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第二讲卷积和相关
1.卷积概念:
设f(x)和h(x)是两个复函数,其卷积概念为:
卷积运算的意义:
一个函数绕函数轴反转并沿自变量轴做某一平移后与另一函数的重叠面积。
2.相关的概念及其运算性质
两个复函数f(x,y)和h(x,y)的相互关概念为:
★
相关运算的四个步骤:
第一函数取共轭→两函数变量变换→第二函数平移→相乘积分。
3.相互关与卷积的比较:
1)相互关时有一函数要取复共轭,而卷积没有;
2)相互关图形不需要反转;
3)二者在位移、相乘和积分这三个进程是一样的。
4.相互关的意义:
衡量两个函数间存在的关联程度,两信号关联程度高相互关值就大。
相关与卷积的关系
一、证明题
1.若,试证明;
即参与卷积的一个函数发生平移,卷积的结果也仅仅发生平移。
依照卷积的概念,已知
2.证明
依照卷积的概念写出积分表达式,然后再依照δ函数的挑选性质。
二、试探题
1.利用梳函数与矩形函数的卷积表示线光栅的透过率。
假定缝宽为a,光栅常数为d,缝数为N。
第三讲第四讲傅里叶变换的大体性质和大体定理
复函数f(x,y)的傅里叶变换概念为:
其中称为像函数(或频谱),f(x,y)称为原函数.二者组成傅里叶变换对;
傅里叶变换大体定理(重点)
1.线性定理
2.缩放和反演定理
3.位移定理
4.Parseval定理(能量守恒定理)
5.卷积定理
6.相互关定理(表示互功率谱)
7.迭次变换定理
f
像面
谱面
物面
透镜
即对函数f(x,y)持续作两次傅立叶变换或逆变换,得其“镜像”(傅立叶变换的对称性)。
光学模型为4f成像系统
8.积分变换定理
9.共轭变换定理
10.空间周期与空间频率
试证明
1.证明下面的傅里叶变换关系式
依照傅里叶变换的概念,写出它的积分表达式:
同理,把此结果和矩形夫琅和费衍射的结果相较较。
1.求的傅里叶变换。
解:
2.单色平面波的复振幅表达式为,求此波在传播方向的空间频率和在x,y,z方向的空间频率。
由题设知2分
且
3.应用卷积定理,求tri(x∕a)的傅里叶变换。
上式
第五讲线性系统与线性空间不变系统和二维采样定理
1.线性系统:
假设一个系统同时具有叠加性和均匀性,即有:
那么称该系统是线性系统。
2.平移不变性:
若
那么称该系统具有平移不变性。
所谓平移不变性确实是当输入产生平移时,输出也仅发生平移,形式不变。
3.线性平移不变系统:
既具有线性又具有平移不变性的系统称为线性平移不变系统。
线性平移不变系统的空域描述:
由FT的卷积定理:
可得:
线性平移不变系统的频域描述为
其中:
G(u,v)、F(u,v)和H(u,v)别离是g(x,y)、f(x,y)和h(x,y)的频谱。
4.线性平移不变系统的本征函数
关于一个系统,假设存在一个函数f(x,y),知足条件:
那么称该函数为该系统的本征函数。
线性平移不变系统的本征函数是复指数基元函数,即:
,也是δ函数。
脉冲响应是实函数的线性平移不变系统,其本征函数是正、余弦函数;
即:
1.光学傅里叶变换可看成是函数到其频谱的变换,试回答
(1)那个系统是线性的吗?
(2)那个系统具有线性不变性质吗?
什么缘故?
答傅里叶变换有线性性质。
设
a,b为常数,那么
函数有空间位移时其频谱有相移,并非会产生频谱移动。
因此傅里叶变换没有线性平移不变性。
2.写出物光场U(x,y)的二维傅里叶变换表达式,并说明其物理意义。
任意光场U(x,y),其二维傅里叶逆变换为
其中U(fx,fy)dfxdfy是平面波exp[i2p(fxx+fyy)]的振幅,平面波的传播方向由空间频率(fx,fy)决定
物理意义:
任意一光场都能够分解成无穷多个传播方向不同的,振幅不同的平面波;
例题1:
有两个线性平移不变系统,它们的原点脉冲响应别离为和,试计算各自对输入函数的响应。
对与线性平移不变系统,脉冲响应的傅里叶变换是系统的传递函数
因此
输入频谱为
关于系统1的输出频谱为
关于系统1的输出函数也为0,即
关于系统2的输出频谱为
关于系统2的输出函数为
1、已知衍射受限光学系统的输入函数为,系统的传递函数为三角形函数。
假设b取:
①b=1;
②b=3,求系统的输出频谱和输出函数。
依照打扮函数的概念,打扮函数的傅里叶变换仍是打扮函数,即
,此为距离为1的函数组成的分立的周期频谱值。
当b=时,只有零频成为通过,且,输出频谱为
输出的函数是的常数。
当b=时,只有零频和两个基频成份通过,且,
其输出的频谱是
输出的函数是其频谱的傅里叶逆变换
2、如何利用透镜的傅里叶变换性质,来取得物光场的傅里叶频谱?
由透镜的傅里叶变换性质可得,当物t(x0,y0)位于前焦平面,在单色平面光波的照射下,其后焦平面上的光场为
可见,现在在透镜的焦平面上,即可取得物体的准确傅里叶频谱。
也确实是说;
这时透镜起到了一个傅里叶变换的作用。
第2章标量衍射理论
温习纲要:
1.基尔霍夫积分定理
设有一单色光波通过闭合曲面∑′传播。
那么光波电磁场的任一直角分量的复振幅
知足亥姆霍兹方程,即:
假设不考虑电磁场其它分量的阻碍,孤立地把看做标量场,并用曲面上的和值表示面内任一点的,这种理论确实是亥姆霍兹-基尔霍夫积分定理。
在面上的积分,应用基尔霍夫边界条件:
(1)在孔径上,光场散布U及其导数与没有屏幕时完全相同。
(2)在孔径∑阴影区内的那部份,光场散布及其导数恒等于零。
(3)由索莫非辐射条件故面上的整个积分随R趋于无穷大而消失。
最后得:
2.基尔霍夫衍射理论:
;
令,,
因此
当光源足够远,且入射光在孔径平面上各点的入射角都不大时,
,
2.菲涅耳衍射——近场衍射:
菲涅耳近似(只取前两项):
讨论:
(1)菲涅耳衍射的卷积表示
令
那么
这说明菲涅耳衍射进程可视为一线性空间不变系统,它必然存在一个相应的传递函数,即
3.夫琅禾费衍射——远场衍射:
夫琅禾费近似:
;
例题:
1、在平面上有两个相同的矩孔组成的衍射屏,它们的宽度为a,长度为b,中心相距为d。
采纳振幅为A,波长为λ的相干平面波垂直照明,求相距为z的观看平面上夫琅和费衍射图样的强度散布。
a
b
d
x0
y0
图1
双矩孔的透过率函数为:
当用单位振幅的单色平面波垂直照明时,其孔径后面透射光场即为
观看面上的光场散布
夫琅和费衍射图样的强度散布
其中
4.衍射的角谱理论:
泰保效应(TalbotEffect)——不用透镜可对周期性衍射屏的菲涅耳衍射成像(自成像)
Periodicobject
Planewave
,ZT为泰保距离,在ZT的整数倍距离上,可观看到物体的像。
1、不用透镜可对周期性衍射屏成像的现象称为,其实质是周期性衍射屏的菲涅尔衍射成像。
的整数倍距离上,可观看到物体的像。
2、菲涅耳衍射的脉冲响应函数的表达式为(空域)_____________。
第3章光学成像系统的频率特性
透镜的傅里叶变换性质
四透镜的傅立叶变换性质
1薄透镜的位相调制作用:
假设不考虑透镜孔径大小的阻碍,透镜的透过率函数为
2透镜的傅立叶变换性质:
假设物置于透镜前方,当用单位振幅的平面波垂直照射时,那么在透镜后焦面上取得的输出函数为(不考虑透镜孔径):
其中,即在透镜后焦面上取得的是物函数的傅立叶频谱。
假设物平面在透镜前焦面时,,现在可在透镜后焦面上取得物函数的准确的傅立叶变换。
五衍射受限系统的点扩展函数:
1单色光照明时,衍射受限系统的脉冲响应确实是系统光瞳函数的傅立叶变换,即
假设令:
M为系统近轴下的横向放大率。
那么:
2考虑到出瞳的有限大小时,像函数为:
,其中,为不考虑出瞳的有限大小,系统对物所成的理想像函数;
六衍射受限相干成像系统的传递函数:
相干传递函数在数值上等于系统的光瞳函数,即:
。
系统的截止频率为:
,其中,别离是出瞳沿x轴和y轴方向的线度。
七衍射受限非相干成像系统的传递函数:
1衍射受限非相干成像系统遵从光强加度卷积积分:
,其傅立叶变换为:
,各式依次表示像强度的频谱函数,物强度的频谱函数和强度脉冲响应函数的频谱函数。
2非相干成像系统的光学传递函数:
,其中,模称为调制传递函数,描述系统对各类频率分量对照度的传递能力;
其幅角称为位相传递函数,描述系统对各频率分量施加的相移,表现了实际的像强度散布的位置相关于其对应的物强度散布移动了多少。
设有一透镜带有一的方形光阑,像距为,设入射波长为,试求:
(1)在相干光照明下,该透镜的相干传递函数和截止频率;
(2)在非相干光照明下,该透镜的光学传递函数及截止频率。
(1)在相干光照明下,该透镜系统光阑的透过率函数P(x,y)可用一个二维矩形函数来表示
系统的相干传递函数为
透镜系统的截止频率为
(2)在非相干光照明下,该透镜系统光阑:
如图(a)总面积s0=l2,如图(b)重叠部份的面积为
系统的传递函数为
透镜系统的截止频率
一、判定题(对的写“T”,错的写“F”)
1.不管衍射物体位于何种位置,只要观看面是物面的共轭面,那么物面和观看面之间的关系都是傅里叶变换的关系,即观看面上的衍射场都是夫琅和费型。
()
2.关于衍射受限共轴球面光学系统,相干传递函数等于光瞳函数,非相干传递函数等于光瞳函数重叠面积的归一化。
3.非相关连统的截止频率为相关连统的截止频率的两倍,咱们能够得出结论:
对同一个光学成像系统,利用非相干照明必然要比利用相干照明能取得更好的像。
()
二、填空题(每空2分,共10分)
物体放在焦距为f的透镜的前焦面,用波长为的单色平面波垂直入射照明,那么透镜的后焦面是物体的___________。
相干照明下衍射受限成像系统的脉冲响应为________,相干传递函数记作______,在反射坐标系下它就等于光瞳函数;
出瞳为边长a的正方形,其相干传递函数:
________;
沿边长方向的截止频率为______。
3.光学传递函数在处都等于1,这是什么缘故?
光学传递函数的值可能大于1吗?
若是光学系统真的实现了点物成像,这光阴学传递函数如何?
答:
由公式
可知;
(问题)不能证明在某个空间频率上有H>
1.
关于衍射受限系统
由自相关性质(p16),若是
对归一化的相互关函数和自相关函数
因此H不可能大
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