函数一致连续性及其应用Word格式.docx

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这与条件矛盾，所以假设不成立.

因此可得在区间上一致连续.

定理1.3[3]设函数在区间上可导，其导函数在区间上有界，则在上一致连续.

证明因为在区间上有界，则有.对,

就有,所以在上一致连续.

定理1.4[3]函数在区间上一致连续的充要条件是对任意给出的，使得当时恒有有.

证明必要性（反证法）

函数在区间上一致连续,所以，对任意的，只要，就有

即必有.

取，当时有.

令，则存在使得.

令，则.

不妨设,因为，且由连续函数的介值性知

使得同理：

使得.

如此可得，规定且对每一个，

因为由一致连续的定义知,所以与条件矛盾，假设不成立.

即使得当时恒有

.

使得当时恒有

取，若设必有即

.

故.

故有只要，就有即在上一致连续.

1.2有限区间上的函数一致连续性

定理1.5[1]函数在上连续，则函数在上一致连续.

证明（应用有限覆盖定理）由在上的连续性，任给，对，

都存在，使得当时有.

考虑开区间集合，显然H是的一个开覆盖。

由有限覆盖定理，存在H的一个有限子集覆盖了.

记,对任意的，必须属于中某开区间.

设即.

此时有.

故同时有和.

定理1.6[4]函数在内一致连续的充分必要条件是在连续，且与都存在.

若在内一致连续，则对任给，存在，使得对任意的，，且，就有.

此时对端点，当，满足时也有

于是.

由柯西收敛准则知存在.

同理可证也存在，从而在连续.

因为在连续，且与都存在，补充定义，，所以在闭区间上连续.

由定理1.5知在上一致连续，故在连续.

推论函数在（或）内一致连续的充分必要条件是在（或）连续，且（或）存在.

1.3无限区间上的函数一致连续性[5]

定理1.7若函数在上连续，且，则函数在上一致连续.

证明因为，则，，只要，就有

又因为在连续，由定理3知在上一致连续.

故对上述的，，对，有

综上,在上一致连续.

推论1在连续，且与存在，则函数在内一致连续.

推论2在连续，且与存在，则函数在内一致连续.

1.4函数一致连续性相关定理的应用

例1.4.1[6]证明在区间上一致连续（M为任意整数），在上非一致连续.

分析利用定义.

证明，，使得，，有

在区间上一致连续（M为任意整数）.

在上取两个数列,但是

在上非一致连续.

例1.4.2[6]设，证明在上一致连续.

分析利用定理1.1.

证明对，有

所以在上一致连续.

分析利用定理1.7.

证明在上连续，且

所以在上一致连续

分析利用定理1.3.

证明，且在上

例1.4.3[7]证明在上非一致连续。

分析利用定理1.2的逆否命题.

证明在取两个数列

但是

所以由定理2知，在上非一致连续.

例1.4.4设在上连续，且处处不为0，证明在上一致连续.

分析利用闭区间连续函数的性质，同时掌握定理1.5和一致连续定义的灵活应用.

证明在上连续，则在上一致连续.

故，对任意的，只要，就有

在上连续，所以使

因此，在上一致连续.

1.5连续与一致连续的联系与区别

设函数在某内有定义，若，则称在点连续。

若函数在区间上的每一点都连续，则称为上的连续函数。

即对，，只要就有.

比较连续和一致连续的定义可知：

前者的不仅与有关，且与点有关，即对于不同的，一般来说是不同的，这表明只要函数在区间内每一点都连续，函数就在区间连续；

后者的仅与有关，与无关，即对不同的，是相同的。

这表明函数在区间的一致连续性，不仅要求函数在这个区间的每一点都连续，而且要求函数在区间上的连续是“一致”的（即连续可对一点来讲，而且对于某一点，取决于和，而一致连续必须以区间为对象，只取决于，与点的值无关）.

在区间一致连续的函数在这个区间一定是连续的，事实上，由一致连续性定义将固定，令变化，即知函数在连续，又是的任意一点，从而函数在连续。

但在区间连续的函数在这区间上不一定一致连续.

例在区间（0，1）内连续但不一致连续.

证明显然在区间（0，1）内连续.

按一致连续的定义，为证函数在区间上不一致连续，只须证明：

存在某，对任何正数（不论多么小），总存在两点，尽管，但有.

对于，可取，对无论多么小的正数，只要取与，则虽有，但.

故在（0，1）内不一致连续.

但是对于闭区间上的连续函数而言一定是一致连续的（详细证明见定理3）.

2函数一致连续的判别[8]

函数的一致连续是数学重要的概念，目前关于一致连续判别方法主要是利用一致连续的定义和柯西判别法，以及在第一部分我们已经介绍过的几个定理.这里我们主要介绍的是比较判别法和比值判别法以及Lipschitz判别法.

2.1函数一致连续的比较判别法

定理2.1函数在上连续，在连续，若满足

（A是非零定值，B是定值），则与有相同的一致连续性.

证明不妨设在上一致连续.

因为,故当时有

因为在上一致连续,故，只要就有

因此对就有

，

所以在上一致连续.

因为在连续，由定理1.3知在一致连续.

同理可证,在非一致连续可得在在上也非一致连续.

推论函数在（或或）上连续，在（或或）连续，若满足（A是非零定值，B是定值），则与有相同的一致连续性.

2.2函数一致连续的比值判别法

定理2.2函数在上连续，在连续，满足：

（ⅰ）；

（ⅱ）在上可导，且；

（ⅲ）存在，若（为非0定值），则有相同的一致连续性.

由洛毕达法则得,.

在上一致连续，则有：

，当时，就有.

由于，所以.

由柯西中值定理得,，使.

因为，所以

因此

，

即是当，所以可以得到在上一致连续.

因为在连续，由定理1.5知在一致连续.

推论函数在（或或或）上连续，在（或或或）连续，若满足（ⅰ）；

2.3Lipschitz判别法

定理2.3若函数在区间上满足Lipschitz条件：

，则函数在区间上必一致连续.

证明就有

故取即可有.

函数在区间上必一致连续.

2.4应用举例

例2.4.1讨论在上的一致连续性.

分析利用比较判别法.

证明取，因为，所以由定理1.6知在上一致连续.

因为且知道在上连续.

由比较判别法知在上一致连续.

例2.4.2判断函数的一致连续性.

分析利用比值判别法.

证明首先的定义域为.

取，有.

在上可导，且,.

因为在上一致连续，由比值判别法知在上一致连续.

3函数一致连续性的应用

3.1函数一致连续在黎曼积分中的应用

定理3.1若函数在闭区间连续，则函数在上可积.

证明已知函数在闭区间连续，则有由定理1.5知，函数在一致连续.即，只要时，就有.

对的任意分法，要求.

函数在每一个小区间连续，则在每一个小区间取到最小值与最大值，即，有.

因为，所以，有

，.

于是，，即函数在闭区间可积.

3.2函数一致连续性在广义积分中的应用[9]

定理3.2若函数在上连续，且无穷积分收敛，则

的充要条件是函数在上一致连续.

证明充要性

因为函数在上一致连续，故，有.

因为无穷积分收敛，故对，，当有

当有

即有，从而.

必要性

由，则当时，.

因此，.

故可得若函数在上连续.

3.3函数一致连续在函数列一致收敛中的应用[10]

定义设函数列与函数定义在同一区间上，如果对任意正数，存在整数，使得当时，对一切，都有

则称函数列在上一致收敛于，记作

；

定理3.3若函数列的每一项和函数在有界区间上一致连续，且，则.

证明因为和在上都一致连续，且因为是有界区间，所以存在且有限，，在上连续.

令，，，，则，在上一致连续。

又，从而.

由于和在上连续，故对上述和，存在，当时有

.

于是

这时，，组成上的一个开覆盖，根据有限覆盖定理，其中存在有限个子覆盖，记之为，取，则时，对任意的，存在，使得，从而有

这就证明了在上，，从而在上

4多元函数的一致连续性

多元函数的一致连续性我们主要讨论的是二元函数的一致连续性.

4.1二元函数的一致连续性相关定理

定理4.1.1（一致连续性定理）若函数在有界闭区域上连续，则在上一致连续，即对任何，总存在只依赖于的正数，使得对一切点，只要，就有.

证明假设在上连续而不一致连续，则存在某，对任意小的，例如

，总有相应的，虽然，但是.

由于为有界闭域，因此存在收敛子列，并设.为记号方便起见，再在中取出与下标相同的子列，则因

而有.最后，由在连续，得到

这与相矛盾.所以在上一致连续.

定理4.1.2函数在上连续且存在，，则在

上一致连续.

证明存在，由柯西准则，对满足

的点，总有.

又在有界闭区域上连续，由定理4.1.1知在上一致连续，故对上述，当时恒有：

取，当时，或同属于或同满足，从而总有.

故在上一致连续.

注：

定理4.1.2的逆命题未必成立，即在上一致连续，也未必存在.例如：

上一致连续，但不存在.

4.2二元函数一致连续在含参量积分中的应用

定理4.2若二元函数在矩形域上连续，则函数

在上连续.

证明设，对充分小的，有（若想为区间的端点，则仅考虑或），于是

由于在有界闭域上连续，由定理4.1知在一致连续，即对，只要就有

当时，.

这就证得了在上连续.

结束语

从以上四部分，我们对函数一致连续的定义，相关定理，判别法，与连续函数的关系，函数一致连续性的应用,以及多元函数的一致连续性作出了相应的介绍.

参考文献

[1]刘玉琏，傅沛仁编.数学分析讲义[M].高等教育出版社，2003年6月.

[2]华东师范数学系编著.数学分析[M].高等教育出版社，2008年5月.

[3]周运明，尚德生主编.数学分析[M].科学出版社，2008年9月.

[4]刘勇.关于一元函数一致连续性的讨论[J].赤峰学院学报，2009，25（11）.

[5]宋文檀，王筱冬.函数一致连续的充要条件及其应用[J].江西科学，2009，27（4）.

[6]庚哲，史济怀．数学分析教程[M]．高等教育出版社，2008年.

[7]徐新亚，夏海峰编著.数学分析选讲[M].同济大学出版社，2008年8