二项式知识点+十大问题+练习含答案Word格式文档下载.docx
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展开式中总共有项。
②顺序:
注意正确选择,,其顺序不能更改。
与是不同的。
③指数:
的指数从逐项减到,是降幂排列。
的指数从逐项减到,是升幂排列。
各项的次数和等于.
④系数:
注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是项的系数是与的系数(包括二项式系数)。
4.常用的结论:
令
5.性质:
①二项式系数的对称性:
与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,即,·
·
②二项式系数和:
令,则二项式系数的和为,
变形式。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和:
在二项式定理中,令,则,
从而得到:
④奇数项的系数和与偶数项的系数和:
⑤二项式系数的最大项:
如果二项式的幂指数是偶数时,则中间一项的二项式系数取得最大值。
如果二项式的幂指数是奇数时,则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。
⑥系数的最大项:
求展开式中最大的项,一般采用待定系数法。
设展开式中各项系数分别
为,设第项系数最大,应有,从而解出来。
专题一
题型一:
二项式定理的逆用;
例:
解:
与已知的有一些差距,
练:
设,则
题型二:
利用通项公式求的系数;
在二项式的展开式中倒数第项的系数为,求含有的项的系数?
由条件知,即,,解得,由
,由题意,
则含有的项是第项,系数为。
求展开式中的系数?
,令,则
故的系数为。
题型三:
利用通项公式求常数项;
求二项式的展开式中的常数项?
,令,得,所以
若的二项展开式中第项为常数项,则
,令,得.
题型四:
利用通项公式,再讨论而确定有理数项;
求二项式展开式中的有理项?
,令,()得,
所以当时,,,
当时,,。
题型五:
奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和;
若展开式中偶数项系数和为,求.
设展开式中各项系数依次设为
则有①,,则有②
将①-②得:
有题意得,,。
若的展开式中,所有的奇数项的系数和为,求它的中间项。
,,解得
所以中间两个项分别为,,
题型六:
最大系数,最大项;
已知,若展开式中第项,第项与第项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数是多少?
解出,当时,展开式中二项式系数最大的项是,当时,展开式中二项式系数最大的项是,。
在的展开式中,二项式系数最大的项是多少?
二项式的幂指数是偶数,则中间一项的二项式系数最大,即,也就是第项。
在的展开式中,只有第项的二项式最大,则展开式中的常数项是多少?
只有第项的二项式最大,则,即,所以展开式中常数项为第七项等于
写出在的展开式中,系数最大的项?
系数最小的项?
因为二项式的幂指数是奇数,所以中间两项()的二项式系数相等,且同时取得最大值,从而有的系数最小,系数最大。
若展开式前三项的二项式系数和等于,求的展开式中系数最大的项?
由解出,假设项最大,
,化简得到,又,,展开式中系数最大的项为,有
在的展开式中系数最大的项是多少?
假设项最大,
,化简得到,又,,展开式中系数最大的项为
题型七:
含有三项变两项;
求当的展开式中的一次项的系数?
解法①:
,,当且仅当时,的展开式中才有x的一次项,此时,所以得一次项为
它的系数为。
解法②:
故展开式中含的项为,故展开式中的系数为240.
求式子的常数项?
,设第项为常数项,则,得,,.
题型八:
两个二项式相乘;
.
.
题型九:
奇数项的系数和与偶数项的系数和;
题型十:
赋值法;
设二项式的展开式的各项系数的和为,所有二项式系数的和为,若
则等于多少?
若,有,,
令得,又,即解得,.
若的展开式中各项系数之和为,则展开式的常数项为多少?
令,则的展开式中各项系数之和为,所以,则展开式的常数项为.
题型十一:
整除性;
证明:
能被64整除
证:
由于各项均能被64整除
1、(x-1)11展开式中x的偶次项系数之和是
1、设f(x)=(x-1)11,偶次项系数之和是
2、2、4n
3、的展开式中的有理项是展开式的第项
3、3,9,15,21
4、(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是
4、(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和,故令x=1,则所求和为35
5、求(1+x+x2)(1-x)10展开式中x4的系数
5、,要得到含x4的项,必须第一个因式中的1与(1-x)9展开式中的项作积,第一个因式中的-x3与(1-x)9展开式中的项作积,故x4的系数是
6、求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数
6、=,原式中x3实为这分子中的x4,则所求系数为
7、若展开式中,x的系数为21,问m、n为何值时,x2的系数最小?
7、由条件得m+n=21,x2的项为,则因n∈N,故当n=10或11时上式有最小值,也就是m=11和n=10,或m=10和n=11时,x2的系数最小
8、自然数n为偶数时,求证:
8、原式=
9、求被9除的余数
9、,
∵k∈Z,∴9k-1∈Z,∴被9除余8
10、在(x2+3x+2)5的展开式中,求x的系数
10、
在(x+1)5展开式中,常数项为1,含x的项为,在(2+x)5展开式中,常数项为25=32,含x的项为
∴展开式中含x的项为,此展开式中x的系数为240
11、求(2x+1)12展开式中系数最大的项
11、设Tr+1的系数最大,则Tr+1的系数不小于Tr与Tr+2的系数,即有
∴展开式中系数最大项为第5项,T5=
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