高考数学考点归纳之抛物线Word下载.docx
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y轴
焦点
F
离心率
e=1
准线方程
x=-
x=
y=-
y=
范围
x≥0,y∈R
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径(其中P(x0,y0))
|PF|=x0+
|PF|=-x0+
|PF|=y0+
|PF|=-y0+
二、常用结论
与抛物线焦点弦有关的几个常用结论
设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),α为弦AB的倾斜角.则
(1)x1x2=,y1y2=-p2.
(2)|AF|=,|BF|=.
(3)弦长|AB|=x1+x2+p=.
(4)+=.
(5)以弦AB为直径的圆与准线相切.
[典例]
(1)若抛物线y2=4x上一点P到其焦点F的距离为2,O为坐标原点,则△OFP的面积为( )
A. B.1
C.D.2
(2)设P是抛物线y2=4x上的一个动点,若B(3,2),则|PB|+|PF|的最小值为________.
[解析]
(1)设P(xP,yP),由题可得抛物线焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.
又点P到焦点F的距离为2,
∴由定义知点P到准线的距离为2.
∴xP+1=2,∴xP=1.
代入抛物线方程得|yP|=2,
∴△OFP的面积为S=·
|OF|·
|yP|=×
1×
2=1.
(2)如图,过点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1,则|P1Q|=|P1F|.则有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,即|PB|+|PF|的最小值为4.
[答案]
(1)B
(2)4
[变透练清]
1.若抛物线y2=2px(p>0)上的点A(x0,)到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍,则p等于( )
A.B.1
解析:
选D 由抛物线y2=2px知其准线方程为x=-.又点A到准线的距离等于点A到焦点的距离,∴3x0=x0+,∴x0=,∴A.∵点A在抛物线y2=2px上,∴=2.∵p>0,∴p=2.故选D.
2.若将本例
(2)中的B点坐标改为(3,4),则|PB|+|PF|的最小值为________.
由题意可知点(3,4)在抛物线的外部.
因为|PB|+|PF|的最小值即为B,F两点间的距离,
所以|PB|+|PF|≥|BF|===2,
即|PB|+|PF|的最小值为2.
答案:
2
3.已知抛物线方程为y2=4x,直线l的方程为x-y+5=0,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,到直线l的距离为d2,则d1+d2的最小值为________.
由题意知,抛物线的焦点为F(1,0).
点P到y轴的距离d1=|PF|-1,
所以d1+d2=d2+|PF|-1.
易知d2+|PF|的最小值为点F到直线l的距离,
故d2+|PF|的最小值为=3,
所以d1+d2的最小值为3-1.
3-1
[解题技法] 与抛物线有关的最值问题的解题策略
该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关,实现由点到点的距离与点到直线的距离的相互转化.
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得解;
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中,垂线段最短”解决.
[典例]
(1)顶点在原点,对称轴为坐标轴,且过点P(-4,-2)的抛物线的标准方程是
( )
A.y2=-x B.x2=-8y
C.y2=-8x或x2=-yD.y2=-x或x2=-8y
(2)(2018·
北京高考)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴,若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为________.
[解析]
(1)(待定系数法)设抛物线为y2=mx,代入点P(-4,-2),解得m=-1,则抛物线方程为y2=-x;
设抛物线为x2=ny,代入点P(-4,-2),解得n=-8,则抛物线方程为x2=-8y.
(2)由题知直线l的方程为x=1,
则直线与抛物线的交点为(1,±
2)(a>
0).
又直线被抛物线截得的线段长为4,
所以4=4,即a=1.
所以抛物线的焦点坐标为(1,0).
[答案]
(1)D
(2)(1,0)
[解题技法]
1.求抛物线标准方程的方法及注意点
(1)方法
求抛物线的标准方程的主要方法是定义法和待定系数法.若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p),那么只需求出p即可;
若题目未给出抛物线的方程,对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2=ax(a≠0),a的正负由题设来定;
焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2=ay(a≠0),这样就减少了不必要的讨论.
(2)注意点
①当坐标系已建立时,应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种;
②要掌握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系;
③要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离,利用它的几何意义来解决问题.
2.抛物线性质的应用技巧
(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时,关键是将抛物线方程化成标准方程.
(2)要结合图形分析,灵活运用平面图形的性质简化运算.
[题组训练]
1.(2019·
哈尔滨模拟)过点F(40,3)且和直线y+3=0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )
A.y2=12xB.y2=-12x
C.x2=-12yD.x2=12y
选D 由抛物线的定义知,过点F(0,3)且和直线y+3=0相切的动圆圆心的轨迹是以点F(0,3)为焦点,直线y=-3为准线的抛物线,故其方程为x2=12y.
2.若双曲线C:
2x2-y2=m(m>0)与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,且|AB|=4,则m的值是________.
y2=16x的准线l:
x=-4,
因为C与抛物线y2=16x的准线l:
x=-4交于A,B两点,|AB|=4,
设A在x轴上方,
所以A(-4,2),B(-4,-2),
将A点坐标代入双曲线方程得2×
(-4)2-
(2)2=m,
所以m=20.
20
3.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,若△FPM为边长是4的等边三角形,则此抛物线的方程为________________.
由△FPM为等边三角形,得|PM|=|PF|,由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线,设P,则点M,因为焦点F,△FPM是等边三角形,所以解得因此抛物线方程为x2=4y.
x2=4y
考法
(一) 直线与抛物线的交点问题
[典例] (2019·
武汉部分学校调研)已知抛物线C:
x2=2py(p>0)和定点M(0,1),设过点M的动直线交抛物线C于A,B两点,抛物线C在A,B处的切线的交点为N.若N在以AB为直径的圆上,则p的值为________.
[解析] 设直线AB:
y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),
将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2-2pkx-2p=0,
则x1+x2=2pk,x1x2=-2p.
由x2=2py得y′=,
则A,B处的切线斜率的乘积为=-,
∵点N在以AB为直径的圆上,∴AN⊥BN,
∴-=-1,∴p=2.
[答案] 2
[解题技法] 直线与抛物线交点问题的解题思路
(1)求交点问题,通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组.
(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决.
考法
(二) 抛物线的焦点弦问题
[典例] (2018·
全国卷Ⅱ)设抛物线C:
y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>
0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.
(1)求l的方程;
(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.
解:
(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
Δ=16k2+16>
0,故x1+x2=.
所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.
由题设知=8,解得k=1或k=-1(舍去).
因此l的方程为y=x-1.
(2)由
(1)得AB的中点坐标为(3,2),
所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),
即y=-x+5.
设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),
则
解得或
因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.
[解题技法]
解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法
(1)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.
(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.
[提醒] 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.
[题组训练]
1.(2018·
全国卷Ⅰ)设抛物线C:
y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则·
=( )
A.5 B.6
C.7D.8
选D 由题意知直线MN的方程为y=(x+2),
联立解得或
不妨设M(1,2),N(4,4).
又∵抛物线焦点为F(1,0),
∴=(0,2),=(3,4).
∴·
=0×
3+2×
4=8.
2.已知抛物线y2=16x的焦点为F,过F作一条直线交抛物线于A,B两点,若|AF|=6,则|BF|=________.
不妨设A(x1,y1),B(x2,y2)(A在B上方),根据焦半径公式|AF|=x1+=x1+4=6,所以x1=2,y1=4,所以直线AB的斜率为k==-2,所以直线方程为y=-2(x-4),与抛物线方程联立得x2-10x+16=0,即(x-2)(x-8)=0,所以x2=8,故|BF|=8+4=12.
12
A级
永州三模)已知抛物线y=px2(其中p为常数)过点A(1,3),则抛物线的焦点到准线的距离等于( )
A. B.
C.D.
选D 由抛物线y=px2(其中p为常数)过点A(1,3),可得p=3,则抛物线的标准方程为x2=y,则抛物线的焦点到准线的距离等于.故选D.
2.过点P(-2,3)的抛物线的标准方程是( )
A.y2=-x或x2=y
B.y2=x或x2=y
C.y2=x或x2=-y
D.y2=-x或x2=-y
选A 设抛物线的标准方程为y2=kx或x2=my,代入点P(-2,3),解得k=-,m=,所以y2=-x或x2=y.
3.(2019·
龙岩质检)若直线AB与抛物线y2=4x交于A,B两点,且AB⊥x轴,|AB|=4,则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )
A.1B.2
C.3D.5
选A 由|AB|=4及AB⊥x轴,不妨设点A的纵坐标为2,代入y2=4x得点A的横坐标为2,从而直线AB
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