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(3)方法三:
“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形:
3.勾股定理的逆定理:
如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。
即
。
4.勾股数:
满足的三个正整数,称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后,仍为勾股数.常用勾股数:
3、4、5;
5、12、13;
7、24、25;
8、15、17。
一、勾股定理
1.如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么______=c2;
这一定理在我国被称为______.
2.△ABC中,∠C=90°
,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边.
(1)若a=5,b=12,则c=______;
(2)若c=41,a=40,则b=______;
(3)若∠A=30°
,a=1,则c=______,b=______;
(4)若∠A=45°
,a=1,则b=______,c=______.
3.如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图,小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为______.
4.等腰直角三角形的斜边为10,则腰长为______,斜边上的高为______.
5.在直角三角形中,一条直角边为11cm,另两边是两个连续自然数,则此直角三角形的周长为______.
6.Rt△ABC中,斜边BC=2,则AB2+AC2+BC2的值为().
(A)8(B)4(C)6(D)无法计算
7.如图,△ABC中,AB=AC=10,BD是AC边上的高线,DC=2,则BD等于().
(A)4(B)6(C)8(D)
8.如图,Rt△ABC中,∠C=90°
,若AB=15cm,则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为().
(A)150cm2(B)200cm2
(C)225cm2(D)无法计算
9.在Rt△ABC中,∠C=90°
,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.
(1)若a∶b=3∶4,c=75cm,求a、b;
(2)若a∶c=15∶17,b=24,求△ABC的面积;
(3)若c-a=4,b=16,求a、c;
(4)若∠A=30°
,c=24,求c边上的高hc;
(5)若a、b、c为连续整数,求a+b+c.
10.若直角三角形的三边长分别为2,4,x,则x的值可能有().
(A)1个(B)2个
(C)3个(D)4个
13.如图,Rt△ABC中,∠C=90°
,∠A=30°
,BD是∠ABC的平分线,AD=20,求BC的长.
二、勾股定理的实际应用
1.若一个直角三角形的两边长分别为12和5,则此三角形的第三边长为______.
2.甲、乙两人同时从同一地点出发,已知甲往东走了4km,乙往南走了3km,此时甲、乙两人相距______km.
3.如图,有一块长方形花圃,有少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”,他们仅仅少走了______m路,却踩伤了花草.
3题图
4.如图,有两棵树,一棵高8m,另一棵高2m,两树相距8m,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,至少要飞______m.
4题图
5.如图,一棵大树被台风刮断,若树在离地面3m处折断,树顶端落在离树底部4m处,则树折断之前高().
5题图
(A)5m(B)7m(C)8m(D)10m
6.如图,从台阶的下端点B到上端点A的直线距离为().
6题图
(A)(B)
(C)(D)
7.在平静的湖面上,有一支红莲,高出水面1米,一阵风吹来,红莲移到一边,花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距离为2米,求这里的水深是多少米?
8.如图,一电线杆AB的高为10米,当太阳光线与地面的夹角为60°
时,其影长AC为______米.
9.如图,在高为3米,斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯,则地毯的长度至少需要多少米?
若楼梯宽2米,地毯每平方米30元,那么这块地毯需花多少元?
三、勾股定理与直角三角形
1.在△ABC中,若∠A+∠B=90°
,AC=5,BC=3,则AB=______,AB边上的高CE=______.
2.在△ABC中,若AB=AC=20,BC=24,则BC边上的高AD=______,AC边上的高BE=______.
3.在△ABC中,若AC=BC,∠ACB=90°
,AB=10,则AC=______,AB边上的高CD=______.
4.在△ABC中,若AB=BC=CA=a,则△ABC的面积为______.
5.在△ABC中,若∠ACB=120°
,AC=BC,AB边上的高CD=3,则AC=______,AB=______,BC边上的高AE=______.
6.已知直角三角形的周长为,斜边为2,则该三角形的面积是().
(A)(B)(C)(D)1
7.若等腰三角形两边长分别为4和6,则底边上的高等于().
(A)(B)或(C)(D)或
8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
,D、E分别为BC和AC的中点,AD=5,BE=求AB的长.
9.在数轴上画出表示及的点.
一、填空题
1.若一个三角形的三边长分别为6,8,10,则这个三角形中最短边上的高为______.
2.若等边三角形的边长为2,则它的面积为______.
3.如图所示的图形中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若涂黑的四个小正方形的面积的和是10cm2,则其中最大的正方形的边长为______cm.
4.如图,B,C是河岸边两点,A是对岸岸边一点,测得∠ABC=45°
,∠ACB=45°
,BC=60米,则点A到岸边BC的距离是______米.
5.已知:
如图,△ABC中,∠C=90°
,点O为△ABC的三条角平分线的交点,OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,点D,E,F分别是垂足,且BC=8cm,CA=6cm,则点O到三边AB,AC和BC的距离分别等于______cm.
6.如图所示,有一块直角三角形纸片,两直角边AB=6,BC=8,将直角边AB折叠使它落在斜边AC上,折痕为AD,则BD=______.
7.△ABC中,AB=AC=13,若AB边上的高CD=5,则BC=______.
8.如图,AB=5,AC=3,BC边上的中线AD=2,则△ABC的面积为______.
8题图
二、选择题
9.下列三角形中,是直角三角形的是()
(A)三角形的三边满足关系a+b=c(B)三角形的三边比为1∶2∶3
(C)三角形的一边等于另一边的一半(D)三角形的三边为9,40,41
10.某市在旧城改造中,计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米售价a元,则购买这种草皮至少需要().
10题图
(A)450a元(B)225a元
(C)150a元(D)300a元
11.如图,四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°
,BE⊥AD于点E,且四边形ABCD的面积为8,则BE=().
(A)2(B)3
12.如图,Rt△ABC中,∠C=90°
,CD⊥AB于点D,AB=13,CD=6,则AC+BC等于().
(A)5(B)
13.下列判断错误的是()
A.如果a>
b,b>
c,那么a>
cB.如果a=b,b=c,那么a=c
C.如果a⊥b,b⊥c,那么a⊥cD.如果a∥b,b∥c,那么a∥c
14.下列命题中是真命题的是()
(1)所有的等腰三角形都全等;
(2)有一个锐角相等的两个直角三角形全等;
(3)到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上;
(4)两点之间线段最短.
A.1个B.2个C.3个D.4个
15.已知:
如图,△ABC中,∠CAB=120°
,AB=4,AC=2,AD⊥BC,D是垂足,求AD的长.
16.如图,已知一块四边形草地ABCD,其中∠A=45°
,∠B=∠D=90°
,AB=20m,CD=10m,求这块草地的面积.
17.已知:
△ABC中,AB=15,AC=13,BC边上的高AD=12,求BC.
8、这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中,而恰恰掌握在能够经受得住嘲笑与批忍不断往前走的人手中。
9、障碍与失败,是通往成功最稳靠的踏脚石,肯研究、利用它们,便能从失败中培养出成功。
10、在真实的生命里,每桩伟业都由信心开始,并由信心跨出第一步。
(学习的目的是增长知识,提高能力,相信一分耕耘一分收获,努力就一定可以获得应有的回报)
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