均值不等式常见题型整理.doc
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均值不等式
一、基本知识梳理
1.算术平均值:
如果a﹑b∈R+,那么叫做这两个正数的算术平均值.
2.几何平均值:
如果a﹑b∈R+,那么叫做这两个正数的几何平均值
3.重要不等式:
如果a﹑b∈R,那么a2+b2≥(当且仅当a=b时,取“=”)
均值定理:
如果a﹑b∈R+,那么≥(当且仅当a=b时,取“=”)
均值定理可叙述为:
4.变式变形:
5.利用均值不等式求最值,“和定,积最大;积定,和最小”,即两个正数的和为定值,则可求其积的最大值;积为定值,则可求其和的最小值。
注意三个条件:
“一正,二定,三相等”即:
(1)各项或各因式非负;
(2)和或积为定值;
(3)各项或各因式都能取得相等的值。
6.若多次用均值不等式求最值,必须保持每次取“=”号的一致性。
有时为了达到利用均值不等式的条件,需要经过配凑﹑裂项﹑转化﹑分离常数等变形手段,创设一个应用均值不等式的情景。
二、常见题型:
1、分式函数求最值,如果可表示为的形式,且在定义域内恒正或恒负,则可运用均值不等式来求最值。
例:
求函数的最小值。
解:
当即x=0时等号成立,
2、题在给出和为定值,求和的最值时,一般情况都要对所求式子进行变形,用已知条件进行代换,变形之后再利用均值不等式进行求最值。
例:
已知,求的最小值。
解法一:
思路二:
由变形可得然后将变形。
解法二:
可以验证:
两种解法的等号成立的条件均为。
此类题型可扩展为:
设均为正数,且,求的最小值。
,等号成立的条件是。
3、题中所求的式子中带有根式,而且不能直接用均值不等式来求解,则可采用逆向思维来求解,对不等式逆向转换,本类题型一般情况都给出来x的取值范围,根据取值范围来进行逆向转换。
例:
求函数的最小值。
思路:
由于所给函数的形式为无理式,直接求解较困难,从所给区间入手,可得一个不等式(当且仅当或时取等号),展开此式讨论即可。
解:
即
得
4、不等式的变形在证明过程中或求最值时,有广泛应用,如:
当时,同时除以ab得或。
例:
已知a,b,c均为,求证:
。
证明:
均为正数,,
总之,均值不等式是高中数学的重要内容之一,它是求多项式的最值以及函数的值域的常用方法。
在应用均值不等式时,不论怎样变形,均需满足“一正二定三相等”的条件。
【巩固练习】
1、若求函数最值。
答案:
2、求函数的值域。
答案:
[-3,0]
3、已知正数满足求的最小值。
答案:
4、已知为正数,且,求的最小值。
答案:
5、若,求的最小值。
答案:
6、设为整数,求证:
。
三、利用不等式解题的典型例题解析:
题型一:
利用均值不等式求最值(值域)
例1、
(1)已知,求的最小值
(2)已知,求的最大值
变式1:
1、若,求的值域
2、函数的最大值为
变式2:
1、已知且,求的最小值
2、,求的最小值
3、当为正常数时,求的最小值
变式3:
1、函数的图象恒过定点,若点A在直线上,其中,则的最小值为
2、求的最小值为
3、已知的最小值为
变式4:
1、已知都是正实数,且
(1)求的最小值
(2)求的最小值
题型二:
利用均值不等式证明不等式
例2、已知,求证:
(1)
(2)
(3)
变式5:
1、已知且不全相等,求证:
2、已知,且,求证:
3、已知,求证:
题型三:
利用基本不等式解应用题
例3、某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉6吨,每吨面粉的价格为1800元,面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元,每次购买面粉需支付运费900元。
(1)该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少?
(2)若提供面粉的公司规定:
当一次性购买面粉不少于210吨时,其价格可享
受9折优惠(即原价的90),该厂是否应考虑接受此优惠条件?
请说明理由。
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