实验三傅里叶变换及其性质Word文档格式.docx

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义为：

F（e）=F[/a）]-E傅里叶反变换定义为：

/（0二FjFS）]二£

匸/'

（劲卩

叫bo

信号的傅里叶变换主要包括MATLAB符号运算和MATLAB数值分析两种方法，下而分别加以探讨。

同时，

学列连续时间借号的频谱图。

3.L1MATLAB符号运算求解法

MATLAB符号数学工具箱提供了宜接求解傅里叶变换口傅里叶反变换的函数fourier0和ifourierOo

Fourier变换的语句格式分为三种•

（1）F=fourier（f）:

它是符号函数f的Fourier变换，默认返回是关于①的函数。

（2）F=fourier（f,v）：

它返回函数F是关于符号对彖v的函数，而不是默认的Q,即二

（3）F=fourier（f・u,v）:

是对关于u的函数f进行变换，返回函数F是关于v的函数，即

傅里叶反变换的语句格式也分为三种。

（1）f=ifourier（F）:

它是符号函数F的Fourier反变换，独立变量默认为Q,默认返回是关于s的函数。

⑵f=ifourier（F,u）:

它返回函数f是u的函数，而不是默认的X。

（3）f=ifourier（F,u,v）:

是对关于v的函数F进行反变换，返回关于u的函数化

式。

3.1.2连续时间信号的频谱图

信号/（〃的傅里叶变换FGy）表达了宿号在6?

处的频谱密度分布情况，这就是信号的傅里叶变换的物理含义。

F（e）-般是复函数，可以表示成F«

y）=F«

y）°

加彳°

F（e）~ey与°

（0）~Q曲线分别称为非周期信号的幅度频谱与相位频谱，它们都是频率①的连续函数，在形状上与相应的周期信号频谱包络线相同。

非周期信号的频谱有两个特点，密度谱和连续谱。

要注意到，采用fourier（）和ifourierO得到的返回函数，仍然是符号表达式。

若需对返回函数作图，则需应用ezplotO绘图命令。

3丄3MATLAB数值计算求解法

fourier（）和ifourier（）函数的一个局限性是，如果返回函数屮有诸如单位冲激函数5（f）等项，贝ij

用ezplot0函数无法作图。

对某些信号求变换时，英返回函数可能包含一些不能直接用符号表达的式子，因此不能对返回函数作图。

此外，在很多实际情况屮，尽管信号/（f）是连续的，但经过抽样所获得的信号则是多组离散的数值量/⑺），丙此无法表示成符号表达式，此时不能应用fourier0函数对f（n）进行处

理，而只能用数值汁算方法来近似求解。

从傅里叶变换〉「义出发有F9）二£

f⑴严g驶X/（泌）厂曲’

—X

当△足够小时，上式的近似情况可以满足实际需要。

对于时限信号/（f）,或者在所研究的时间范围内让

/（0衰减到足够小，从而近似地看成时限信号，则对于上式可以考虑有限n的取值。

假设是因果信号.则

A/-I

F3=\》巳0<

n〈M-1

傅里叶变换后在Q域用MATLAB进行求解，对上式的角频率Q进行离散化。

假设离散化后得到N个样值，即咲氓匕0gN7

M-I

因此有F（k）=辽fg）严*0<

k<

N-\°

采用行向量•用矩阵表示为

/I-0

［F伙）］爲二4/（泌）］爲［不胁JNN。

其要点是要正确生成/（f）的M个样本向量［/（必）］与向量

2■网心当△足够小时，上式的内积运算（即相乘求和运算）结果I!

卩为所求的连续时间信号傅里叶变换

的数值解。

3.2傅里叶变换的性质

傅里叶变换的性质包含了丰富的物理意义，并且揭示了涪号的时域和频域的关系。

熟悉这些性质成为信号分析研究工作中最重要的内容之一。

3.2.1尺度变换特性

傅里叶变换的尺度变换特性为，若/（/）尸©

丿-则有K屮，a为非零实常数。

kd&

3.2.2频移特性

傅里叶变换的频移特性为，若则有/（f）/®

0F9—Q）。

频移技术在通信系统屮

得到广泛应用，诸如调幅变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成的。

频移的实现原理是将信号/（〃

乘以裁波信号cos®

/或sine/,从而完成频谱的搬移，即

/（f）cosQj〈"

-[F（e+%）+F（QY）]乙

/（Osinqfo扌[F（”+列）一F（ft）Y）]

4.实验内容及结果分析：

4.1试用MATLAB命令求下列信号的傅里叶变换，并绘岀其幅度谱和相位谱。

⑴川）二皿严-》

（2）/；

（0=sin（/rf）,

W-1）

第一题的实验程序代码：

第二题的实验程序代码：

clc;

clear;

Ft二

sym（*sin（2*pi*（t~l）}/（pi*（t-1）D；

Fw二fourier（ft）;

subplot（211）ezplot{abs（Fw））:

gridontitleCip/A度谱J;

phase=atan（imag（Fw）/real（Fw））;

subplot（212）

ezplot{phase）:

gridon

title（喘I位谱'

）；

第一-题实验结果如图1所示，第二题实验结果如图2所

ft二sym（，（sin（pi*t）/（pi*t）厂2'

）;

Fw二

fourier（ft）;

subplot（211）

ezplot（abs（Fw））;

gridontitle厂ip\I，度谱J；

phase=atan（imag（Fw）/real（Fw））:

subplot（212）

ezplot（phase）;

gridontitled计位谱J;

RiaEdkInsertlookDAtelctOpWbodgH«

rb・

OQtimb愆Q窃⑥址

□B■O

Figure1

4.2试用MATLAB命令求下列信号的傅里叶反变换,

t=sym（'

）;

Fw=syTn（，10/{3+i*w）-4/（5+i*w）'

）;

ft二ifoutiet（Fw）;

ezplot（ft）,gridon

第二题的实验程序代码：

4.3试用MATLAB数值计算方法求门信号的傅里叶变换，并画出其频谱图。

实验程序代码：

ftl=

sym（*Heaviside（t+1/2）-Heaviside（t~l/2）'

subplot（121）;

ezplot{ftl,[一1・51.5]Jrgridon

Fwl二simplify（fourier{ftl））;

grid

08

0.6

04

0.2

HeaMside（l+iy2bHea/iside（t-1/2）

实验结果如图5所示：

subplot（211）,plot（t,fl）,gridon;

axis（[-1,1,-0.2,1.2]）;

title{・fl（t）'

xlabel（'

t'

subplot（212）,plot（tt/f）,gridon;

axis（[-2,2,-0.2,1.2]）;

titleCf（t）二fl{t）*f2（t）'

xlabelt'

4.4已知两个门信号的卷枳为三角波信号，试用MATLAB命令验证傅里叶变换的时域卷积泄理。

两个门信号卷积成为三角波信号的实验程序代码:

clc;

dt=0.01;

t二-l;

dt:

2.5;

fl二uCT（t+1/2）-uCT（t-1/2）;

f2=

uCT（t+1/2）-uCT（t-1/2）;

f二conv（f1,f2）*dt;

n=length（f）;

tt=（0:

n-l）*dt-2;

两个门信号卷枳成为三角波信号的实验结果如图6所示:

三角波信号傅里叶变换的实验程序代码：

dt二0.01;

t=-4:

4;

ft二

（t+1）・*uCT（t+l）—2*t・*uCT{t）+{t-1）・*uCT（t-1）；

N=2000;

k二-N：

N；

W二2*pi*k/（（2*N+l）*dt）;

F=dt*ft*eKp（-j*t'

*W）;

plot{K,F）fgridon

axis{[-10*pi10*pi-0.21.2]）;

xlabelCW，Jzylabel「F（W）■）三角波信号傅里叶变换的实验结果力口隊17丘斤未

结果如图8所示。

title（•fl（t）*f2（t）的频谱图’）；

ftl和ft2分别傅里叶变换然后再相乘的代码：

ftl

syni{'

Heaviside{t+1/2）-Heaviside（tT/

2））

Fwl=fourier（ftl）;

ft2

syni{?

Heaviside（t+1/2）-Heaviside（t-l/

Fw2=fourier（ft2）;

Fw=Fwl.*Fw2;

ezplot（Fw,10*pi]）;

gridonaxis（[-10*pi10*pi-0.21.2]）;

ftl和ft2分别傅里叶变换然后再相乘的实验

图7和图8儿乎是一样的，所以傅里叶变换的时域卷积定理是正确的。