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托宾在研究中纳入了无风险资产,并认为投资者在进行风险资产构成比例的选择中是不考虑风险规避度的,因此在均值—方差界面中,所有的有效组合都在由一条通过无风险收益率并与马克维兹有效边界相切的直线中,这样投资者的最优组合选择问题可以分为以下两个步骤:
第一步,投资者先选择最优的风险投资组合,这一风险投资组合在马克维兹有效边界上,而通过无风险收益率并与有效边界相切的直线的切点就是最优风险资产组合,连接无风险利率和切点的直线就是投资者面临的有效组合的集合,同时投资者在选择这一最优风险资产组合时是不考虑他的风险规避度的;
第二步,每个投资者在自己风险规避度和财富的约束下都会形成一个基于均值和方差的无差异曲线,同时投资者会将自己所拥有的财富在无风险利率和最优风险组合之间进行分配,这一最优组合就是上述无差异曲线和有效组合的切点。
因此,托宾将投资者的资产组合决策分解成了两个步骤,首先是最优风险资产组合的选择,其次是投资者最优投资组合的选择,并且这两个选择是互相独立的,因此这也叫做两基金分离定理。
二、现代资产组合理论的基本模型
(一)模型的基本假设
1、所有的资产是可以无限细分的;
2、每个资产或资产组合的分析都是在单一时期进行;
3、资产收益率的概率分布是由均值表示,资产收益率风险的概率分布是由方差(或标准差)表示,并且这两个参数是可知的,所有投资者都以此为投资依据;
4、在投资决策中不考虑交易费用、个人所得税等额外费用的影响,市场是无摩擦的;
5、市场中没有通货膨胀出现;
6、所有的投资者都是理性的,也就是说所有的投资者在既定的风险水平上,追求最大的收益率,或在既定的收益水平上,追求最小的风险。
(二)模型中风险和收益的度量
1、单一证券资产收益率的度量
我们在这里以股票为例,以一年为投资期限,在股票投资中,投资收益率等于在这一时期内,股票红利收益和差价收益之和,用公式可以表示为:
在实际研究中,由于证券的收益率受到许多不确定因素的影响,从而它是一个随机变量,因此服从一个概率分布,我们假设每一个收益率出现的概率如下表:
收益率(%)
……
概率
因此该证券的期望收益率或预期收益率为:
在实际操作中,我们通常根据证券收益率概率分布的历史信息来估计该证券的预期收益率。
2、单一证券风险的度量
我们知道,证券的收益率是一个随机变量,其实际收益率与期望收益率往往存在一定的偏差,实际收益率往往分散在预期收益率周围。
如果实际收益率越分散,它们与期望收益率的偏离程度越高,投资者承担的风险也就越大。
因此,证券风险的大小可由实际收益率与预期收益率的偏离程度来反映,在数学上这一偏离程度叫做方差,即:
对上式求平方根,就是证券收益率的标准差。
3、证券组合收益和风险的度量
(1)两种证券组合收益和风险的度量
我们令两种证券为A和B,投资者将一笔资金中的比例投资于证券A,比例投资于证券B,且,允许卖空,并在到期时,假定证券A的收益率为,证券B的收益率为,则这一证券组合的期望收益率和收益率的方差可表示为:
其中,为相关系数,为协方差,记为COV(A,B)。
(2)多种证券组合收益和风险的度量
在这里我们把两个证券的组合拓展到多个证券的情形。
假定有N种证券,记为、、……,证券组合为,里面的系数表示投资于证券、、……的权重,允许卖空,设证券的收益率,则投资组合的期望收益率和方差为:
由此可见,资产组合的收益是各种资产预期收益的加权平均,而资产组合的风险不仅依赖各资产的风险以及权重,还取决于个证券资产收益率之间的协方差,或者资产收益率之间的相关系数。
投资分散化的基本原则就是选择相关系数比较低的证券组合,从而达到降低风险的目的。
(三)马克维兹资产组合理论的基本模型
马克维兹资产组合选择的原则是:
在既定的风险水平上选择最大的收益,或者在既定的收益水平上选择最小的风险,根据他的这一思路,对于任意给定的期望收益率水平,选择具有最小方差水平的资产组合就是最优的资产组合。
我们建立一个以均值作为纵轴,标准差为横轴的均值—标准差平面,每一个最优资产组合收益率所对应的均值(预期收益率)和标准差(风险)都是该平面中的一点,这些点组成的集合构成了资产组合的有效边界,如下图所示:
如图所示,FG就是一个最优的或有效的资产组合边界。
同时,马克维兹也提出了一个标准的均值—方差模型来对其理论进行模型说明。
1、马克维兹标准的均值—方差模型
该模型是由马克维兹在1954年提出,除了包括上述基本假设以外,还包括无风险借贷和不允许卖空两个假定条件,模型表示如下:
其中,均为正数。
在这里,是给定的期望收益率水平,运用一定的线性规划方法可以得到最优资产组合的权数(i=1,2,……,N),然后根据单个资产的收益和风险来计算出最优资产组合的收益和风险。
2、允许约束条件变化的均值—方差模型
(1)允许卖空的均值—方差模型
在允许卖空的情况下,模型可以修改如下:
其中,可以为正数,也可以为负数。
这个线性规划问题可以通过引入如下拉格朗日函数来求解,即:
对上式求偏导,可以得到最优资产组合的权数(i=1,2,……,N),然后根据单个资产的收益和风险来计算出最优资产组合的收益和风险。
(2)限制买空卖空的均值—方差模型
其中,和分别是针对资产i卖空和卖空的限制。
(3)纳入无风险资产的均值—方差模型
其中,是无风险资产的收益率。
三、托宾对马克维兹资产组合理论的拓展
(一)关于投资者无差异曲线的论述
对于一个特定的投资者,给定一个证券组合,根据该投资者的风险满意程度可以得到一系列满意程度相同的证券组合,并将这些证券组合所对应的均值和方差组合表示在均值—方差平面上,将这些点连接所得到的平滑曲线就是该投资者的无差异曲线。
我们可以将无差异曲线所代表的满足程度(效用)看作均值和标准差的函数,即,同时托宾认为无差异曲线必定有一定的曲率,且呈凸状。
无差异曲线如下图所示:
在上图中,无差异曲线上所代表的点都能给投资者带来相同的满意程度,但是对于不同的投资者,无差异曲线的形状也不相同。
尽管不同的投资者面临不同的无差异曲线,但无差异曲线都具有以下几个特点:
1、每条无差异曲线都是由左向右向上弯曲的曲线。
2、同一条无差异曲线上的组合给投资者带来的满意程度相同。
3、不同无差异曲线上的组合给投资者带来的满意程度不同。
4、每个投资者的无差异曲线都有无数条,并且这些无差异曲线在均值—方差平面上是不相交的。
5、无差异曲线的位置越高,其给投资者带来的满意程度也就越高。
6、无差异曲线的弯曲程度反映了投资者的风险承受能力。
(二)最优资产组合的确定
托宾认为,投资者最优风险资产组合的确定应该是其无差异曲线与风险资产组合有效边界的切点。
如下图所示:
由上图所示,无差异曲线AB与有效边界FG的切点T,就是投资者最优的风险资产组合。
因为只有在这一点投资者才能得到最大满足程度的资产组合,如果无差异曲线高于有效边界线,投资者在既定的财富约束下无法达到如此高的满足程度;
如果无差异曲线与有效边界线相交,则投资者还没有达到既定约束水平下的最高满足程度,因此两者的切点才是投资者的最优风险组合。
(三)纳入无风险资产的最优资产组合
托宾认为,在纳入无风险资产后,投资者的有效边界组合就会发生改变,所有的有效组合都在由一条通过无风险收益率并与马克维兹有效边界相切的直线中,如下图所示。
其中切点T就是最优的风险资产组合,直线T以及T点的右半部分就是纳入无风险资产后的有效边界组合。
这样投资者的最优组合选择问题可以分为以下两个步骤:
在上图中,无差异曲线与有效组合的切点在最有风险资产组合的左边,说明投资者不存在卖空行为,投资者只是将自己的财富在无风险利率和最有风险资产组合之间进行分配,无差异曲线与有效组合的切点就是投资者的最优资产组合。
在下图中,无差异曲线与有效组合的切点在最有风险资产组合的右边,说明投资者存在卖空行为,投资者先以无风险利率借入一定数量的资金,然后将自己所有的财富全部投资于最优风险资产组合。
因此,托宾将投资者的资产组合决策分解成了两个步骤,首先是最优风险资产组合的选择,其次是投资者最优投资组合的选择,并且这两个选择是互相独立的,这一结论也叫做两基金分离定理。
四、对现代资产组合理论的简要述评
马克维兹现代资产组合理论的提出标志着西方证券投资组合理论的诞生,他不仅为后来托宾的资产组合理论奠定了基础,也为资本资产定价模型(CAPM)、套利定价理论(APT)等一系列理论构建了一个有效的研究框架。
马克维兹将其资产组合理论抽象化为一个精确的经济模型(即均值—方差模型),该模型不仅将资产及其组合的收益和风险用精确的数学模型表示出来,而且还解决了资产组合的最优化问题,帮助投资者确定有效的资产组合使其在既定的风险条件下获得最大的收益,或在既定的收益水平上承担最低的风险,该理论第一次使资产组合分析真正的科学化、精确化、程序化和数量化,从而奠定了其在证券投资理论体系中的重要地位。
马克维兹的现代资产组合理论对证券投资理论体系的理论贡献主要表现在:
第一,在现代资产组合理论产生之前,在研究不确定条件下的投资行为时,学者们往往假设投资者的目标为期望货币收益最大化,在投资中只重视资产的预期收益,忽视了资产的风险。
而马克维兹是从效用的角度来研究投资者的投资目标,他认为投资者不仅要重视资产组合的预期收益,更要重视资产组合的风险,他将投资者的效用水平看作是资产组合预期收益和风险的函数,并且该效用水平是资产组合预期收益的增函数和风险的减函数,马克维兹认为投资者的投资目标应该是期望效用最大化,为使投资者的效用水平增加,必须进行有效的资产组合使其在既定的收益水平上降低风险,或在既定的风险水平上提高收益率。
马克维兹将期望效用理论纳入资产组合理论的这一研究方法是新古典经济学在证券投资理论研究领域中的具体表现,这为证券投资理论的发展奠定了坚实的经济学理论基础,同时这在投资领域的研究中也是一种进步,因为该理论更为现实的解释了投资者的投资行为。
但是,由于新古典经济学中边际效用分析方法上的局限性,期望效用理论也不是完美的。
第二,马克维兹在模型中首次运用数理统计的方法对资产组合的收益和风险进行分析,将严密的数学推导纳入到证券投资理论的分析中,开创了投资领域数量化分析的先例,自此以后,证券投资领域的分析方法就由理
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