高等数学复旦大学出版第三版下册课后答案解析知识题全文档格式.docx
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答:
x轴上的点,y=z=0;
y轴上的点,x=z=0;
z轴上的点,x=y=0.
4.求下列各对点之间的距离:
(1)(0,0,0),(2,3,4);
(2)(0,0,0),(2,-3,-4);
(3)(-2,3,-4),(1,0,3);
(4)(4,-2,3),(-2,1,3).
(1)
(2)
(3)
(4).
5.求点(4,-3,5)到坐标原点和各坐标轴间的距离.
点(4,-3,5)到x轴,y轴,z轴的垂足分别为(4,0,0),(0,-3,0),(0,0,5).
故
.
6.在z轴上,求与两点A(-4,1,7)和B(3,5,-2)等距离的点.
设此点为M(0,0,z),则
解得
即所求点为M(0,0,).
7.试证:
以三点A(4,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3)为顶点的三角形是等腰直角三角形.
证明:
因为|AB|=|AC|=7.且有
|AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2.
故△ABC为等腰直角三角形.
8.验证:
利用三角形法则得证.见图7-1
图7-1
9.设试用a,b,c表示
10.把△ABC的BC边分成五等份,设分点依次为D1,D2,D3,D4,再把各分点与A连接,试以,表示向量,,和.
11.设向量的模是4,它与投影轴的夹角是60°
,求这向量在该轴上的投影.
设M的投影为,则
12.一向量的终点为点B(2,-1,7),它在三坐标轴上的投影依次是4,-4和7,求这向量的起点A的坐标.
设此向量的起点A的坐标A(x,y,z),则
解得x=-2,y=3,z=0
故A的坐标为A(-2,3,0).
13.一向量的起点是P1(4,0,5),终点是P2(7,1,3),试求:
(1)在各坐标轴上的投影;
(2)的模;
(3)的方向余弦;
(4)方向的单位向量.
.
14.三个力F1=(1,2,3),F2=(-2,3,-4),F3=(3,-4,5)同时作用于一点.求合力R的大小和方向余弦.
R=(1-2+3,2+3-4,3-4+5)=(2,1,4)
15.求出向量a=i+j+k,b=2i-3j+5k和c=-2i-j+2k的模,并分别用单位向量来表达向量a,b,c.
16.设m=3i+5j+8k,n=2i-4j-7k,p=5i+j-4k,求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影及在y轴上的分向量.
a=4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5i+j-4k)=13i+7j+15k
在x轴上的投影ax=13,在y轴上分向量为7j.
17.解:
设则有
求得.
设在面上的投影向量为则有
则
则求得
又则
从而求得或
18.已知两点M1(2,5,-3),M2(3,-2,5),点M在线段M1M2上,且,求向径的坐标.
设向径={x,y,z}
因为,
所以,
故={}.
19.已知点P到点A(0,0,12)的距离是7,的方向余弦是,求点P的坐标.
设P的坐标为(x,y,z),
得
又
故点P的坐标为P(2,3,6)或P().
20.已知a,b的夹角,且,计算:
(1)a·
b;
(2)(3a-2b)·
(a+2b).
(1)a·
b=
21.已知a=(4,-2,4),b=(6,-3,2),计算:
(2)(2a-3b)·
(a+b);
(3)
22.已知四点A(1,-2,3),B(4,-4,-3),C(2,4,3),D(8,6,6),求向量在向量上的投影.
={3,-2,-6},={6,2,3}
23.若向量a+3b垂直于向量7a-5b,向量a-4b垂直于向量7a-2b,求a和b的夹角.
解:
(a+3b)·
(7a-5b)=①
(a-4b)·
(7a-2b)=②
由①及②可得:
又,所以,
故.
24.设a=(-2,7,6),b=(4,-3,-8),证明:
以a与b为邻边的平行四边形的两条对角线互相垂直.
以a,b为邻边的平行四边形的两条对角线分别为a+b,a-b,且
a+b={2,4,-2}
a-b={-6,10,14}
又(a+b)·
(a-b)=2×
(-6)+4×
10+(-2)×
14=0
故(a+b)(a-b).
25.已知a=3i+2j-k,b=i-j+2k,求:
(1)a×
(2)2a×
7b;
(3)7b×
2a;
(4)a×
a.
(1)
26.已知向量a和b互相垂直,且.计算:
(1)|(a+b)×
(a-b)|;
(2)|(3a+b)×
(a-2b)|.
27.求垂直于向量3i-4j-k和2i-j+k的单位向量,并求上述两向量夹角的正弦.
与平行的单位向量
28.一平行四边形以向量a=(2,1,-1)和b=(1,-2,1)为邻边,求其对角线夹角的正弦.
两对角线向量为
,
因为,
所以.
即为所求对角线间夹角的正弦.
29.已知三点A(2,-1,5),B(0,3,-2),C(-2,3,1),点M,N,P分别是AB,BC,CA的中点,证明:
中点M,N,P的坐标分别为
故.
30.
(1)解:
若共面,则有后与是垂直的.
从而反之亦成立.
(2)
由行列式性质可得:
故
31.四面体的顶点在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)和(3,-1,2)求四面体的表面积.
设四顶点依次取为A,B,C,D.
则由A,B,D三点所确定三角形的面积为
同理可求其他三个三角形的面积依次为.
故四面体的表面积.
32.解:
设四面体的底为,从点到底面的高为,则
,
而
又所在的平面方程为:
故
33.已知三点A(2,4,1),B(3,7,5),C(4,10,9),证:
此三点共线.
显然
则
故A,B,C三点共线.
34.一动点与M0(1,1,1)连成的向量与向量n=(2,3,-4)垂直,求动点的轨迹方程.
设动点为M(x,y,z)
因,故.
即2(x-1)+3(y-1)-4(z-1)=0
整理得:
2x+3y-4z-1=0即为动点M的轨迹方程.
35.求通过下列两已知点的直线方程:
(1)(1,-2,1),(3,1,-1);
(2)(3,-1,0),(1,0,-3).
(1)两点所确立的一个向量为
s={3-1,1+2,-1-1}={2,3,-2}
故直线的标准方程为:
或
(2)直线方向向量可取为
s={1-3,0+1,-3-0}={-2,1,-3}
36.求直线的标准式方程和参数方程.
所给直线的方向向量为
另取x0=0代入直线一般方程可解得y0=7,z0=17
于是直线过点(0,7,17),因此直线的标准方程为:
且直线的参数方程为:
37.求过点(4,1,-2)且与平面3x-2y+6z=11平行的平面方程.
所求平面与平面3x-2y+6z=11平行
故n={3,-2,6},又过点(4,1,-2)
故所求平面方程为:
3(x-4)-2(y-1)+6(z+2)=0
即3x-2y+6z+2=0.
38.求过点M0(1,7,-3),且与连接坐标原点到点M0的线段OM0垂直的平面方程.
所求平面的法向量可取为
故平面方程为:
x-1+7(y-7)-3(z+3)=0
即x+7y-3z-59=0
39.设平面过点(1,2,-1),而在x轴和z轴上的截距都等于在y轴上的截距的两倍,求此平面方程.
设平面在y轴上的截距为b
则平面方程可定为
又(1,2,-1)在平面上,则有
得b=2.
故所求平面方程为
40.求过(1,1,-1),(-2,-2,2)和(1,-1,2)三点的平面方程.
由平面的三点式方程知
代入三已知点,有
化简得x-3y-2z=0即为所求平面方程.
41.指出下列各平面的特殊位置,并画出其图形:
(1)y=0;
(2)3x-1=0;
(3)2x-3y-6=0;
(4)x–y=0;
(5)2x-3y+4z=0.
(1)y=0表示xOz坐标面(如图7-2)
(2)3x-1=0表示垂直于x轴的平面.(如图7-3)
图7-2图7-3
(3)2x-3y-6=0表示平行于z轴且在x轴及y轴上的截距分别为x=3和y=-2的平面.(如图7-4)
(4)x–y=0表示过z轴的平面(如图7-5)
(5)2x-3y+4z=0表示过原点的平面(如图7-6).
图7-4图7-5图7-6
42.通过两点(1,1,1,)和(2,2,2)作垂直于平面x+y-z=0的平面.
设平面方程为Ax+By+Cz+D=0
则其法向量为n={A,B,C}
已知平面法向量为n1={1,1,-1}
过已知两点的向量l={1,1,1}
由题知n·
n1=0,n·
l=0
即
所求平面方程变为Ax-Ay+D=0
又点(1,1,1)在平面上,所以有D=0
故平面方程为x-y=0.
43.决定参数k的值,使平面x+ky-2z=9适合下列条件:
(1)经过点(5,-4,6);
(2)与平面2x-3y+z=0成的角.
(1)因平面过点(5,-4,6)
故有5-4k-2×
6=9
得k=-4.
(2)两平面的法向量分别为
n1={1,k,-2}n2={2,-3,1}
且
解得
44.确定下列方程中的l和m:
(1)平面2x+ly+3z-5=0和平面mx-6y-z+2=0平行;
(2)平面3x-5y+lz-3=0和平面x+3y+2z+5=0垂直.
(1)n1={2,l,3},n2={m,-6,-1}
(2)n1={3,-5,l},n2={1,3,2}
45.通过点(1,-1,1)作垂直于两平面x-y+z-1=0和2x+y+z+1=0的平面.
设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0
其法向量n={A,B,C}
n1={1,-1,1},n2={2,1,1}
又(1,-1,1)在所求平面上,故A-B+C+D=0,得D=0
即2x-y-3z=0
46.求平行于平面3x-y+7z=5,且
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- 高等数学 复旦大学 出版 第三 下册 课后 答案 解析 知识
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