教学内容切线长定理Word文档下载推荐.docx
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例1:
如图7—156,AB是⊙O的直径,AC、BF都是⊙O的切线,CF切⊙O于D,DE⊥AB,分别交AB、BC于E、G.
求证:
DG=GE.
剖析:
因CA∥DE∥BF,故考虑借助于比例式来证线段相等.
由于CA、CF、FB是切线,可得CA=CD,DF=BF,这样,就为证DG=EG提供了条件.
说明:
借助于比例式来证明线段相等,是常用方法.本例灵活运用了平行线分线段成比例、切线长定理.
思考:
本例有结论,半径是AC、BF的比例中项,请证明,并利用它写出例1的另外解法.
例2:
如图7—157,PA、PB、CD都是⊙O的切线,∠P=60°
,设△PCD的周长为C1,⊙O的周长为C2,则C2和2C1的大小关系是
A.C2>2C1
B.C2=2C1
C.C2<2C1
D.C1与半径有关
△PCD的周长也就是PA+PB的和,只要计算PA的长就可以了,C2仅与半径的大小有关.
解:
连结OA、PO.设⊙O的半径为R.∵C1=PC+CD+DP
又CM=CA,DM=DB
∴C1=PC+CM+DM+PD=PA+PB=2PA
∵∠APB=60°
,∴∠APO=30°
∵PA是⊙O的切线,∴OA⊥PA,即∠OAP=90°
在Rt△POA中,cotAPO=∴PA=AO·
cotAPO=R∴C1=2RC2=2πR即C2<2C1.
故应选C.
例3:
已知⊙O内切于△ABC,DE∥BC,DE切⊙O于点P,△ABC的周长为20cm,如图7—158所示,设DE=ycm,BC=xcm,试写出y与x之间的函数关系式,并求当BC为多长时,DE取最大值,最大值是多少?
∵BC=x,BQ=BM,CQ=CN
∴BM+CN=BC=x.
∴△ADE的周长为C△ADE=AD+DP+PE+AE=AD+DM+EN+AE=AM+AN=C△ABC-(BM+CN+BC)=20-2x
又DE∥BC,
∴,即
∴y=.
∴当BC=x=5cm,DE=y取最大值,最大值为.
例4:
如图7—159,AD是⊙O的直径,直线l与⊙O交于E、F两点,过点A、D分别作直线l的垂线,垂足是B、C,CD交⊙O于G.
(1)证明:
AD·
BE=FG·
DF;
(2)设AB=m,BC=n,CD=p,试证明tanFAD、tanBAF是方程mx2-nx+p=0的两个实数根;
(3)若
(2)中的方程满足n2=4mp,判断直线l与⊙O的位置关系.
过点O作OM⊥l,垂足为M.由垂径定理,得EM=FM.
∵AB⊥l,CD⊥l,∴AB∥CD∥OM.
又∵AD是⊙O的直径,OD=OA,∴CM=BM,BE=CF.
∴∠AFD=90°
∠AFD=∠GCF=90°
.
∵四边形AFGD是圆内接四边形,∴∠CGF=∠FAD.
∴△CFG∽△FDA.
∴,即AD·
CF=FG·
DF.
∴AD·
(2)证明:
连结AG,则四边形ABCG是矩形,∴AB=CG.
∵tanFAD=tanFGC=,tanBAF=,
∴tanFAD+tanBAF=,
∵四边形ABCG是矩形,∴AG∥BC,∴=.
∴∠FDG=∠AFE.
∴Rt△DCF∽Rt△FBA.
∴.
∴CF·
FB=AB·
CD.
又∵AB=m,BC=n,CD=p,
∴tanFAD+tanBAF=,tanFAD·
tanBAF=
∴tanFAD、tanBAF是方程mx2-nx+p=0的两个实数根.
(3)解:
若
(2)中的方程满足n2=4mp,即Δ=0.
∴tanFAD=tanBAF.
即CF=FB=CE.∴点E、F重合.
说明直线l和⊙O有一个公共点.∴直线l与⊙O相切.
本例是一道综合性很强的题目,而且一题多问,一环扣一环,请同学们在解题时一定要理清思路.
【同步达纲练习】
1.
(1)若⊙O的切线长和半径相等,则两条切线所夹角的度数为
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
(2)⊙O为等腰梯形ABCD的内切圆,梯形ABCD的周长为40cm,则此梯形的中位线的长为
A.40cm
B.20cm
C.10cm
D.5cm
(1)如图7—160,若AB、AC分别切⊙O于B、C,延长OB到D,使BD=OB,连AD,∠DAC=78°
,则∠ADO等于
A.56°
B.39°
C.64°
D.78°
(4)如图7—161,AB、AC切⊙O于B、C,AO交⊙O于D,过D作⊙O切线分别交AB、AC于E、F,若OB=6,AO=10,则△AEF的周长是
A.10
B.12
C.14
D.16
(5)在⊙O的外切梯形ABCD中,若AD∥BC,那么∠DOC的度数为
A.70°
B.90°
D.45°
(6)已知⊙O的半径为3,点P和圆心O的距离为6,过点P作⊙O的两条切线,则切线的长为
A.3
B.3
C.3
D.
(7)在△ABC中,AC=3,BC=4,AB=5,则△ABC的内切圆半径为
A.1
B.1.5
C.2
(8)如图7—162,PA、PB是⊙O的两条切线,弦AB长为8cm,其弦心距为3cm,那么切线PA的长为
A.5cm
B.8cm
C.cm
D.cm
(9)如图7—163,在Rt△ABC中,∠C=90°
BC=a,AC=b,以AB上一点O为圆心的⊙O,与BC切于点D,与AC切于点E.那么⊙O的半径等于
A.
B.
C.
2.填空题
(1)圆的外切等腰梯形的两底长分别是2cm和8cm,那么该圆的半径是________;
(2)圆的外切平行四边形是________;
(3)作一个半径为2cm的圆,使它与已知60°
角的两边都相切,则圆心到角的顶点的距离是________;
(4)Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于D,且AD=5,BD=3,则S△ABC=________;
(5)⊙O的半径为2,弦AB=2,过A、B两点的⊙O的切线相交于点P,PO与圆相交于C,则C到PA的距离是________;
(6)PA、PC分别切⊙O于A、C两点,B为⊙O上与A、C不重合的点,若∠P=50°
,则∠ABC=________.
(7)如图7—164,已知PA、PB分别切⊙O于A、B两点,AC⊥PB于C,且与⊙O相交于点D.若∠DBC=20°
则∠APB=________度.
(8)如图7—165,四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC.以AB为直径的⊙O与腰CD相切,切点为E,设此圆的半径为6cm,sinC=,则上底AD的长为________.
3.如图7—166,AB是半圆的直径,AD、BC、CD是⊙O的切线,切点分别为A、B、E,DO交AE于F,OC交BE于G,
(1)CO⊥DO;
(2)四边形EFOG是矩形;
(3)FG2=AD·
BC.
4.如图7—167,PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点,PQ⊥OQ于Q,OQ交AB于M.
OA2=OM·
OQ.
5.如图7—168,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,在BC边上取一点E,使CE=6,以CE为直径作半圆O,切AB于点D,问当BE等于多少时,AC=6.
6.如图7—169,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°
,AB=8厘米,AD=24厘米,BC=26厘米,AB是⊙O的直径,动点P从点A开始沿AD边向点D以1厘米/秒的速度运动.动点Q从点C开始沿CB边向点B以3厘米/秒的速度运动,P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t秒,求:
(1)t为何值时,四边形PQCD为平行四边形、等腰梯形?
(2)t为何值时,直线PQ与⊙O相切、相交、相离?
参考答案
1.
(1)D
(2)C(3)C(4)D(5)B(6)B(7)A(8)C(9)D
2.
(1)2cm
(2)菱形(3)4cm(4)15(5)1(6)65°
或115°
(7)40°
(8)3cm
3.连结OE.
(1)证∠ODE+∠OCD=(∠ADC+∠BCD)=90°
(2)证∠AEG=∠EGO=∠COD=90°
(3)证△ODE∽△COE,得OE2=DE·
CE.
再由OE=FG,AD=DE,CE=BC即可得证.
4.连结OP交BC于C.证OA2=OC·
OP.
由△OCM∽△OQP知,OC·
OP=OM·
∴OA2=OM·
5.连结OD,由△ABC∽△OBD及切割线定理,得
解之,得BE=2.
6.
(1)当t=6秒时,为平行四边形.当t=7秒时,为等腰梯形.
(2)当t=秒或t=8时,直线PQ与⊙O相切.当0≤t<或8<t≤8时,PQ与⊙O相交.
当<t<8时,PQ与⊙O相离
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- 教学内容 切线 定理