复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)课后的习题答案.doc
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复变函数与积分变换(修订版)课后答案(复旦大学出版社)
复变函数与积分变换
(修订版)
主编:
马柏林
(复旦大学出版社)
——课后习题答案
67/67
习题一
1.用复数的代数形式a+ib表示下列复数
.
①解
②解:
③解:
④解:
2.求下列各复数的实部和虚部(z=x+iy)
R);
①:
∵设z=x+iy
则 ∴, .
②解:
设z=x+iy
∵ ∴, .
③解:
∵
∴, .
④解:
∵
∴, .
⑤解:
∵.
∴当时,,;
当时,,.
3.求下列复数的模和共轭复数
①解:
.
②解:
③解:
.
④解:
4、证明:
当且仅当时,z才是实数.
证明:
若,设,
则有 ,从而有,即y=0
∴z=x为实数.
若z=x,x∈¡,则.
∴.
命题成立.
5、设z,w∈£,证明:
证明∵
∴.
6、设z,w∈£,证明下列不等式.
并给出最后一个等式的几何解释.
证明:
在上面第五题的证明已经证明了.
下面证.
∵
.从而得证.
∴
几何意义:
平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和.
7.将下列复数表示为指数形式或三角形式
①解:
其中.
②解:
其中.
③解:
④解:
.
∴
⑤解:
解:
∵.
∴
8.计算:
(1)i的三次根;
(2)-1的三次根;(3)的平方根.
⑴i的三次根.
解:
∴.
⑵-1的三次根
解:
∴
⑶的平方根.
解:
∴
∴
.
9.设.证明:
证明:
∵ ∴,即.
∴
又∵n≥2.∴z≠1
从而
11.设是圆周令
其中.求出在a切于圆周的关于的充分必要条件.
解:
如图所示.
因为={z:
=0}表示通过点a且方向与b同向的直线,要使得直线在a处与圆相切,则CA⊥.过C作直线平行,则有∠BCD=β,∠ACB=90°
故α-β=90°
所以在α处切于圆周T的关于β的充要条件是α-β=90°.
12.指出下列各式中点z所确定的平面图形,并作出草图.
解:
(1)、argz=π.表示负实轴.
(2)、|z-1|=|z|.表示直线z=.
(3)、1<|z+i|<2
解:
表示以-i为圆心,以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
(4)、Re(z)>Imz.
解:
表示直线y=x的右下半平面
5、Imz>1,且|z|<2.
解:
表示圆盘内的一弓形域。
习题二
1.求映射下圆周的像.
解:
设则
因为,所以
所以,
所以即,表示椭圆.
2.在映射下,下列z平面上的图形映射为w平面上的什么图形,设或.
(1);
(2);
(3)x=a,y=b.(a,b为实数)
解:
设
所以
(1)记,则映射成w平面内虚轴上从O到4i的一段,即
(2)记,则映成了w平面上扇形域,即
(3)记,则将直线x=a映成了即是以原点为焦点,张口向左的抛物线将y=b映成了
即是以原点为焦点,张口向右抛物线如图所示.
3.求下列极限.
(1);
解:
令,则.
于是.
(2);
解:
设z=x+yi,则有
显然当取不同的值时f(z)的极限不同
所以极限不存在.
(3);
解:
=.
(4).
解:
因为
所以.
4.讨论下列函数的连续性:
(1)
解:
因为,
若令y=kx,则,
因为当k取不同值时,f(z)的取值不同,所以f(z)在z=0处极限不存在.
从而f(z)在z=0处不连续,除z=0外连续.
(2)
解:
因为,
所以
所以f(z)在整个z平面连续.
5.下列函数在何处求导?
并求其导数.
(1)(n为正整数);
解:
因为n为正整数,所以f(z)在整个z平面上可导.
.
(2).
解:
因为f(z)为有理函数,所以f(z)在处不可导.
从而f(z)除外可导.
(3).
解:
f(z)除外处处可导,且.
(4).
解:
因为
.所以f(z)除z=0外处处可导,且.
6.试判断下列函数的可导性与解析性.
(1);
解:
在全平面上可微.
所以要使得
,,
只有当z=0时,
从而f(z)在z=0处可导,在全平面上不解析.
(2).
解:
在全平面上可微.
只有当z=0时,即(0,0)处有,.
所以f(z)在z=0处可导,在全平面上不解析.
(3);
解:
在全平面上可微.
所以只有当时,才满足C-R方程.
从而f(z)在处可导,在全平面不解析.
(4).
解:
设,则
所以只有当z=0时才满足C-R方程.
从而f(z)在z=0处可导,处处不解析.
7.证明区域D内满足下列条件之一的解析函数必为常数.
(1);
证明:
因为,所以,.
所以u,v为常数,于是f(z)为常数.
(2)解析.
证明:
设在D内解析,则
而f(z)为解析函数,所以
所以即
从而v为常数,u为常数,即f(z)为常数.
(3)Ref(z)=常数.
证明:
因为Ref(z)为常数,即u=C1,
因为f(z)解析,C-R条件成立。
故即u=C2
从而f(z)为常数.
(4)Imf(z)=常数.
证明:
与(3)类似,由v=C1得
因为f(z)解析,由C-R方程得,即u=C2
所以f(z)为常数.
5.|f(z)|=常数.
证明:
因为|f(z)|=C,对C进行讨论.
若C=0,则u=0,v=0,f(z)=0为常数.
若C0,则f(z)0,但,即u2+v2=C2
则两边对x,y分别求偏导数,有
利用C-R条件,由于f(z)在D内解析,有
所以所以
即u=C1,v=C2,于是f(z)为常数.
(6)argf(z)=常数.
证明:
argf(z)=常数,即,
于是
得
C-R条件→
解得,即u,v为常数,于是f(z)为常数.
8.设f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)在z平面上解析,求m,n,l的值.
解:
因为f(z)解析,从而满足C-R条件.
所以.
9.试证下列函数在z平面上解析,并求其导数.
(1)f(z)=x3+3x2yi-3xy2-y3i
证明:
u(x,y)=x3-3xy2,v(x,y)=3x2y-y3在全平面可微,且
所以f(z)在全平面上满足C-R方程,处处可导,处处解析.
.
(2).
证明:
处处可微,且
所以,
所以f(z)处处可导,处处解析.
10.设
求证:
(1)f(z)在z=0处连续.
(2)f(z)在z=0处满足柯西—黎曼方程.
(3)f′(0)不存在.
证明.
(1)∵
而
∵
∴
∴
同理
∴
∴f(z)在z=0处连续.
(2)考察极限
当z沿虚轴趋向于零时,z=iy,有
.
当z沿实轴趋向于零时,z=x,有
它们分别为
∴
∴满足C-R条件.
(3)当z沿y=x趋向于零时,有
∴不存在.即f(z)在z=0处不可导.
11.设区域D位于上半平面,D1是D关于x轴的对称区域,若f(z)在区域D内解析,求证在区域D1内解析.
证明:
设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),因为f(z)在区域D内解析.
所以u(x,y),v(x,y)在D内可微且满足C-R方程,即.
,得
故φ(x,y),ψ(x,y)在D1内可微且满足C-R条件
从而在D1内解析
13.计算下列各值
(1)e2+i=e2∙ei=e2∙(cos1+isin1)
(2)
(3)
(4)
14.设z沿通过原点的放射线趋于∞点,试讨论f(z)=z+ez的极限.
解:
令z=reiθ,
对于θ,z→∞时,r→∞.
故.
所以.
15.计算下列各值.
(1)
(2)
(3)ln(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i
(4)
16.试讨论函数f(z)=|z|+lnz的连续性与可导性.
解:
显然g(z)=|z|在复平面上连续,lnz除负实轴及原点外处处连续.
设z=x+iy,
在复平面内可微.
故g(z)=|z|在复平面上处处不可导.
从而f(x)=|z|+lnz在复平面上处处不可导.
f(z)在复平面除原点及负实轴外处处连续.
17.计算下列各值.
(1)
(2)
(3)
18.计算下列各值
(1)
(2)
(3)(4)(5)
(6)
19.求解下列方程
(1)sinz=2.
解:
(2)
解:
即
(3)
解:
即
(4)
解:
.
20.若z=x+iy,求证
(1)sinz=sinxchy+icosx∙shy
证明:
(2)cosz=cosx∙chy-isinx∙shy
证明:
(3)|sinz|2=sin2x+sh2y
证明:
(4)|cosz|2=cos2x+sh2y
证明:
21.证明当y→∞时,|sin(x+iy)|和|cos(x+iy)|都趋于无穷大.
证明:
∴
而
当y→+∞时,e-y→0,ey→+∞有|sinz|→∞.
当y→-∞时,e-y→+∞,ey→0有|sinz|→∞.
同理得
所以当y→∞时有|cosz|→∞.
习题三
1.计算积分,其中C为从原点到点1+i的直线段.
解设直线段的方程为,则.
故
2.计算积分,其中积分路径C为
(1)从点0到点1+i的直线段;
(2)沿抛物线y=x2,从点0到点1+i的弧段.
解
(1)设.
(2)设.
3.计算积分,其中积分路径C为
(1)从点-i到点i的直线段;
(2)沿单位圆周|z|=1的左半圆周,从点-i到点i;
(3)沿单位圆周|z|=1的右半圆周,从点-i到点i.
解
(1)设.
(2)设.从到
(3)设.从到
6.计算积分,其中为.
解
∵在所围的区域内解析
∴
从而
故
7.计算积分,其中积分路径为
(1)
(2)(3)
(4)
解:
(1)在所围的区域内,只有一个奇点.
(2)在所围的区域内包含三个奇点.故
(3)在所围的区域内包含一个奇点,故
(4)在所围的区域内包含两个奇点,故
10.利用牛顿-莱布尼兹公式计算下列积分.
(1)
(2)(3)
(4)(5)(6)
解
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)11.计算积分,其中为
(1)
(2)(3)
解
(1)
(2)
(3)
16.求下列积分的值,其中积分路径C均为|z|=1.
(1)
(2)(3)
解
(1)
(2)
(3)
17.计算积分,其中积分路径为
(1)中心位于点,半径为的正向圆周
(2)中心位于点,半
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