高考数学竞赛 三角函数教案讲义6Word格式.docx
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sinα=cosα;
平方关系:
sin2α+cos2α=1,tan2α+1=sec2α,cot2α+1=csc2α.
定理2诱导公式(Ⅰ)sin(α+π)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα,cot(π+α)=cotα;
(Ⅱ)sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα,cot(-α)=cotα;
(Ⅲ)sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan=(π-α)=-tanα,cot(π-α)=-cotα;
(Ⅳ)sin=cosα,cos=sinα,tan=cotα(奇变偶不变,符号看象限)。
定理3正弦函数的性质,根据图象可得y=sinx(x∈R)的性质如下。
单调区间:
在区间上为增函数,在区间上为减函数,最小正周期为2.奇偶数.有界性:
当且仅当x=2kx+时,y取最大值1,当且仅当x=3k-时,y取最小值-1。
对称性:
直线x=k+均为其对称轴,点(k,0)均为其对称中心,值域为[-1,1]。
这里k∈Z.
定理4余弦函数的性质,根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。
在区间[2kπ,2kπ+π]上单调递减,在区间[2kπ-π,2kπ]上单调递增。
最小正周期为2π。
奇偶性:
偶函数。
直线x=kπ均为其对称轴,点均为其对称中心。
有界性:
当且仅当x=2kπ时,y取最大值1;
当且仅当x=2kπ-π时,y取最小值-1。
值域为[-1,1]。
定理5正切函数的性质:
由图象知奇函数y=tanx(xkπ+)在开区间(kπ-,kπ+)上为增函数,最小正周期为π,值域为(-∞,+∞),点(kπ,0),(kπ+,0)均为其对称中心。
定理6两角和与差的基本关系式:
cos(αβ)=cosαcosβsinαsinβ,sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ;
tan(αβ)=
定理7和差化积与积化和差公式:
sinα+sinβ=2sincos,sinα-sinβ=2sincos,
cosα+cosβ=2coscos,cosα-cosβ=-2sinsin,
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].
定理8倍角公式:
sin2α=2sinαcosα,cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,
tan2α=
定理9半角公式:
sin=,cos=,
tan==
定理10万能公式:
,
定理11辅助角公式:
如果a,b是实数且a2+b20,则取始边在x轴正半轴,终边经过点(a,b)的一个角为β,则sinβ=,cosβ=,对任意的角α.
asinα+bcosα=sin(α+β).
定理12正弦定理:
在任意△ABC中有,其中a,b,c分别是角A,B,C的对边,R为△ABC外接圆半径。
定理13余弦定理:
在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA,其中a,b,c分别是角A,B,C的对边。
定理14图象之间的关系:
y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象;
经左右平移得y=sin(x+)的图象(相位变换);
纵坐标不变,横坐标变为原来的,得到y=sin()的图象(周期变换);
横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,得到y=Asinx的图象(振幅变换);
y=Asin(x+)(>
0)的图象(周期变换);
y=Asin(x+)(,>
0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到y=Asinx的图象。
定义4函数y=sinx的反函数叫反正弦函数,记作y=arcsinx(x∈[-1,1]),函数y=cosx(x∈[0,π])的反函数叫反余弦函数,记作y=arccosx(x∈[-1,1]).函数y=tanx的反函数叫反正切函数。
记作y=arctanx(x∈[-∞,+∞]).y=cosx(x∈[0,π])的反函数称为反余切函数,记作y=arccotx(x∈[-∞,+∞]).
定理15三角方程的解集,如果a∈(-1,1),方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina,n∈Z}。
方程cosx=a的解集是{x|x=2kxarccosa,k∈Z}.如果a∈R,方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana,k∈Z}。
恒等式:
arcsina+arccosa=;
arctana+arccota=.
定理16若,则sinx<
x<
tanx.
二、方法与例题
1.结合图象解题。
例1求方程sinx=lg|x|的解的个数。
2三角函数性质的应用。
例2设x∈(0,π),试比较cos(sinx)与sin(cosx)的大小。
例3已知α,β为锐角,且x·
(α+β-)>
0,求证:
注:
以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式,值得注意的是角的讨论。
3.最小正周期的确定。
例4求函数y=sin(2cos|x|)的最小正周期。
4.三角最值问题。
例5已知函数y=sinx+,求函数的最大值与最小值。
例6设0<
<
π,求sin的最大值。
例7若A,B,C为△ABC三个内角,试求sinA+sinB+sinC的最大值。
三角函数的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。
5.换元法的使用。
例8求的值域。
例9已知a0=1,an=(n∈N+),求证:
an>
.
换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。
另外当x∈时,有tanx>
x>
sinx,这是个熟知的结论,暂时不证明,学完导数后,证明是很容易的。
6.图象变换:
y=sinx(x∈R)与y=Asin(x+)(A,,>
0).
由y=sinx的图象向左平移个单位,然后保持横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,然后再保持纵坐标不变,横坐标变为原来的,得到y=Asin(x+)的图象;
也可以由y=sinx的图象先保持横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,再保持纵坐标不变,横坐标变为原来的,最后向左平移个单位,得到y=Asin(x+)的图象。
例10例10已知f(x)=sin(x+)(>
0,0≤≤π)是R上的偶函数,其图象关于点对称,且在区间上是单调函数,求和的值。
7.三角公式的应用。
例11已知sin(α-β)=,sin(α+β)=-,且α-β∈,α+β∈,求sin2α,cos2β的值。
例12已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,且,试求的值。
例13求证:
tan20+4cos70.
三、基础训练题
1.已知锐角x的终边上一点A的坐标为(2sin3,-2cos3),则x的弧度数为___________。
2.适合-2cscx的角的集合为___________。
3.给出下列命题:
(1)若αβ,则sinαsinβ;
(2)若sinαsinβ,则αβ;
(3)若sinα>
0,则α为第一或第二象限角;
(4)若α为第一或第二象限角,则sinα>
0.上述四个命题中,正确的命题有__________个。
4.已知sinx+cosx=(x∈(0,π)),则cotx=___________。
5.简谐振动x1=Asin和x2=Bsin叠加后得到的合振动是x=___________。
6.已知3sinx-4cosx=5sin(x+1)=5sin(x-2)=5cos(x+3)=5cos(x-4),则1,2,3,4分别是第________象限角。
7.满足sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的锐角x共有________个。
8.已知,则=___________。
9.=___________。
10.cot15cos25cot35cot85=___________。
11.已知α,β∈(0,π),tan,sin(α+β)=,求cosβ的值。
12.已知函数f(x)=在区间上单调递减,试求实数m的取值范围。
四、高考水平训练题
1.已知一扇形中心角是a,所在圆半径为R,若其周长为定值c(c>
0),当扇形面积最大时,a=__________.
2.函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)的单调递减区间是__________.
3.函数的值域为__________.
4.方程=0的实根个数为__________.
5.若sina+cosa=tana,a,则__________a(填大小关系).
6.(1+tan1)(1+tan2)…(1+tan44)(1+tan45)=__________.
7.若0<
y≤x<
且tanx=3tany,则x-y的最大值为__________.
8.=__________.
9.·
cos·
cos=__________.
10.cos271+cos71cos49+cos249=__________.
11.解方程:
sinx+2sin2x=3+sin3x.
12.求满足sin(x+sinx)=cos(x-cosx)的所有锐角x.
13.已知f(x)=(kA0,k∈Z,且A∈R),
(1)试求f(x)的最大值和最小值;
(2)若A>
0,k=-1,求f(x)的单调区间;
(3)试求最小正整数k,使得当x在任意两个整数(包括整数本身)间变化时,函数f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。
五、联赛一试水平训练题
(一)
1.若x,y∈R,则z=cosx2+cosy2-cosxy的取值范围是____________.
2.已知圆x2+y2=k2至少盖住函数f(x)=的一个最大值点与一个最小值点,则实数k的取值范围是____________.
3.f()=5+8cos+4cos2+cos3的最小值为____________.
4.方程sinx+cosx+a=0在(0,2π)内有相异两实根α,β,则α+β=____________.
5.函数f(x)=|tanx|+|cotx|的单调递增区间是____________.
6.设sina>
0>
cosa,且sin>
cos,则的取值范围是____________.
7.方程tan5x+tan3x=0在[0,π]中有__________个解.
8.若x,y∈R,则M=cosx+cosy+2cos(x+y)的
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