微积分练习题答题详解Word格式文档下载.docx
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又,而,,
所以即,
即数列是单调递增数列。
综上所述,数列是单调递增有上界的数列,故其极限存在。
习题2-2
1※.证明:
f(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a.
先证充分性:
即证若,则.
由及知:
当时,有,
当时,有。
取,则当或时,有,
而或就是,
于是,当时,有,
所以.
再证必要性:
即若,则,
由知,,当时,有,
由就是或,于是,当或时,有.
所以
综上所述,f(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a.
2.
(1)利用极限的几何意义确定(x2+a),和;
(2)设f(x)=,问常数a为何值时,f(x)存在.
解:
(1)因为x无限接近于0时,的值无限接近于a,故.
当x从小于0的方向无限接近于0时,的值无限接近于0,故.
(2)若存在,则,
由
(1)知,
所以,当时,存在。
3.利用极限的几何意义说明sinx不存在.
因为当时,的值在-1与1之间来回振摆动,即不无限接近某一定直线,亦即不以直线为渐近线,所以不存在。
习题2-3
1.举例说明:
在某极限过程中,两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定是无穷小量,也不一定是无穷大量.
例1:
当时,都是无穷小量,但由(当时,)不是无穷大量,也不是无穷小量。
例2:
当时,与都是无穷大量,但不是无穷大量,也不是无穷小量。
例3:
当时,是无穷小量,而是无穷大量,但不是无穷大量,也不是无穷小量。
2.判断下列命题是否正确:
(1)无穷小量与无穷小量的商一定是无穷小量;
(2)有界函数与无穷小量之积为无穷小量;
(3)有界函数与无穷大量之积为无穷大量;
(4)有限个无穷小量之和为无穷小量;
(5)有限个无穷大量之和为无穷大量;
(6)y=xsinx在(-∞,+∞)内无界,但xsinx≠∞;
(7)无穷大量的倒数都是无穷小量;
(8)无穷小量的倒数都是无穷大量.
(1)错误,如第1题例1;
(2)正确,见教材§
2.3定理3;
(3)错误,例当时,为无穷大量,是有界函数,不是无穷大量;
(4)正确,见教材§
2.3定理2;
(5)错误,例如当时,与都是无穷大量,但它们之和不是无穷大量;
(6)正确,因为,正整数k,使,从而,即在内无界,又,无论多么大,总存在正整数k,使,使,即时,不无限增大,即;
(7)正确,见教材§
2.3定理5;
(8)错误,只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量。
零是无穷小量,但其倒数无意义。
3.指出下列函数哪些是该极限过程中的无穷小量,哪些是该极限过程中的无穷大量.
(1)f(x)=,x→2;
(2)f(x)=lnx,x→0+,x→1,x→+∞;
(3)f(x)=,x→0+,x→0-;
(4)f(x)=-arctanx,x→+∞;
(5)f(x)=sinx,x→∞;
(6)f(x)=,x→∞.
(1),即时,是无穷小量,所以是无穷小量,因而也是无穷大量。
(2)从的图像可以看出,,所以,当时,时,是无穷大量;
当时,是无穷小量。
(3)从的图可以看出,,
所以,当时,是无穷大量;
(4),
当时,是无穷小量。
(5)当时,是无穷小量,是有界函数,
是无穷小量。
(6)当时,是无穷小量,是有界变量,
习题2-4
1.若f(x)存在,g(x)不存在,问[f(x)±
g(x)],[f(x)·
g(x)]是否存在,为什么?
若f(x)存在,g(x)不存在,则
(1)[f(x)±
g(x)]不存在。
因为若[f(x)±
g(x)]存在,则由或以及极限的运算法则可得g(x),与题设矛盾。
(2)[f(x)·
g(x)]可能存在,也可能不存在,如:
,,则,不存在,但[f(x)·
g(x)]=存在。
又如:
,,则,不存在,而
[f(x)·
2.若f(x)和g(x)均存在,且f(x)≥g(x),证明f(x)≥g(x).
设f(x)=A,g(x)=B,则,分别存在,,使得当时,有,当时,有
令,则当时,有
从而,由的任意性推出即
若a1,a2,…,am为m个正常数,则
=A,
其中A=max{a1,a2,…,am}.
因为,即
而,,由夹逼定理得
4※.利用单调有界数列必存在极限这一收敛准则证明:
若x1=,x2=,…,xn+1=(n=1,2,…),则xn存在,并求该极限.
因为有
今设,则,由数学归纳法知,对于任意正整数n有,即数列单调递增。
又因为,今设,则,由数学归纳法知,对于任意的正整数n有,即数列有上界,由极限收敛准则知存在。
设,对等式两边取极限得,即,解得,(由极限的保号性,舍去),所以.
5.求下列极限:
(1);
(2);
(3);
(4);
(5).
(1)原式=;
(2)因为,即当时,是无穷小量,而是有界变量,由无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量得:
;
(3)
而,
(4);
(5).
6.求下列极限:
(4);
(5);
(6);
(7);
(8);
(9);
(10);
(11).
解:
(2)
(3);
(5)
(6)
(7)
(8)(无穷小量与有界函数之积为无穷小量)
(9)
(10)
(11)当时,是无穷小量,是有界函数,
它们之积是无穷小量,即。
习题2-5
求下列极限(其中a>0,a≠1为常数):
1.;
2.;
3.xcotx;
4.;
5.;
6.;
7.;
8.;
9.;
10.;
11.;
12.;
13.;
14.;
.
1.;
2.
3.;
4.
5.
6.;
7.
8.令,则,当时,,
9.
(利用了第8题结论);
10.
11.
12.
13.令,则,当,,
14.令,则,当,,
习题2-6
1.证明:
若当x→x0时,(x)→0,β(x)→0,且(x)≠0,则当x→x0时,(x)~β(x)的充要条件是=0.
先证充分性.
若=0,则=0,
即,即.
也即,所以当时,.
若当时,,则,
所以==.
综上所述,当x→x0时,(x)~β(x)的充要条件是
=0.
2.若β(x)≠0,β(x)=0且存在,证明(x)=0.
即.
3.证明:
若当x→0时,f(x)=o(xa),g(x)=o(xb),则f(x)·
g(x)=o(),其中a,b都大于0,并由此判断当x→0时,tanx-sinx是x的几阶无穷小量.
证:
∵当x→0时,f(x)=o(xa),g(x)=o(xb)
∴
于是:
∴当x→0时,,
∵
而当x→0时,,
由前面所证的结论知,,
所以,当x→0时,是x的3阶无穷小量.
4.利用等价无穷小量求下列极限:
(1)(b≠0);
(2);
(3);
(5);
(6)(a≠b);
(7);
(8)设=100,求f(x).
解
(8)由,及知必有,
即,
习题2-7
1.研究下列函数的连续性,并画出函数的图形:
(1)f(x)=
(2)f(x)=
解:
(1)
∴f(x)在x=0处右连续,
又
∴f(x)在x=1处连续.
又
∴f(x)在x=2处连续.
又f(x)在(0,1),(1,2)显然连续,综上所述,f(x)在[0,2]上连续.图形如下:
图2-1
(2)
故
∴f(x)在x=-1处间断,x=-1是跳跃间断点.
又f(x)在显然连续.
综上所述函数f(x)在x=-1处间断,在上连续.图形如下:
图2-2
2.说明函数f(x)在点x0处有定义、有极限、连续这三个概念有什么不同?
又有什么联系?
略.
3.函数在其第二类间断点处的左、右极限是否一定均不存在?
试举例说明.
函数在其第二类间断点处的左、右极限不一定均不存在.
例如是其的一个第二类间断点,但即在处左极限存在,而,即在处右极限不存在.
4.求下列函数的间断点,并说明间断点的类型:
(1)f(x)=;
(2)f(x)=;
(3)f(x)=;
(4)f(x)=;
(5)f(x)=.
(1)由得x=-1,x=-2
∴x=-1是可去间断点,x=-2是无穷间断点.
(2)由sinx=0得,k为整数.
∴x=0是跳跃间断点.
(4)由x2-4=0得x=2,x=-2.
∴x=2是无穷间断点,x=-2是可去间断点.
(5)在x=0无定义
故x=0是f(x)的可去间断点.
5.适当选择a值,使函数f(x)=在点x=0处连续.
∵f(0)=a,
要f(x)在x=0处连续,必须.
即a=1.
6※.设f(x)=,讨论f(x)的连续性.
所以,f(x)在上连续,x=0为跳跃间断点.
7.求下列极限:
(3)ln(x-1);
(4)arcsin;
(5)(lnx)x.
习题2-8
1.证明方程x5-x4-x2-3x=1至少有一个介于1和2之间的根.
令,则在[1,2]上连续,
且,
由零点存在定理知至少存在一点使得.
即方程至少有一个介于1和2之间的根.
2.证明方程ln(1+ex)-2x=0至少有一个小于1的正根.
令,则在上连续,因而在[0,1]上连续,
且
即方程至少有一个小于1的正根.
3※.设f(x)∈C(-∞,+∞),且f(x)=A,f(x)=B,A·
B<0,试由极限及零点存在定理的几何意义说明至少存在一点x0∈(-∞,+∞),使得f(x0)=0.
由A·
B<
0知A与B异号,不防设A>
0,B<
由,及函数极限的保号性知,,使当,有
使当时,有.
现取,则,
则,且,
由题设知在上连续,由零点存在定理,至少存在一点使,
即至少存在一点使.
4.设多项式Pn(x)=xn+a
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