弹塑性力学-07优质PPT.ppt
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,在结点,x=x0-h;
在结点1,x=x0+h。
代入(b)得:
联立(c)、(d),解得差分公式:
5,弹塑性问题的数值解,同理,在网线4-0-2上可得到差分公式:
以上()()是基本差分公式,从而可导出其它的差分公式如下:
图7-2,6,弹塑性问题的数值解,差分公式()及()是以相隔2h的两结点处的函数值来表示中间结点处的一阶导数值,可称为中点导数公式。
以相邻三结点处的函数值来表示一个端点处的一阶导数值,可称为端点导数公式。
应当指出:
中点导数公式与端点导数公式相比,精度较高。
因为前者反映了结点两边的函数变化,而后者却只反映了结点一边的函数变化。
因此,我们总是尽可能应用前者,而只有在无法应用前者时才不得不应用后者。
7,弹塑性问题的数值解,7-2应力函数的差分解,当不计体力时,平面问题中的应力分量可以用应力函数的二阶导数表示:
如果在弹性体上织成如图7-3所示的网格,应用差分公式就可以把任一结点处的应力分量表示成为:
(a),图7-3,(b),8,弹塑性问题的数值解,可见,只要已知各结点处的值,就可以求得各结点处的应力分量。
对于弹性体边界以内的每一结点,都可以建立这样一个差分方程。
但是对于边界内一行(距边界为)的结点,差分方程中还将包含边界上各结点处的值和边界外一行的虚结点的值。
因此必须将网格扩展到边界外,假想在边界外还有一行结点。
先算出边界上各结点的,再求靠近边界外面一行的各结点的,然后解出边界内各结点的联立差分方程。
9,弹塑性问题的数值解,10,为了求得应力函数在边界上各节点的函数值和导数值,必须应用应力边界条件,用应力函数改写,从图中看出,沿着s的方向,移动ds时,dy为正值,dx为负值,边界条件可以改写为,再将x,y看成中间变量,上式可以改写为,弹塑性问题的数值解,11,上面两式对s积分,从基点A积分到边界上任意一点B,弹塑性问题的数值解,12,弹塑性问题的数值解,13,根据(d)(e)两个式子,如果已知基点A的应力函数值和偏导数值,根据面力分量,就可以求得任意一点B的应力函数值和偏导数值。
因为应力函数加上线型函数ax+by+c,对应力没有影响,我们总可以通过调整a,b,c三个系数,使基点A的应力函数值和偏导数值为零,这样,(d)(e)两式就得到简化。
弹塑性问题的数值解,14,(d)的第一式右边是A和B之间x方向面力之和,(d)的第二式右边是A和B之间y方向面力之和,(e)的右边是A和B之间面力对B点的力矩。
弹塑性问题的数值解,边界外一行的虚结点处的值的计算,在建立差分方程时候,需要知道图中的虚结点的函数值,例如要知道13和14点的函数值:
15,弹塑性问题的数值解,(三)有限差分法计算步骤,
(1)在边界上任意选定一个结点作为基点A,取:
然后由(e)中式算出边界上所有各结点处的值,以及应用公式(d)时所必须的一些值及值。
16,(5)按照公式(b),计算所需求的应力分量。
(3)对边界内的各结点建立差分方程,联立求解,从而求出各结点处的值。
(4)按照公式,算出边界外一行的各虚结点处的值。
弹塑性问题的数值解,7-3应力函数差分解的实例,解:
假定反力是集中力。
取坐标轴如图所示,取网格间距边长。
由于对称,只计算梁的左一半。
设有正方形的混凝土深梁,如图,上边受均布向下的铅直载荷,由下角点处的反力维持平衡,试用应力函数的差分解求出应力分量。
17,弹塑性问题的数值解,
(2)将边界外一行各个虚结点处的值(至)用边界内一行各结点处的值表示。
由于上下两边,所以有:
18,弹塑性问题的数值解,同样:
(3)对边界内的各结点建立差分方程。
例如对结点1(注意对称性):
(4)计算边界外一行各结点处的值。
19,弹塑性问题的数值解,由式(a)、(b)、(c)可得(为单位):
(5)计算应力。
可见,对于象本例题中这样的深梁,用材料力学公式算出的应力远远不能反映实际情况。
20,弹塑性问题的数值解,由式(a)、(b)、(c)可得(为单位):
21,弹塑性问题的数值解,22,7-4弹性体的形变势能和外力势能,设横梁ABCD为刚梁,横截面面积为76.36mm的钢索绕过无摩擦的定滑轮。
设P=20kN,试求刚索的应力和C点的垂直位移。
设刚索的E=177GPa。
解:
方法1:
小变形放大图法1)求钢索内力:
以ABCD为对象,2)钢索的应力和伸长分别为:
D,弹塑性问题的数值解,23,3)变形图如左图,C点的垂直位移为:
弹塑性问题的数值解,24,解:
方法2:
能量法:
(外力功等于变形能)
(1)求钢索内力:
以ABD为对象:
设横梁ABCD为刚梁,横截面面积为76.36mm的钢索绕过无摩擦的定滑轮。
弹塑性问题的数值解,25,
(2)钢索的应力为:
(3)C点位移为:
能量法:
利用应变能的概念解决与结构物或构件的弹性变形有关的问题,这种方法称为能量法。
弹塑性问题的数值解,26,弹性理论问题需要解一系列偏微分方程组,并满足边界条件,这在数学上往往遇到困难。
因此需要寻求近似的解法。
变分法的近似解法是常用的一种方法。
在数学上,变分问题是求泛函的极限问题。
在弹性力学里,泛函就是弹性问题中的能量(功),变分法是求能量(功)的极值,在求极值时得到弹性问题的解,变分问题的直接法使我们比较方便地得到近似解。
首先给出计算形变势能的表达式。
利用功与能的关系,主要介绍了位移变分法和应力变分法。
弹塑性问题的数值解,27,一变形比能,在复杂应力状态下,设弹性体受有全部六个应力分量。
根据能量守恒定理,形变势能的多少与弹性体受力的次序无关,而完全确定于应力及形变的最终大小。
从而有弹性体的形变势能密度或比能:
比能用应力分量表示,弹塑性问题的数值解,28,比能用应变分量表示,其中,因此,我们有比能对应力分量的偏导,弹塑性问题的数值解,29,比能对应变分量的偏导,二形变势能,由于应力分量和形变分量,进而比能都是位置坐标的函数,所以整个弹性体的形变势能为:
将比能的三种表达形式代入,得形变势能的三种积分形式,弹塑性问题的数值解,30,将几何方程代入,形变势能还可用位移分量来表示,弹塑性问题的数值解,31,前面的推导中,物理方程使用平面应力问题的物理方程,如果是平面应变问题,只需要对前面的公式做如下变换,从前面公式中可以看出,形变势能是位移分量或者形变分量或者应力分量的二次函数,叠加原理不再适用。
另外当形变或者位移发生时候,总势能总是正的,弹塑性问题的数值解,32,若弹性体受体力和面力作用,平面区域内体力分量为:
边界上的面力分量为,则外力(体力和面力)在实际位移上所做的功称为外力功,系统在自然状态下()或者()的外力功和势能为零,由于外力作了功,消耗了外力势能,因此,发生实际位移时,弹性体的外力势能是:
弹塑性问题的数值解,33,7-5位移变分方程,设有平面问题任一单位厚度弹性体,在一定外力作用下处于平衡状态,u,v为实际存在的位移分量,满足位移表示的平衡微分方程和位移边界条件以及用位移表示的力的边界条件,假设位移分量发生了边界条件所容许的微小改变,即所谓的虚位移,弹性体从实际位移状态,进入到虚位移状态,弹塑性问题的数值解,34,微分和变分运算对象不同,在微分运算中,自变量一般是坐标等变量,因变量是函数,在变分运算中,自变量本身就是函数,因变量是泛函,微分和变分都是微量,运算方式在形式上是一样的,例如,弹塑性问题的数值解,35,弹性体发生了虚位移(位移变分)外力势能和形变势能也相应发生改变,由于位移变分(虚位移)引起的应变变分(虚应变),由于位移变分(虚位移)引起的应变势能的变分,上式中的应力分量,在位移变分前已经存在,作恒力计算,弹塑性问题的数值解,36,假设在虚位移过程中系统没有温度和速度的改变,按照能量守恒原理,形变势能的增加应等于外力势能的减少,也就是等于外力功,位移变分方程,极小势能原理,该式的意义是:
在给定的外力作用下,在满足位移边界条件的各组位移中,实际存在的一组位移应使总势能为最小。
如果考虑二阶变分,进一步的分析证明,对于稳定平衡状态,这个极值是极小值。
因此,该式又称为极小势能原理。
弹塑性问题的数值解,虚功方程-外力在虚位移上作的功等于应力在虚应变上做的功,变分方程或者极小势能原理或者虚功方程等价于平衡方程和力的边界条件,或者说可以替代平衡方程和力的边界条件,弹塑性问题的数值解,其中u0,v0,w0为设定的函数,它们的边界值等于边界上的已知位移;
um、vm、wm为边界值等于零的设定函数,Am、Bm、Cm为待定的系数,位移的变分由它们的变分来实现。
先设定满足位移边界条件的位移分量的表达式,其中包含若干个待定的系数,再根据极小势能原理,决定这些系数。
取位移分量的表达式如下:
7-6位移变分法,弹塑性问题的数值解,应变能的变分为,外力势能的变分为,位移分量的变分是,弹塑性问题的数值解,中,得到,上面是个数为3m的线性代数方程组,求解后,代回位移分量的表达式,得到位移分量的近似解。
这种方法称为瑞次法。
12,代入,弹塑性问题的数值解,将位移变分法应用于平面问题,瑞次法和伽辽金法都将得到简化。
由于两种平面问题都不必考虑z方向的位移w,且u和v都不随坐标z而变,所以位移分量的表达式可设为,为了决定系数Am及Bm,在z方向取一个单位长度,只须应用如下二式来求解线性方程组,19,7-7位移变分法的例题,弹塑性问题的数值解,其中形变势能用位移分量表示形式简化如下,平面应变问题,平面应力问题,20,弹塑性问题的数值解,例1:
如图所示的薄板,不计体力,求薄板的位移,解:
设位移,它们是满足位移边界(左边和下边)的边界条件的。
在平面应力状态下,可得,22,弹塑性问题的数值解,即,可得,由,即,解得,23,弹塑性问题的数值解,例2:
如图所示,宽为2a而高度为b的矩形薄板,左右两边及下边均被固定,而上边的位移给定为,不计体力,试求薄板的位移和应力。
取坐标轴如图所示。
设位移分量为,24,也就是u,是x的奇函数,y的偶函数,弹塑性问题的数值解,可以满足位移边界条件,即,注意体力X=Y=0而m=1,方程成为,25,进行积分并求解得,弹塑性问题的数值解,为简单起见,取b=a而=0.2,将A1和B1代入所设位移函数得,应用几何方程及物理方程,可有上式求得应力分量,27,弹塑性问题的数值解,48,习题7-9应用Rely-Ritz法求解图示问题时,应如何设定问题函数,解:
弹塑性问题的数值解,49,此题位移关于y轴对称,也就是u,是x,y的奇函数,v是x,y的偶函数,注意到边界上初始位移为零,这样,不论各个系数如何取值,
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- 塑性 力学 07