高中数学学年人教B版高中数学选修45教学案第一章 绝对值的三角不等式 可直接打印Word文档格式.docx
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当点B不在点A,C之间时,|AC|<
|AB|+|BC|.
绝对值的三角不等式的应用
[例1]
(1)以下四个命题:
①若a,b∈R,则|a+b|-2|a|≤|a-b|;
②若|a-b|<1,则|a|<|b|+1;
③若|x|<2,|y|>3,则||<;
④若AB≠0,则lg≥(lg|A|+lg|B|).
其中正确的命题有( )
A.4个 B.3个
C.2个D.1个
(2)不等式≥1成立的充要条件是________.
[思路点拨] 本题考查绝对值的三角不等式定理的应用及充要条件等问题.解答问题
(1)可利用绝对值的三角不等式定理,结合不等式的性质、基本定理等一一验证;
解答问题
(2)应分|a|>|b|与|a|<
|b|两类讨论.
[精解详析]
(1)|a+b|=|(b-a)+2a|≤|b-a|+2|a|
=|a-b|+2|a|,∴|a+b|-2|a|≤|a-b|,①正确;
1>|a-b|≥|a|-|b|,∴|a|<|b|+1,②正确;
|y|>3,∴<.
又∵|x|<2,∴<.③正确;
2=(|A|2+|B|2+2|A||B|),
≥(2|A||B|+2|A||B|)=|A||B|,
∴2lg≥lg|A||B|.
∴lg≥(lg|A|+lg|B|),④正确.
(2)当|a|>
|b|时,有|a|-|b|>
0,
∴|a+b|≥||a|-|b||=|a|-|b|.
∴必有≥1.
即|a|>
|b|是≥1成立的充分条件.
当≥1时,由|a+b|>
必有|a|-|b|>
0.
|b|,故|a|>
|b|是≥1成立的必要条件.
故所求为:
|a|>
|b|.
[答案]
(1)A
(2)|a|>|b|
(1)绝对值的三角不等式:
|a|-|b|<|a±
b|<|a|+|b|的几何意义是:
三角形任意两边之差小于第三边,三角形任意两边之和大于第三边.
(2)对|a|-|b|≤|a±
b|≤|a|+|b|的诠释:
定理的构
成部分
特征
大小
关系
等号成立的条件
左端|a|-|b|
可能是负的
≤中间部分
中间部分为|a+b|时,ab≤0,且|a|≥|b|时,左边的等号成立;
中间部分为|a-b|时,ab≥0,且|a|≥|b|时,左边等号成立.
中间部分|a±
b|
肯定是非负的
≥左端
≤右端
用“+”连接时,ab≥0,右端取等号,ab≤0,且|a|≥|b|时,左端取等号;
用“-”连接时,ab≥0,且|a|≥|b|时,左端取等号,ab≤0,右端取等号.
右端|a|+|b|
是非负的
≥中间部分
中间部分为|a+b|时,ab≥0,等号成立;
中间部分为|a-b|时,ab≤0,等号成立.
1.
(1)若x<5,n∈N+,则下列不等式:
①|xlg|<5|lg|;
②|x|lg<5lg;
③xlg<5|lg|;
④|x|lg<5|lg|.
其中,能够成立的有________.
(2)已知|a|≠|b|,m=,n=,则m,n之间的大小关系是( )
A.m>nB.m<n
C.m=nD.m≤n
解析:
(1)∵0<<1.
∴lg<0.
由x<5,并不能确定|x|与5的关系,
∴可以否定①②③,而|x|lg<0,④成立.
(2)∵|a|-|b|≤|a±
b|≤|a|+|b|,
∴m=≤=1,
n=≥=1.∴m≤1≤n.
答案:
(1)④
(2)D
利用绝对值的三角不等式证明不等式
[例2] 已知a,b∈R且a≠0,
求证:
≥-.
[思路点拨] 本题的特点是绝对值符号较多,直接去掉绝对值符号较困难.从所证的不等式可以看出,不等式的左边为非负值,而不等式右边的符号不定.如果不等式右边非正,这时不等式显然成立;
当不等式右边为正值时,有|a|>|b|.所以本题应从讨论|a|与|b|的大小入手,结合作差比较法,可以使问题得以解决.
[精解详析] ①若|a|>|b|,
左边=
=≥
=.
∵≤,≤,
∴+≤.
∴左边≥=右边.
②若|a|<
|b|,
左边>
0,右边<
0,∴原不等式显然成立.
③若|a|=|b|,原不等式显然成立.
综上可知原不等式成立.
含绝对值不等式的证明题主要分两类:
一类是比较简单的不等式,往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明,或利用绝对值三角不等式性质定理:
||a|-|b||≤|a±
b|≤|a|+|b|,通过适当的添、拆项证明;
另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式,往往可考虑利用一般情况成立,则特殊情况也成立的思想,或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明.
2.
(1)已知ε>
0,|x-a|<
ε,|y-b|<
ε,
|(x+y)-(a+b)|<
2ε.
(2)设f(x)=x2-x+13,实数a满足|x-a|<
1,求证:
|f(x)-f(a)|<
2(|a|+1).
证明:
(1)|(x+y)-(a+b)|=|(x-a)+(y-b)|≤|x-a|+|y-b|.①
∵|x-a|<
∴|x-a|+|y-b|<
ε+ε=2ε.②
由①②得:
(2)∵f(x)=x2-x+13,
∴|f(x)-f(a)|=|x2-x-a2+a|
=|x-a|·
|x+a-1|<
|x+a-1|.
又∵|x+a-1|=|x-a+2a-1|
≤|x-a|+|2a-1|<
1+|2a|+1
=2(|a|+1),
∴|f(x)-f(a)|<
2(|a|+1).
利用绝对值的三角不等式求最值
[例3] 已知a,b∈R,且|a+b+1|≤1,|a+2b+4|≤4.
求|a|+|b|的最大值.
[思路点拨] 本题考查绝对值三角不等式的应用.解答本题可先求出|a+b|,|a-b|的最值,再通过|a|+|b|与它们相等时进行讨论求出最大值.
[精解详析] |a+b|=|(a+b+1)-1|
≤|a+b+1|+|-1|≤2,
|a-b|=|3(a+b+1)-2(a+2b+4)+5|
≤3|a+b+1|+2|a+2b+4|+5
≤3+2×
4+5=16.
①若ab≥0,则|a|+|b|=|a+b|≤2;
②若ab<0,则|a|+|b|=|a-b|≤16.
而当即a=8,b=-8时,
|a|+|b|取得最大值,且|a|+|b|=|a-b|=16.
(1)求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强,本题直接求|a|+|b|的最大值比较困难,可采用|a+b|,|a-b|的最值,及ab≥0时,|a|+|b|=|a+b|,ab<0时,|a|+|b|=|a-b|的定理,达到目的,其巧妙之处令人赞叹不已.
(2)求y=|x+m|+|x+n|和y=|x+m|-|x+n|的最值,其主要方法有:
①借助绝对值的定义,即零点分段;
②利用绝对值几何意义;
③利用绝对值不等式性质定理.
3.对于实数x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,则|x-2y+1|的最大值为( )
A.5B.4
C.8D.7
由题易得,|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-1)|≤|x-1|+|2(y-2)+2|≤1+2|y-2|+2≤5,
即|x-2y+1|的最大值为5.
A
[对应学生用书P15]
一、选择题
1.已知实数a,b满足ab<
0,则下列不等式成立的是( )
A.|a+b|>
|a-b|B.|a+b|<
|a-b|
C.|a-b|<
||a|-|b||D.|a-b|<
|a|+|b|
∵ab<
∴|a-b|=|a|+|b|,
又|a+b|<
|a|+|b|,
∴|a+b|<
|a|+|b|=|a-b|.
B
2.“|x-a|<m且|y-a|<m”是“|x-y|<2m”(x,y,a,m∈R)的( )
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.非充分非必要条件
∵|x-a|<m,|y-a|<m,
∴|x-a|+|y-a|<2m.
又∵|(x-a)-(y-a)|≤|x-a|+|y-a|,
∴|x-y|<2m.但反过来不一定成立,
如取x=3,y=1,a=-2,m=2.5,|3-1|<2×
2.5,
但|3-(-2)|>2.5,|1-(-2)|>2.5,
∴|x-y|<2m不一定有|x-a|<m且|y-a|<m,故“|x-a|<m且|y-a|<m”是“|x-y|<2m”(x,y,a,m∈R)的充分非必要条件.
3.设|a|<
1,|b|<
1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是( )
A.|a+b|+|a-b|>
2B.|a+b|+|a-b|<
2
C.|a+b|+|a-b|=2D.不能比较大小
当(a+b)(a-b)≥0时,
|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<
2,
当(a+b)(a-b)<
0时,
|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<
2.
4.若|a-c|<b,则下列不等式不成立的是( )
A.|a|<|b|+|c| B.|c|<|a|+|b|
C.b>|c|-|a|D.b<||a|-|c||
∵|a-c|<b,令a=1,c=2,b=3.
则|a|=1,|b|+|c|=5,∴|a|<|b|+|c|成立.
|c|=2,|a|+|b|=4,∴|c|<|a|+|b|成立.
||c|-|a||=||2|-|1||=1,∴b>||c|-|a||成立.
故b<||a|-|c||不成立.
D
二、填空题
5.已知p,q,x∈R,pq≥0,x≠0,则________2.(填不等关系符号)
当p,q至少有一个为0时,≥2,
当pq>
0时,p,q同号,则px与同号,
∴=|px|+≥2,
故≥2.
≥
6.(重庆高考)若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是________.
|2x-1|+|x+2|=+≥0+=,当且仅当x=时取等号,因此函数y=|2x-1|+|x+2|的最小值是.所以a2+a+2≤,即2a2+a-1≤0,解得-1≤a≤
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