昆明理工大学线性代数第1章习题册答案.docx
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昆明理工大学线性代数第1章习题册答案
习题1.1(逆序数、行列式定义及行列式性质)
、求下列各排列的逆序数:
⑴24351;解:
T24351)=1+2+1+1=5
⑵13425;解:
T13425)=0+1+1+0=2
⑶n(n-1)…21.解:
Tn(n-1)…21)=(n-1)+(n-2)+…+2+1=n(n-1)/2
、写出五阶行列式中含有ana23a35及的所有项.
解:
五阶行列式中含有耳£23玄35的项为-/P^ana23a35a4p4a5p5,其中P4P5为2、4两个数
的排列,共有2!
=2个,所以五阶行列式中含有a11a23a35的项分别是:
ana23a35a42a54=-ana23a35a42354、ana23a35a42a54=ana23a35a44a52。
五阶行列式中含有az24的项为(-1)耳煞Wb12a24a3p3a4p4a5p5,其中P3P4P5为1、3、5三个数
的排列,共有3!
=6个,所以五阶行列式中含有a12a24的项分别是:
、计算下列三阶行列式:
2-10
⑴34-2;
131
解:
D=241(-1)(-2)1033-041-(-1)31-2(-2)3=25
1-10
⑵01-1.
123
解:
D=113(-1)(-1)1002-011-(-1)03-1(-1)2=6
x
y
x+y
四、计算行列式
y
x+y
x
x+y
x
y
33322
解法一:
D=x(xy)yyx(xy)(xy)yx_(xy)-y-x2(xy)(xy一x-y)
x
y
x+y
5弋七3
2x+2y
y
x十y
c^(2x+2y)
1
y
x+y
y
x+y
x
=
2x+2y
x+y
x
=(2x+2y)
1
x+y
x
x+y
x
y
2x+2y
x
y
1
x
y
解法
2
3
3=0,求丸.
1-■2
五、设21-■
解法一:
左边=(1-,)2(6-,)1818-9(1-,)一4(6-•)_9(1-
(1)(9-)=0
•••入=0或入=-1或入=9
1—九23
5乜
弋
6—人
2
3
6
2
3
解法二:
21-人3
=
6一九
1一几
3
=
0
一1一人0
336-人
12-九
3
6-九
「3—「1
12-人
3
6一九
2
二-(1')[(6-)-(36-3)]=-(■1)('-9)
习题1.2(行列式展开及克莱姆法则)
、计算下列4阶行列式:
1
2
1
3
r2
_r1
1
2
1
2
12
0
0
•
2
⑴
3
2
2
5
r3
—百
2
0
1
2
按第2列住
2
(1)2
「1+「3
31
-2
-2
3
1
、2(_1)—2
-2
0
3
1
r4
—「1
-2
0
3
1
展开
-2
-10
-2
-1
0
-1
2
0
3
-2
0
-1
0
1
1
1
1
⑶
a
b
c
d
2a
b2
2c
d2
=(b-a)(c-a)(cb)(d-a)(d-b)(d-c)
3a
b3
3c
d3
解:
4阶范德蒙行列式等于
2
C4=4(4-1)/2=6个因子的乘积。
a,未写出的元素都是o);
a
0
0…
0
1
1
0
a
0…
0
0
a
+
0
0
a…
0
0
(1)Dn=
-
(Dn=
1
a
0
0
0…
a
0
1
0
0…
0
a
、计算下列n阶行列式
其中对角线上的元素都是
0
0
0…
0
1
a
0
0…
0
0
a
按最后行
n
2n
+
解法一:
Dn展开
(-1)
0
a
0…
0
0
+(_1)a
■
a
(n_1)(n_1)
0
0
0…
a
0
(n」)沁2)
姓名
班级
a
n
na
按第1行
展开
(-1)n
解法
1
(2)1
a
0
0
0
1
1
0
0…
0
a
0
a
0
0
0
0
a
0…
0
0
0
0
a
0
0
2rn
0
0
a…
0
0
n—
0
0
0
a
0
0
0
0…
a
0
1
0
0
0
a
a
0
0…
0
1
1
0
0
0
a
0
a
0
0
0
0
0
a
0
0
n?
2
-1)
…
・・・
…
=a(a
0
0
0
a
0
0
0
0
0
1
2-a
a
(n_2)
(2)
D
rn1ar1
1
1
1
_X
r2-「1
1
1
1・・4
1
1
「3一「1
0
-x
0…
0
0
0
0
9
1-x…
a
0
a
0
a
—-「1
0
0
0…
0
n—2—x
1
=-x(1-x)…(n-2-x)
1
三、用克拉默法则解下列方程组
X1—X2-x=2
2x1-X2-3x3=1
3x12x2「5x3二0
解:
•••系数行列式
1
D=2
3
1
2
3
0
1
5
-1
-2
按第1行
展开
-1
=3
-2
线性代数练习册
(1-,)为-丸4怡=0
四、设齐次线性方程组」2为+(3-丄)冷+怡=0有唯一解,求入的取值范围
、、为+冷+(1—》卩3=0
解:
系数行列式
1—扎—2
D=23-丸
11
展开1—扎
(3_)
(1)
2,-1
-1
"3)1-
二一住-3)C-2)■
D丰0时齐次线性方程组有唯一解,
得0、入工2且3.
班级
姓名
第一章验收测试题
、填空题(每小题6分,共48分)
1.在五阶行列式中,a12a53a41a24a35的符号为+
2010
线性代数练习册
姓名学号
q00R
0a2b20
0b3a30
b400a4
按第1行
a2b20
0a2b2
a2b.
a2b2
解:
D
a1
b3a30
-4
0b3a3
=a£4
—bb4
展开
3a3
bsa3
00a4
b400
II
-aia4~^blb4]a2a3~'b2b3j
2x1-1
5.在函数f(x)=f-xx中x3的系数是
12x
解:
展开式中含x3的项只有一个,为主对角线上三个数之积:
2x(-x)x
6.设n阶行列式D的值为a,将D中的元素都变号后得到行列式为D,则D=-1第
解:
D为n阶行列式,它的所有元素均是D中元素的相反数,因此每行提取公因子(-1),得
D--1nD
ab0
ab22
-ba0
=—
七a「(a+b尸0
-10-1
解:
d
a
侧Am乞4%=0.
a
解:
A14、A24、A34、A44为D4的第四行元素的代数余子式,
abca14
abda44
x=-1/2
[/■■x1x2•x3=0
四、(14分)设齐次方程组“%+Px2+x3=0只有唯一解,求打卩的取值范围
当+2妝2+x3=0
线性代数练习册
五、(10分)设X1,X2,X3是方程x3+px+q=0的三个根,证明行列式x3x,x2=0.
X2X3x,
3
证明:
•••Xi,X2,X3是方程x+px+q=0的三个根
3
二xi+pxi+q=0,i=1,2,3,且由韦达定理,xi+X2+X3=0、X1X2X3=q
注:
韦达定理即根与系数的关系。
对于一元二次方程ax2+bx+c=0来说,若它的两个根为xi、X2,则
xi+x2=-b/a、xiX2=c/a
对于一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0来说,若它的三个根为xi、X2、x;,则
xi+X2+X3=-b/a、xiX2X3=-d/a、i/xi+i/x2+I/X3=-c/d
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