中考数学直角三角形的边角关系大题培优及答案解析.docx
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中考数学直角三角形的边角关系大题培优及答案解析
中考数学直角三角形的边角关系(大题培优)及答案解析
一、直角三角形的边角关系
1.小红将笔记本电脑水平放置在桌子上,显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时,感觉最舒适(如图1),侧面示意图为图2;使用时为了散热,她在底板下面垫入散热架ACO'后,电脑转到AO'B'位置(如图3),侧面示意图为图4.已知OA=OB=24cm,O'C⊥OA于点C,O'C=12cm.
(1)求∠CAO'的度数.
(2)显示屏的顶部B'比原来升高了多少?
(3)如图4,垫入散热架后,要使显示屏O'B'与水平线的夹角仍保持120°,则显示屏O'B'应绕点O'按顺时针方向旋转多少度?
【答案】
(1)∠CAO′=30°;
(2)(36﹣12)cm;(3)显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°.
【解析】
试题分析:
(1)通过解直角三角形即可得到结果;
(2)过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D,通过解直角三角形求得BD=OBsin∠BOD=24×=12,由C、O′、B′三点共线可得结果;
(3)显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°,求得∠EO′B′=∠FO′A=30°,既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°.
试题解析:
(1)∵O′C⊥OA于C,OA=OB=24cm,
∴sin∠CAO′=,
∴∠CAO′=30°;
(2)过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D,∵sin∠BOD=,∴BD=OBsin∠BOD,∵∠AOB=120°,∴∠BOD=60°,∴BD=OBsin∠BOD=24×=12,∵O′C⊥OA,∠CAO′=30°,
∴∠AO′C=60°,∵∠AO′B′=120°,∴∠AO′B′+∠AO′C=180°,
∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12=36﹣12,
∴显示屏的顶部B′比原来升高了(36﹣12)cm;
(3)显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°,
理由:
∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°,
∴∠EO′F=120°,
∴∠FO′A=∠CAO′=30°,
∵∠AO′B′=120°,
∴∠EO′B′=∠FO′A=30°,
∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°.
考点:
解直角三角形的应用;旋转的性质.
2.如图,在△ABC中,AB=7.5,AC=9,S△ABC=.动点P从A点出发,沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向B点匀速运动,动点Q从C点同时出发,以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动,当点P运动到B点时,P、Q两点同时停止运动,以PQ为边作正△PQM(P、Q、M按逆时针排序),以QC为边在AC上方作正△QCN,设点P运动时间为t秒.
(1)求cosA的值;
(2)当△PQM与△QCN的面积满足S△PQM=S△QCN时,求t的值;
(3)当t为何值时,△PQM的某个顶点(Q点除外)落在△QCN的边上.
【答案】
(1)coaA=;
(2)当t=时,满足S△PQM=S△QCN;(3)当t=s或s时,△PQM的某个顶点(Q点除外)落在△QCN的边上.
【解析】
分析:
(1)如图1中,作BE⊥AC于E.利用三角形的面积公式求出BE,利用勾股定理求出AE即可解决问题;
(2)如图2中,作PH⊥AC于H.利用S△PQM=S△QCN构建方程即可解决问题;
(3)分两种情形①如图3中,当点M落在QN上时,作PH⊥AC于H.②如图4中,当点M在CQ上时,作PH⊥AC于H.分别构建方程求解即可;
详解:
(1)如图1中,作BE⊥AC于E.
∵S△ABC=•AC•BE=,
∴BE=,
在Rt△ABE中,AE=,
∴coaA=.
(2)如图2中,作PH⊥AC于H.
∵PA=5t,PH=3t,AH=4t,HQ=AC-AH-CQ=9-9t,
∴PQ2=PH2+HQ2=9t2+(9-9t)2,
∵S△PQM=S△QCN,
∴•PQ2=•CQ2,
∴9t2+(9-9t)2=×(5t)2,
整理得:
5t2-18t+9=0,
解得t=3(舍弃)或.
∴当t=时,满足S△PQM=S△QCN.
(3)①如图3中,当点M落在QN上时,作PH⊥AC于H.
易知:
PM∥AC,
∴∠MPQ=∠PQH=60°,
∴PH=HQ,
∴3t=(9-9t),
∴t=.
②如图4中,当点M在CQ上时,作PH⊥AC于H.
同法可得PH=QH,
∴3t=(9t-9),
∴t=,
综上所述,当t=s或s时,△PQM的某个顶点(Q点除外)落在△QCN的边上.
点睛:
本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、勾股定理锐角三角函数、解直角三角形等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型.
3.在Rt△ACB和△AEF中,∠ACB=∠AEF=90°,若点P是BF的中点,连接PC,PE.
特殊发现:
如图1,若点E、F分别落在边AB,AC上,则结论:
PC=PE成立(不要求证明).
问题探究:
把图1中的△AEF绕点A顺时针旋转.
(1)如图2,若点E落在边CA的延长线上,则上述结论是否成立?
若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(2)如图3,若点F落在边AB上,则上述结论是否仍然成立?
若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(3)记=k,当k为何值时,△CPE总是等边三角形?
(请直接写出后的值,不必说)
【答案】成立,成立当k为时,总是等边三角形
【解析】
【分析】
(1)过点P作PM⊥CE于点M,由EF⊥AE,BC⊥AC,得到EF∥MP∥CB,从而有,再根据点P是BF的中点,可得EM=MC,据此得到PC=PE.
(2)过点F作FD⊥AC于点D,过点P作PM⊥AC于点M,连接PD,先证△DAF≌△EAF,即可得出AD=AE;再证△DAP≌△EAP,即可得出PD=PE;最后根据FD⊥AC,BC⊥AC,PM⊥AC,可得FD∥BC∥PM,再根据点P是BF的中点,推得PC=PD,再根据PD=PE,即可得到结论.
(3)因为△CPE总是等边三角形,可得∠CEP=60°,∠CAB=60°;由∠ACB=90°,求出∠CBA=30°;最后根据,=tan30°,求出当△CPE总是等边三角形时,k的值是多少即可.
【详解】
解:
(1)PC=PE成立,理由如下:
如图2,过点P作PM⊥CE于点M,∵EF⊥AE,BC⊥AC,∴EF∥MP∥CB,∴,∵点P是BF的中点,∴EM=MC,又∵PM⊥CE,∴PC=PE;
(2)PC=PE成立,理由如下:
如图3,过点F作FD⊥AC于点D,过点P作PM⊥AC于点M,连接PD,∵∠DAF=∠EAF,∠FDA=∠FEA=90°,在△DAF和△EAF中
,∵∠DAF=∠EAF,∠FDA=∠FEA,AF=AF,
∴△DAF≌△EAF(AAS),
∴AD=AE,在△DAP和△EAP中,
∵AD=AE,∠DAP=∠EAP,AP=AP,
∴△DAP≌△EAP(SAS),
∴PD=PE,
∵FD⊥AC,BC⊥AC,PM⊥AC,
∴FD∥BC∥PM,
∴,
∵点P是BF的中点,
∴DM=MC,又∵PM⊥AC,
∴PC=PD,又∵PD=PE,
∴PC=PE;
(3)如图4,∵△CPE总是等边三角形,
∴∠CEP=60°,
∴∠CAB=60°,
∵∠ACB=90°,
∴∠CBA=90°﹣∠ACB=90°﹣60°=30°,
∵,=tan30°,
∴k=tan30°=,
∴当k为时,△CPE总是等边三角形.
【点睛】
考点:
1.几何变换综合题;2.探究型;3.压轴题;4.三角形综合题;5.全等三角形的判定与性质;6.平行线分线段成比例.
4.如图,某公园内有一座古塔AB,在塔的北面有一栋建筑物,某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为32°,此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD.中午12时太阳光线与地面的夹角为45°,此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C的距离为15米(B、E、C在一条直线上),求塔AB的高度.(结果精确到0.01米)
参考数据:
sin32°≈0.5299,cos32°≈0.8480,tan32°≈0.6249,.
【答案】塔高AB约为32.99米.
【解析】
【分析】
过点D作DH⊥AB,垂足为点H,设AB=x,则AH=x﹣3,解直角三角形即可得到结论.
【详解】
解:
过点D作DH⊥AB,垂足为点H.
由题意,得HB=CD=3,EC=15,HD=BC,∠ABC=∠AHD=90°,
∠ADH=32°.
设AB=x,则AH=x–3.
在Rt△ABE中,由∠AEB=45°,得.
∴EB=AB=x.∴HD=BC=BE+EC=x+15.
在Rt△AHD中,由∠AHD=90°,得.
即得.
解得.
∴塔高AB约为32.99米.
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
5.我市在创建全国文明城市的过程中,某社区在甲楼的A处与E处之间悬挂了一副宣传条幅,在乙楼顶部C点测得条幅顶端A点的仰角为45°,条幅底端E点的俯角为30°,若甲、乙两楼之间的水平距离BD为12米,求条幅AE的长度.(结果保留根号)
【答案】的长为
【解析】
【分析】
在中求AF的长,在中求EF的长,即可求解.
【详解】
过点作于点F
由题知:
四边形为矩形
在中,
在中,
求得的长为
【点睛】
本题考查了三角函数的实际应用,中等难度,作辅助线构造直角三角形是解题关键.
6.水库大坝截面的迎水坡坡比(DE与AE的长度之比)为1:
0.6,背水坡坡比为1:
2,大坝高DE=30米,坝顶宽CD=10米,求大坝的截面的周长和面积.
【答案】故大坝的截面的周长是(6+30+98)米,面积是1470平方米.
【解析】
试题分析:
先根据两个坡比求出AE和BF的长,然后利用勾股定理求出AD和BC,再由大坝的截面的周长=DC+AD+AE+EF+BF+BC,梯形的面积公式可得出答案.
试题解析:
∵迎水坡坡比(DE与AE的长度之比)为1:
0.6,DE=30m,
∴AE=18米,
在RT△ADE中,AD==6米
∵背水坡坡比为1:
2,
∴BF=60米,
在RT△BCF中,BC==30米,
∴周长=DC+AD+AE+EF+BF+BC=6+10+30+88=(6+30+98)米,
面积=(10+18+10+60)×30÷2=1470(平方米).
故大坝的截面的周长是(6+30+98)米,面积是1470平方米.
7.如图,AB是⊙O的直径,E是⊙O上一点,C在AB的延长线上,AD⊥CE交CE的延长线于点D,且AE平分∠DAC.
(1)求证:
CD是⊙O的切线;
(2)若AB=6,∠ABE=60°,求AD的长.
【答案】
(1)详见解析;
(2)
【解析】
【分析】
(1)利用角平分线的性质得到∠OAE=∠DAE,再利用半径相等得∠AEO=∠OAE,等量代换即可推出OE∥AD,即可解题,
(2)根据30°的三角函数值分别在Rt△ABE中,AE=AB·cos30°,在Rt△ADE中,AD=cos30°×AE即可解题.
【详解】
证明:
如图,连接OE,
∵AE平分∠DAC,
∴∠OAE=∠DAE.
∵OA=OE,
∴∠AEO=∠OAE.
∴∠AEO=∠DAE.
∴OE∥AD.
∵DC⊥AC,
∴OE⊥DC.
∴CD是⊙O的切线.
(2)解:
∵AB是直径,
∴∠AEB=90°,∠ABE=60°.
∴∠EAB=30°,
在
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