构造满足利普希茨条件的有界闭区域-常微分方程-精品课程PPT文件格式下载.pptx
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differentiability,3.3.2解对初值的连续依赖性定理假设f(x,y)于域G内连续且关于y满足局部利普希,茨条件,,是初值问题,的解,在区间,时,方程满足条件也有定义,并且,3.3Continuity&
differentiability,引理如果f(x,y)在某域D内连续,且关于y满足,利普希兹条件(利普希兹常数为L),则方程(3.1.1)任意两个解在它们公共存在区间成立不等式,其中为所考虑区间内的某一值。
证明设在区间,均有定义,令,不妨设,因此,有,3.3Continuity&
differentiability,则,于是,因此,在区间a,b上,为减函数,有,3.3Continuity&
differentiability,对于区间,并且已知它有解类似以上推导过程,令注意到,3.3Continuity&
differentiability则,因此两边取平方根,得,解对初值的连续依赖性定理的证明
(一)构造满足利普希茨条件的有界闭区域因为,积分曲线段是xy平面上一个有界闭集,又按假定对S上每一点(x,y)必存在一个以它为中心的开圆使在其内函数f(x,y)关于y满足利普希茨条件。
根据有限覆盖定理,可以找到有限个具有这种性质的圆并且它们的全体覆盖了整个积分曲线段S。
设为圆的半径,表示f(x,y)于内的相应的利普希茨常数。
differentiability,令,则有,且的边界与S的距离,。
对预先给定的,若取则以S上每一点为中心,以为半径的圆的全体,连同它们的圆周一起构成S的有界闭域,且f(x,y)在D上关于y满足利普希茨条件,利普希茨常数为L。
differentiability,
(二)解对初值的连续依赖性断言,必存在这样的正数使得只要满足不等式,则解必然在区间,也有定义。
由于D是有界闭区域,且f(x,y)在其内关于y满足利普,必能延拓,希茨条件,由延拓性定理知,解到区域D的边界上。
设它在D的边界上的点为这是必然有,3.3Continuity&
differentiability,因为否则设,3.3Continuity&
differentiability则由引理,由的连续性,对,必存在,使得当,时有,取,则当,于是,对一切,成立,特别地有,即点,均落在D的内部,而不可能,位于D的边界上。
与假设矛盾,因此,解在区间a,b上有定义。
differentiability,在不等式,中,,将区间c,d换为a,b,可知,当时,有,定理得证。
differentiability,的解作为它的存在范围内是连续的。
的函数在,解对初值的连续性定理假设f(x,y)于域G内连续且关于y满足局部利普希茨条件,则方程,3.3Continuity&
differentiability,1.含参数的一阶方程表示,,使得对任何,无关的正数。
2.一致利普希兹条件设函数在内连续,且在内一致地关于y满足局部利普希兹(Lipschitz)条件,即对内的每一点都存在以,为中心的球成立不等式其中L是与,3.3Continuity&
differentiability,由解的存在唯一性定理,对每一方程的解唯一确定。
记为,3.3Continuity&
differentiability,解对初值和参数的连续依赖性定理假设于域内连续,且在内关于y一致地满足局部利普希茨条件,,的解,在区间,时,方程满足条件也有定义,并且,有定义,必存在正数,是方程通过点的解,在区间其中那么,对任意给定的使得当,3.3Continuity&
的函数在,内关于y一,解对初值和参数的连续性定理假设于域内连续,且在致地满足局部利普希茨条件,则方程,3.3Continuity&
differentiability,3.3.3解对初值的可微性定理若函数f(x,y)以及都在区域G内连续,则方程,的解作为它的存在范围内是连续可微的。
的函数在,3.3Continuity&
differentiability,3.3Continuity&
differentiability,证明由,在区域G内连续,推知f(x,y),在G内关于y满足局部利普希茨条件。
因此,解对初值的连续性定理成立,即,在它的存在范围内关于下面进一步证明对于函数围内任一点的偏导数,是连续的。
的存在范,存在且连续。
differentiability,为足够小的正数)所确定的方程的解分别为,先证设由初值,即于是,其中,存在且连续。
differentiability,注意到,及,的连续性,有,其中具有性质,类似地其中与具有相同的性质,因此对,3.3Continuity&
differentiability,即,是初值问题,的解,在这里,被视为参数。
显然,当,时上述初值问题仍然有解。
differentiability,根据解对初值和参数的连续性定理,知是的连续函数。
从而存在,而,是初值问题,的解。
且,,显然,的连续函数。
它是,3.3Continuity&
differentiability,再证设,3.3Continuity&
differentiability存在且连续。
为初值所确定的方程的解。
类似地可推证是初值问题的解。
因而,其中具有性质,故有,显然它是,的连续函数。
至于的存在及连续性,只需注意到是方程的解,因而由及的连续性即直接推的结论。
证毕。
differentiability,课堂练习,1设,是初值问题,的解,试证明,3.3Continuity&
differentiability,作业:
P.93,第3,4题,2已知方程,试求,3.3Continuity&
differentiability,按照公式,一般有,由于,,因此,我们有,时有,
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