loga（1－ax），得1－ax=ay，即ax=1－ay，∴x=loga（1－ay），∴f－1（x）=loga（1－ax）=f（x）。

∵f（x）与f－1的图象关于直线y=x对称，函数y=loga（1－ax）的图象关于直线y=x对称。

16、.设，求函数的最大值。

、12

17、已知函数。

（1）求函数f（x）的定义域；

（2）求函数f（x）的值域。

（1）函数的定义域为（1，p）。

（2）当p＞3时，f（x）的值域为（－∞，2log2（p+1）－2）；

当1＜p=时，f（x）的值域为（－，1+log2（p+1））。

18、已知，求函数的最大值和最小值、

19：

已知的减函数，则的取值范围是（）

A．（0，1）B．（1，2）C．（0，2）D．答案：

B。

解析：

本题作为选择题，用排除法求解较简，由于这里虽然有，故在[0，1]上定为减函数，依题设必有，故应排除A和C，在B、D中要作选择，可取，则已知函数为，但是此函数的定义域为，它当然不可能在区间[0，1]上是减函数，故又排除了D，从而决定选B。

20．函数（）图象的对称轴方程为，求的值．

解法一：

由于函数图象关于对称，则，即

　　，解得，或　又，

　　解法二：

函数的图象关于直线对称，则函数的