最新人教版七年级数学知识点及典型例题Word文档格式.docx
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②下列语句中正确的是( )
A数轴上的点只能表示整数
B数轴上的点只能表示分数
C数轴上的点只能表示有理数
D所有有理数都可以用数轴上的点表示出来
答案AD
知识点三
相反数
相反数:
只有符号不同的两个数互为相反数,0的相反数是0。
在数轴上位于原点两侧且离原点距离相等。
知识点四
绝对值
1.绝对值的几何意义:
一个数所对应的点离原点的距离叫做该数的绝对值。
2.绝对值的代数定义:
(1)一个正数的绝对值是它本身;
(2)一个负数数的绝对值是它的相反数;
(3)0的绝对值是0;
(4)|a|大于或者等于0。
3.比较两个数的大小关系
数学中规定:
在数轴上表示有理数,它们从左到右的顺序,就是从大到小的顺序,即左边的数小于右边的数。
由此可知:
(1)正数大于0,0大于负数,正数大于负数;
(2)两个负数,绝对值大的反而小。
知识点五
有理数加减法
1.同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。
绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
2.互为相反数的两个数相加得0。
3.一个数同0相加,仍得这个数。
4.减去一个数,等于加上这个数的相反数。
知识点六
乘除法法则
1.两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。
0乘以任何数,都得
0
。
2.几个不为0的数相乘,积的符号由负因数的个数确定,负因数的个数为偶数
时,积为正;
负因数的个数为奇数时,积为负。
3.两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数,都得
4.有理数中仍然有:
乘积是1的两个数互为倒数。
5.除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数。
知识点七
乘方
乘方定义:
求n个相同因数的积的运算,叫做乘方。
负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。
正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0。
知识点八
运算律及混合运算
1.加法交换律:
a+b=b+a
2.乘法交换律:
a·
b=b·
a
3.加法结合律:
a+(b+c)=(a+b)+c
4.乘法结合律:
(b·
c)=(a·
b)·
c
5.乘法分配律:
(b+c)=ab+ac
6.有理数混合运算顺序:
先乘方;
再乘除;
最后算加减。
7.有括号,先算括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行。
8.同级运算,从左到右进行。
知识点九
近似数
1.近似数:
在一定程度上反映被考察量的大小,能说明实际问题的意义,与准确数非常地接近,像这样的数我们称它为近似数。
2.近似数的分类
(1)具体近似数(如30.2、58.0…)
(2)带单位近似数(如2.4万…)
(3)科学记数法
3.精确度:
用位数较少的近似数替代位数较多或位数无限的数,有一个近似程度的问题,这个近似程度就是精确度。
四舍五入到哪一位,就说精确到哪一位(看精确度得到原数中去看在哪一位上,如:
2.4万精确到千位,而非十分位,因为2.4万就是24000,4在千位上)。
4.有效数字:
对于一个不为0的近似数,从左边第一个不为0的数字起,到末尾数止,所有数字都是这个近似数的有效数字。
求近似数要求保留n个有效数字时,第n+1个有效数字作四舍五入处理。
例:
0.0109有三个有效数字1、0、9,要求保留2个有效数字时,0.0109的第三个有效数字9四舍五入,变为0.0110,保留两个有效数字1、1后求出近似数0.0109≈0.011。
第二章
整式的加减
整式的相关概念
代数式中的一种有理式:
不含除法运算或分数,以及虽有除法运算及分数,但除式或分母中不含变数者,则称为整式。
(分母中含有字母有除法运算的,那么式子叫做分式)
1.单项式:
数或字母的积(如5n),单个的数或字母也是单项式。
(1)单项式的系数:
单项式中的数字因数及性质符号叫做单项式的系数。
(如果一个单项式,只含有数字因数,系数是它本身,次数是0)。
(2)单项式的次数:
一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数(非零常数的次数为0)。
2.多项式
(1)概念:
几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项。
一个多项式有几项就叫做几项式。
(2)多项式的次数:
多项式中,次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数。
(3)多项式的排列:
把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列;
把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母升幂排列。
在做多项式的排列的题时注意:
(1)由于单项式的项包括它前面的性质符号,因此在排列时,仍需把每一项的性质符
看作是这一项的一部分,一起移动。
(2)有两个或两个以上字母的多项式,排列时,要注意:
a.先确认按照哪个字母的指数来排列。
b.确定按这个字母降幂排列,还是升幂排列。
3.整式:
单项式和多项式统称为整式。
4.列代数式的几个注意事项
(1)数与字母相乘,或字母与字母相乘通常使用“·
”乘,或省略不写;
(2)数与数相乘,仍应使用“×
”乘,不用“·
”乘,也不能省略乘号;
(3)数与字母相乘时,一般在结果中把数写在字母前面,如a×
5应写成5a;
(4)带分数与字母相乘时,要把带分数改成假分数形式;
(5)在代数式中出现除法运算时,一般用分数线将被除式和除式联系,如3÷
a写成3/a的形式;
(6)a与b的差写作a-b,要注意字母顺序;
若只说两数的差,当分别设两数为a、b时,则应分类,写做a-b和b-a.
整式的加减运算
1.同类项的概念:
所含字母相同,并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项,几个常数项也是同类项。
(同类项与系数无关,与字母排列的顺序也无关)。
2.合并同类项:
把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。
法则:
同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变。
不能合并的项单独作为一项,不可遗漏
3.整式加减实质就是去括号,合并同类项。
注:
去括号时,如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同;
如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项。
4.几个重要的代数式:
(m、n表示整数)
(1)a与b的平方差是:
a2-b2
;
a与b差的平方是:
(a-b)2
(本式中2为平方)
(2)若a、b、c是正整数,则两位整数是:
10a+b
则三位整数是:
100a+10b+c;
(3)若m、n是整数,则被5除商m余n的数是:
5m+n
偶数是:
2n,奇数是:
2n+1;
三个连续整数是:
n-1、n、n+1;
(4)若b>0,则正数是:
a2+b,负数是:
-a2-b,非负数是:
a2,非正数是:
-a2(本式中2为平方)
第三章
一元一次方程
方程的相关概念
等式:
表示相等关系的式子。
方程:
含有未知数的等式。
(方程一定是等式,但等式不一定是方程)。
方程的解:
使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。
解方程:
求出使方程左右两边都相等的未知数的值的过程叫做解方程。
一元一次方程:
只含一个未知数,未知数的次数是1,并且等式两边都是整式的方程。
同解方程:
两方程的解相同。
等式的性质
等式的性质1:
等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等。
即:
如果a=b,那么a±
c=b±
c。
等式的性质2:
等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等。
如果a=b,那么ac=bc;
如果a=b(c≠0),那么a/c=b/c。
解一元一次方程
1.一般解法:
ⅰ
去分母:
两边同乘以各分母的最小公倍数;
ⅱ
去括号;
ⅲ
移项:
移项要变号;
ⅳ
合并同类项:
把方程化成ax=b(a≠0)的形式;
ⅴ
系数化为1:
两边同除以未知数的系数,得到方程的解x=b/a。
2.一元一次方程的应用(重点难点)
列方程解应用题的关键是:
仔细审题,找出能正确表达题目整体数量关系的一个相等关系,再设未知数,并将这个相等关系用含未知数的式子表示出来。
3.几种常见问题
a.和差倍分问题:
这类问题主要是正确理解是几倍“增加了几倍”“增加到几倍”“多少”“大小”“不足“剩余”等关键词语的意义。
b.行程相遇问题:
三个基本量的关系
路程=速度×
时间
(1)两人在圆形跑道上同时同地背向而行求首次相遇时间:
甲的路程+乙的路程=一圈的长度(直线路上两人面对面行走首次相遇的时间求法与之相同);
(2)两人在圆形跑道上同时同地同向而行求首次相遇时间:
快人的路程-慢人的路程=一圈的长度。
c.工程任务问题:
三个基本量的关系:
工作量=工作效率×
工作时间
一般情况下,把全部工作量看做1(即100%),工作效率=1/工作时间(各个量一定要对应,自己的效率乘以自己的时间等于自己的工作量)。
合作效率=各个人的效率之和。
d.利润问题:
利润=售价-成本=成本×
利润率;
利润率=利润÷
成本;
实际售价=标价×
折扣率。
e.分配问题:
某车间有22名工人加工生产一种螺栓和螺母,每人每天平均生产螺栓120个或螺母200个,一个螺栓要配两个螺母(建立等量关系的依据),应该分配多少名工人生产螺栓,多少名工人生产螺母,才能使每天生产的产品刚好配套?
f.水上航行问题:
顺水速度=静水速度+水流速度;
逆水速度=静水速度-水流速度。
应用举例
1.一本书,小明第一天读了十分之一,第二天读了10页,已读的是未读的1/4,请问这本书一共有多少页?
等量关系:
已读的+未读的=总页数(或已读的=总页数-未读的,未读的=总页数-已读的)。
2.某服装七月份下降了10%,八月份上升了10%,则八月份价格与原价比(
)
A.不变
B.增加1%
C.减少9%
D.减少1%
注意:
不要误以为不变,百分数的基数不一样会变化,7月份是在原价基础上下降10%,8月份是在7月份基础上上升10%而不再是在原价基础上上升。
3.甲乙两人在400米的圆形跑道上跑步,甲每秒跑9米,乙每秒跑7米。
(1)当两人同时同地背向而行时,经过多少秒后两人首次相遇?
(2)当两人同时同地同向而行时,经过多少秒后两人首次相遇?
分析
(1):
设经过x秒首次相遇。
两人加起来跑完一圈即400米时首次相遇,所以等量关系式是:
甲的路程+乙的路程=一圈的长度400米
甲的路程=甲的速度×
时间x
乙的路程=乙的速度×
得到方程:
9x+
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- 关 键 词:
- 新人 七年 级数 知识点 典型 例题