直线的Bresenham算法_精品文档Word格式文档下载.docx

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d1=y-yi=m（xi+1）+b-yi

（2－8）

d2=（yi+1）-y=（yi+1）-m（xi+1）-b

（2－9）

　　这两个距离差是

d1-d2=2m（xi+1）-2yi＋2b-1

（2－10）

　　我们来分析公式（2-10）：

（1）当此值为正时，d1>

d2，说明直线上理论点离（xi+1，yi+1）象素较近，下一个象素点应取（xi+1，yi+1）。

（2）当此值为负时，d1<

d2，说明直线上理论点离（xi+1，yi）象素较近，则下一个象素点应取（xi+1，yi）。

　　（3）当此值为零时，说明直线上理论点离上、下两个象素点的距离相等，取哪个点都行，假设算法规定这种情况下取（xi+1，yi+1）作为下一个象素点。

　　因此只要利用（d1-d2）的符号就可以决定下一个象素点的选择。

为此，我们进一步定义一个新的判别式：

pi=△x×

（d1-d2）=2△y·

xi-2△x·

yi+c

（2－11）

　　式（2-11）中的△x=（x2-x1）>

0，因此pi与（d1-d2）有相同的符号；

　　这里△y=y2-y1，m=△y/△x；

c=2△y+△x（2b-1）。

　　下面对式（2-11）作进一步处理，以便得出误差判别递推公式并消除常数c。

　　将式（2-11）中的下标i改写成i+1，得到：

pi+1=2△y·

xi+1-2△x·

yi+1+c

（2－12）

　　将式（2-12）减去（2-11），并利用xi+1=xi+1，可得：

pi+1=pi+2△y-2△x·

（yi+1-yi）

（2－13）

　　再假设直线的初始端点恰好是其象素点的坐标，即满足：

y1=mx1+b

（2－14）

　　由式（2-11）和式（2-14）得到p1的初始值：

p1=2△y-△x

（2－15）

　　这样，我们可利用误差判别变量，得到如下算法表示：

初始　　　p1=2△y-△x

（2－16）

当pi≥0时：

yi+1=yi+1,

　　　　　　xi+1=xi+1，

　　　　　　pi+1=pi+2（△y-△x）

否则：

　　　yi+1=yi,

　　　　　　xi+1=xi+1，

　　　　　　pi+1=pi+2△y

　　从式（2-16）可以看出，第i+1步的判别变量pi+1仅与第i步的判别变量pi、直线的两个端点坐标分量差△x和△y有关，运算中只含有整数相加和乘2运算，而乘2可利用算术左移一位来完成，因此这个算法速度快并易于硬件实现。

　　三、直线Bresenham算法思想之二：

　　由于象素坐标的整数性，数学点（xi，yi）与所取象素点（xi，yir）间会引起误差（εi），当xi列上已用象素坐标（xi，yir）表示直线上的点（xi，yi），下一直线点B（xi+1，yi+1），是取象素点C（xi+1，yir），还是D（xi＋1，y（i+1）r）呢？

　　设A为CD边的中点，正确的选择：

　　若B点在A点上方，选择D点；

否则，选C点。

　　用误差式描述为：

ε（xi+1）=BC-AC=（yi+1-yir）-0.5

（2－8'

）

　　求递推公式：

ε（xi+2）=（yi+2-y（i+1）r）-0.5=yi+1+m-y（i+1）r-0.5

（2－9'

　　当ε（xi+1）≥0时，选D点，y（i+1）r=yir+1

ε（xi+2）=yi+1+m-yir-1-0.5=ε（xi+1）+m-1

（2－10'

　　当ε（xi+1）﹤0时，选C点，y（i+1）r=yir

ε（xi+2）=yi+1+m－yir-0.5=ε（xi+1）+m

（2－11'

　　初始时：

ε（xs+1）=BC-AC=m-0.5

（2－12'

　　为了运算中不含实型数，同时不影响不等式的判断，将方程两边同乘一正整数。

　　令方程两边同乘2·

Δx，即d=2·

Δx·

ε，则：

d=2·

Δy-Δx

（2－13'

　　递推式：

当d≥0时：

{d=d+2·

（Δy－Δx）；

　　　　　　y++；

　　　　　　x++；

　　　　　}

　　{d=d+2·

Δy；

　　　　　}

（2－14'

　　四、直线Bresenham算法实现：

　　条件：

0≤m≤1且x1<

x2

　　1、输入线段的两个端点坐标和画线颜色：

x1，y1，x2，y2，color；

　　2、设置象素坐标初值：

x=x1，y=y1；

　　3、设置初始误差判别值：

p=2·

Δy-Δx；

　　4、分别计算：

Δx=x2-x1、Δy=y2-y1；

　　5、循环实现直线的生成：

　　　for（x=x1；

x<

=x2；

x++）

　　　{putpixel（x,y,color）；

　　　　if（p>

=0）

　　　　　{y=y+1；

　　　　　　p=p+2·

（Δy-Δx）；

　　　　else

　　　　　{p=p+2·

　　　}

　　五、直线Bresenham算法完善：

　　现在我们修正（2-16）公式，以适应对任何方向及任何斜率线段的绘制。

如下图所示，线段的方向可分为八种，从原点出发射向八个区。

由线段按图中所示的区域位置可决定xi+1和yi+1的变换规律。

　　容易证明：

当线段处于①、④、⑧、⑤区时，以|△x|和|△y|代替前面公式中的△x和△y，当线段处于②、③、⑥、⑦区时，将公式中的|△x|和|△y|对换，则上述两公式仍有效。

在线段起点区分线段方向

　　六、直线Bresenham算法演示：

斜率小于1

斜率大于1

　　七、直线Bresenham算法特点：

　　由于程序中不含实型数运算，因此速度快、效率高，是一种有效的画线算法。

八、直线Bresenham算法程序：

voidBresenhamline（intx1,inty1,intx2,inty2,intcolor）

{

　intx,y,dx,dy,s1,s2,p,temp,interchange,i;

　x=x1;

　y=y1;

　dx=abs（x2-x1）;

　dy=abs（y2-y1）;

　if（x2>

x1）

　　s1=1;

　else

　　s1=-1;

　if（y2>

y1）

　　s2=1;

　　s2=-1;

　if（dy>

dx）

　{

　　temp=dx;

　　dx=dy;

　　dy=temp;

　　interchange=1;

　}

　　interchange=0;

　p=2*dy-dx;

　for（i=1;

i<

=dx;

i++）

　　putpixel（x,y,color）;

　　if（p>

　　{

　　　if（interchange==0）

　　　　y=y+s2;

　　　else

　　　　x=x+s1;

　　　p=p-2*dx;

　　}

elseif

　　if（interchange==0）

　　　x=x+s1;

　　else

　　　y=y+s2;

　　p=p+2*dy;

}

}