届河南省高三下学期在线网络联考数学理试题解析文档格式.docx
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因为,或,
所以.
故选:
D
本题考查集合的交集运算,涉及对数不等式、一元二次不等式,属于基础题.
3.已知数列的前项和为,且,则()
A.512B.1025C.256D.1024
【答案】A
由数列的前项和与第项的关系可得,代入求解即可.
由数列的前项和为,且,
则,
A.
本题考查了数列的前项和与第项的关系,属基础题.
4.已知函数,则的单调递减区间为()
A.,B.,
C.,D.,
【答案】C
先利用正弦、余弦的二倍角公式可得,再令,,然后解不等式即可得解.
,
令,,
得,.
故的单调递减区间为,.
C.
本题考查了三角恒等变换,重点考查了三角函数单调区间的求法,属基础题.
5.已知偶函数的定义域为,则函数在上的最大值为()
A.6B.5C.4D.7
由为偶函数,得及,可得,再求最值即可.
由为偶函数,得,即,
又定义域关于原点对称,
故,
得,
故.
本题考查了函数奇偶性的应用,重点考查了对数函数最值的求法,属基础题.
6.下面程序框图输出的的值为()
A.4B.7C.6D.5
逐步写出各次运算结果,当时不满足的条件结束循环.
,,;
跳出循环,故.
本题考查程序框图,属于基础题.
7.甲、乙等四名学生分别来自同一学校三个不同的班级(其中只有甲、乙两人来自同一班级),他们代表班级参加语、数、英三科竞赛的决赛(每名学生三科竞赛都参加且无其他考生),则三科竞赛冠军分别来自三个不同班级的概率为()
【答案】B
求出三科冠军可能出现的所有情况数,再求出三科竞赛冠军分别来自三个不同班级的可能数,代入古典概型概率计算公式即可.
四名学生参加三科竞赛,每科冠军都有四种情况,共有种,三科竞赛冠军分别来自三个不同班级共有种不同情况,故所求概率为.
B
本题考查古典概型,属于基础题.
8.在四面体中,且,,,所成的角为30°
,,,,则四面体的体积为()
A.8B.6C.7D.5
先求出的面积,再求出点到面的距离,然后结合棱锥体积公式求解即可.
由题意,如图所示,,,过点作的平行线,则平面,且为30°
或150°
,
从点向作垂线,垂足为,
易证平面.
则点到平面的距离,
则四面体的体积为.
本题考查了棱锥的体积公式,重点考查了运算能力,属中档题.
9.设是的前项和,,且,则()
A.-66B.77C.88D.99
由与的关系可得是以为首项,为公差的等差数列,再由等差数列前项和公式求解即可.
因为,
所以,
又,
所以是以为首项,为公差的等差数列,
本题考查了与的关系,重点考查了等差数列前项和公式,属基础题.
10.某正四面体的外接球与内切球的表面积之差为,则该四面体的棱长为()
A.3B.4C.2D.
先求出正四面体外接球、内切球的半径,再结合球的表面积公式求解即可.
设该正四面体的棱长为,外接球的半径为,内切球的半径为,
由,得.
本题考查了几何体外接球、内切球的求法,重点考查了球的表面积公式,属中档题.
11.已知抛物线的准线与轴的交点为,点为抛物线的焦点,点在抛物线上且,当最大时,点恰好在以为焦点的双曲线上,则该双曲线的方程为()
A.B.
C.D.
先由抛物线的定义及点到直线的距离公式可得,设,再结合二次函数最值的求法可得,再求双曲线方程即可得解.
过作准线的垂线交准线于,则,由,可得.
设,则,
令,则,
当时,取到最大值,
即当时,取到最大值,此时.
不妨设,
又因为双曲线的焦点坐标为,
所以可设双曲线的方程为,
将代入上式,求得,
所以双曲线的方程为.
B.
本题考查了抛物线的定义,重点考查了双曲线方程的求法,属中档题.
12.已知的外接圆圆心为,,,,,则()
首先计算、,再由向量的数量积定义计算,将代入中,解方程组即可求得m,n.
设线段AC的中点为D,线段BC的中点为E,连接OD、OE,如下图所示,
由垂径定理知,则
所以,
因为,所以,
又,所以,
因为
所以
本题考查平面向量的数量积,平面向量的应用以及三角函数,属于中档题.
二、填空题
13.若展开式中各项系数和为243,则___________.
【答案】
在展开式中,令求得各项系数和,从而求得的值.
在展开式中,
令,得各项系数和为
解得.
故答案为:
5.
本题考查了利用赋值法求二项式展开式系数和的问题,属于基础题.
14.已知函数,曲线在点处的切线与直线垂直,则__________.
【答案】-2
求出导数,利用导数的几何意义求出曲线在点处的切线的斜率,两直线垂直则斜率相乘等于-1,即可得解.
,,
由题意知.
本题考查导数的几何意义,属于基础题.
15.若圆锥曲线的离心率为,则__________.
【答案】4
先讨论方程所表示的曲线类型,再结合离心率的求法求解即可.
若表示椭圆,
则,得,
设离心率为,则,
解得或,两解均不合题意;
若表示双曲线,
得(舍去)或.
4.
本题考查了方程所表示的曲线类型,重点考查了分类讨论的数学思想方法,属基础题.
16.定义:
若函数在区间上的值域为,则称区间是函数的“完美区间”.另外,定义区间的“复区间长度”为,则函数的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为__________.
先理解新定义,再结合二次函数在闭区间上的最值的求法求解即可.
设的“完美区间”为,易知.
当时,由的图象知在上单调递减,
所以,解得.
此时.
当时,①若,则,解得,此时;
②若,则最小值为,不合题意;
③若,则由图象知在上单调递增,
所以,解得(舍去),
综上,函数的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为.
.
本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题,重点考查了分类讨论的数学思想方法,属中档题.
三、解答题
17.在中,分别为角的对边,且,.
(1)若,求的面积;
(2)若,求外接圆的半径.
(1);
(2).
(1)由余弦定理,再结合三角形面积公式求解即可;
(2)由余弦定理先求出,再结合正弦定理求解即可.
(1)由在中,分别为角的对边,且,,
∵,
∴,∴,
∴.
(2)∵,,,
∴,
∴外接圆的半径为.
本题考查了正弦定理及余弦定理得应用,重点考查了三角形面积公式,属基础题.
18.2019年,中华人民共和国成立70周年,为了庆祝建国70周年,某中学在全校进行了一次爱国主义知识竞赛,共1000名学生参加,答对题数(共60题)分布如下表所示:
组别
频数
10
185
265
400
115
25
答对题数近似服从正态分布,为这1000人答对题数的平均值(同一组数据用该组区间的中点值作为代表).
(1)估计答对题数在内的人数(精确到整数位).
(2)学校为此次参加竞赛的学生制定如下奖励方案:
每名同学可以获得2次抽奖机会,每次抽奖所得奖品的价值与对应的概率如下表所示.
获得奖品的价值(单位:
元)
20
概率
用(单位:
元)表示学生甲参与抽奖所得奖品的价值,求的分布列及数学期望.
附:
若,则,,.
(1)954
(2)详见解析
(1)由题意计算平均值,根据计算;
(2)由题意知X的可能取值,计算对应的概率值,写出分布列,计算数学期望.
(1)根据题意,可得
,则
又,,所以,所以人.
故答对题数在内的人数约为954.
(2)由条件可知,的可能取值为0,10,20,30,40.
;
的分布列为
30
40
元.
本题考查正态分布的概率问题,离散型随机变量的分布列的应用,属于中档题.
19.如图,在四棱锥中,是边长为4的正方形,平面,分别为的中点.
(1)证明:
平面.
(2)若,求二面角的正弦值.
(1)证明见解析
(2)
(1)记的中点为,连接,,通过证明,且推出四边形为平行四边形,则,由线线平行推出线面平行;
(2)以为原点建立空间直角坐标系,分别求出平面、平面的法向量,代入即可求得二面角的余弦值从而求正弦值.
记的中点为,连接,.
因为分别为的中点,
则,且.
因为,且,
所以,且,
所以四边形为平行四边形,
则.
又平面,平面,
所以平面.
(2)以为原点,分别以,,为轴、轴、轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
设平面的法向量,
则
令,则.
设平面的法向量为,
设二面角为,则,
即二面角的正弦值为.
本题考查线面平行的证明,空间向量法求二面角的余弦值,属于中档题.
20.在平面直角坐标系中,已知向量,,且.记动点的轨迹为.
(1)求的方程;
(2)已知直线过坐标原点,且与
(1)中的轨迹交于两点,在第三象限,且轴,垂足为,连接并延长交于点,求的面积的最大值.
(1)
(2)
(1)由、推出,可知的轨迹是以,为焦点,4为长轴的椭圆,写出椭圆的标准方程即可;
(2)设直线的方程为,与椭圆方程联立求出M、N、H的坐标及直线HN的方程,直线HN的方程与椭圆方程联立求出Q点坐标从而求出面积的表达式,利用导数研究面积的最大值.
(1)设,,
则,.
由椭圆的定义可知的轨迹是以,为焦点,4为长轴的椭圆.
故的方程为.
(2)由题意可知直线的斜率一定存在,设直线的方程为(),
与椭圆联立可得,
所以,,.
点的坐标为,直线的方程为,
代入,可得,
的坐标为,
于是,所以,即.
因为,.
由,可得,在上单调递增,在上单调递减,
因此当时,函数有最大值,最大值为,即的最大
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