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和
2.联系:
(1)平方根包含算术平方根;
方根与算术平方根都是0
【答案】C;
【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项.
A.因为=5,所以本说法正确;
B.因为±
=±
1,所以l是l的一个平方根说法正确;
C.因为±
4,所以本说法错误;
D.因为=0,=0,所以本说法正确;
【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义,关键是明确运用好定义解决问题.
举一反三:
【变式】判断下列各题正误,并将错误改正:
(1)没有平方根.()
(2).()
(3)的平方根是.()
(4)是的算术平方根.()
【答案】√;
×
;
√;
×
,
提示:
(2);
(4)是的算术平方根.
2、填空:
(1)是的负平方根.
(2)表示的算术平方根,.
(3)的算术平方根为.
(4)若,则,若,则.
【思路点拨】
(3)就是的算术平方根=,此题求的是的算术平方根.
【答案与解析】
(1)16;
(2)(3)(4)9;
±
3
【总结升华】要审清楚题意,不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.
【变式1】下列说法中正确的有():
①3是9的平方根.②9的平方根是3.
③4是8的正的平方根.④是64的负的平方根.
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】B;
提示:
①④是正确的.
【变式2】求下列各式的值:
(1)3
(2)(3)(4)
【答案】
(1)15;
(2)15;
(3)-0.3;
(4)
3、使代数式有意义的的取值范围是______________.
【答案】≥;
【解析】+1≥0,解得≥.
【总结升华】当式子有意义时,一定表示一个非负数,即≥0,≥0.
【变式】代数式=有意义,则的取值范围是.
【答案】.
类型二、利用平方根解方程
4、求下列各式中的.
(1)
(2);
(3)
【思路点拨】表面上看本题是一元二次方程,但是本题可以通过开平方的方法
(2)小题将看作一个整体,(3)小题将看作一个整体,求出它们的解后,再求.
解:
(1)∵∴∴
(2)∵∴∴+1=±
17=16或=-18.
(3)∵∴∴∴
【总结升华】本题的实质是一元二次方程,开平方法是解一元二次方程的最基本方法.
(2)(3)小题中运用了整体思想分散了难度.
类型三、平方根的应用
5、要在一块长方形的土地上做田间试验,其长是宽的3倍,面积是1323平方米.求长和宽各是多少米?
设宽为,长为3,
由题意得,·
3=1323
3=1323
=-21(舍去)
答:
长为63米,宽为21米.
【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长,注意实际问题中边长都是正数.
(提高)
【典型例题】
类型一、平方根和算术平方根的概念
1、若2-4与3-1是同一个正数的两个平方根,求的值.
【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数,由此可以得到2-4=-(3-1),解方程即可求解.
依题意得2-4=-(3-1),
解得=1;
∴的值为1.
【总结升华】此题主要考查了平方根的性质:
一个正数有两个平方根,它们互为相反数.
【变式】已知2-1与-+2是的平方根,求的值.
【答案】2-1与-+2是的平方根,所以2-1与-+2相等或互为相反数.
①当2-1=-+2时,=1,所以=
②当2-1+(-+2)=0时,=-1,所以
2、为何值时,下列各式有意义?
(1);
(2);
(3);
(4).
(1)因为,所以当取任何值时,都有意义.
(2)由题意可知:
,所以时,有意义.
(3)由题意可知:
解得:
.所以时有意义.
(4)由题意可知:
,解得且.
所以当且时,有意义.
【总结升华】
(1)当被开方数不是数字,而是一个含字母的代数式时,一定要讨论,只有当被开方数是非负数时,式子才有意义.
(2)当分母中含有字母时,只有当分母不为0时,式子才有意义.
【变式】已知,求的算术平方根.
根据题意,得则,所以=2,∴,
∴的算术平方根为.
类型二、平方根的运算
3、求下列各式的值.
(2).
(1)首先要弄清楚每个符号表示的意义.
(2)注意运算顺序.
(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方,再乘除,后加减,同一级运算按先后顺序进行.
(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解,熟练后直接根据来解.
类型三、利用平方根解方程
(1)∵∴∴
(2)∵∴∴+1=±
(3)∵∴∴∴
【变式】求下列等式中的:
(1)若,则=______;
(2),则=______;
(3)若则=______;
(4)若,则=______.
(1)±
1.1;
(2)±
13;
(3);
(4)±
2.
类型四、平方根的综合应用
5、已知、是实数,且,解关于的方程.
∵、是实数,,,,
∴,.
∴-3,.
把-3,代入,得-+2=-4,∴=6.
【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题,应先求出、的值,再解方程.此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性,只需令每项分别等于零即可.
【变式】若,求的值.
由,得,,即,.
①当=1,=-1时,.
②当=-1,=-1时,.
6、小丽想用一块面积为400的正方形纸片,沿着边的方向裁出一块面积为300的长方形纸片,使它长宽之比为,请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.
设长方形纸片的长为3(>0),则宽为2,依题意得
.
.
∵>0,
∴.
∴长方形纸片的长为.
∵50>49,
∴.
∴,即长方形纸片的长大于20.
由正方形纸片的面积为400,可知其边长为20,
∴长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.
答:
小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.
【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽,再判断能否用边长为20的正方形纸片裁出长方形纸片.
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