近五年高考数学真题分类汇编09 计数原理文档格式.docx
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A.120种B.90种
C.60种D.30种
7.(2020·
全国(文))如图,将钢琴上的12个键依次记为a1,a2,…,a12.设1≤i<
j<
k≤12.若k–j=3且j–i=4,则称ai,aj,ak为原位大三和弦;
若k–j=4且j–i=3,则称ai,aj,ak为原位小三和弦.用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为()
A.5B.8C.10D.15
8.(2020·
全国(理))的展开式中x3y3的系数为()
A.5B.10
C.15D.20
9.(2019·
全国(文))两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是
10.(2019·
全国(理))(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为
A.12B.16C.20D.24
11.(2019·
全国(理))我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“——”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是
12.(2018·
全国(理))的展开式中的系数为
A.10B.20C.40D.80
13.(2017·
全国(理))(+)(2-)5的展开式中33的系数为
A.-80B.-40C.40D.80
14.(2017·
全国(理))(2017新课标全国卷Ⅰ理科)展开式中的系数为
A.15B.20
C.30D.35
15.(2017·
全国(理))安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有
A.12种B.18种C.24种D.36种
16.(2017·
17.(2021·
浙江)已知多项式,则___________,___________.
18.(2020·
浙江)设,则________;
________.
19.(2019·
浙江)在二项式的展开式中,常数项是________;
系数为有理数的项的个数是_______.
20.(2017·
浙江)已知多项式2=,则=________________,=________.
二、填空题
21.(2020·
天津)在的展开式中,的系数是_________.
22.(2020·
全国(理))的展开式中常数项是__________(用数字作答).
23.(2020·
全国(理))4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有__________种.
24.(2019·
天津(理))展开式中的常数项为________.
25.(2019·
上海)在的二项展开式中,常数项的值为__________
26.(2019·
上海)首届中国国际进口博览会在上海举行,某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动,其中甲连续参加2天,其他人各参加1天,则不同的安排方法有_____种(结果用数值表示)
27.(2018·
上海)在的二项展开式中,项的系数为.(结果用数值表示).
28.(2018·
浙江)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
29.(2018·
浙江)二项式的展开式的常数项是___________.
30.(2018·
天津(理))在二项式的展开式中,的系数为__________.
31.(2018·
全国(理))从位女生,位男生中选人参加科技比赛,且至少有位女生入选,则不同的选法共有_____________种.(用数字填写答案)
32.(2017·
天津(理))用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有___________个.(用数字作答)
33.(2017·
山东(理))已知的展开式中含有项的系数是54,则n=_____________.
34.(2017·
浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人,组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有__________种不同的选法.(用数字作答)
四、解答题
35.(2019·
江苏)设.已知.
(1)求n的值;
(2)设,其中,求的值.
九、计数原理(答案解析)
1.C
【分析】
采用插空法,4个1产生5个空,分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.
【解析】
将4个1和2个0随机排成一行,可利用插空法,4个1产生5个空,
若2个0相邻,则有种排法,若2个0不相邻,则有种排法,
所以2个0不相邻的概率为.故选:
C.
2.C
解:
将3个1和2个0随机排成一行,可以是:
,
共10种排法,其中2个0不相邻的排列方法为:
,共6种方法,
故2个0不相邻的概率为,故选:
3.C
先确定有一个项目中分配2名志愿者,其余各项目中分配1名志愿者,然后利用组合,排列,乘法原理求得.
根据题意,有一个项目中分配2名志愿者,其余各项目中分配1名志愿者,可以先从5名志愿者中任选2人,组成一个小组,有种选法;
然后连同其余三人,看成四个元素,四个项目看成四个不同的位置,四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4!
种,根据乘法原理,完成这件事,共有种不同的分配方案,
故选:
4.C
首先将3名学生分成两个组,然后将2组学生安排到2个村即可.
第一步,将3名学生分成两个组,有种分法
第二步,将2组学生安排到2个村,有种安排方法
所以,不同的安排方法共有种
C
5.C
首先写出展开式的通项公式,然后结合通项公式确定的系数即可.
展开式的通项公式为:
令可得:
,则的系数为:
.
【小结】
二项式定理的核心是通项公式,求解此类问题可以分两步完成:
第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式,建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件,即n,r均为非负整数,且n≥r,如常数项指数为零、有理项指数为整数等);
第二步是根据所求的指数,再求所求解的项.
6.C
分别安排各场馆的志愿者,利用组合计数和乘法计数原理求解.
首先从名同学中选名去甲场馆,方法数有;
然后从其余名同学中选名去乙场馆,方法数有;
最后剩下的名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有种.
本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算,属于基础题.
7.C
根据原位大三和弦满足,原位小三和弦满足
从开始,利用列举法即可解出.
根据题意可知,原位大三和弦满足:
.
∴;
;
原位小三和弦满足:
故个数之和为10.
C.
本题主要考查列举法的应用,以及对新定义的理解和应用,属于基础题.
8.C
求得展开式的通项公式为(且),即可求得与展开式的乘积为或形式,对分别赋值为3,1即可求得的系数,问题得解.
展开式的通项公式为(且)
所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为:
和
在中,令,可得:
,该项中的系数为,
,该项中的系数为
所以的系数为
本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式,还考查了赋值法、转化能力及分析能力,属于中档题.
9.D
男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率,进而得解.
两位男同学和两位女同学排成一列,因为男生和女生人数相等,两位女生相邻与不相邻的排法种数相同,所以两位女生相邻与不相邻的概率均是.故选D.
本题考查常见背景中的古典概型,渗透了数学建模和数学运算素养.采取等同法,利用等价转化的思想解题.
10.A
本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数.
由题意得x3的系数为,故选A.
本题主要考查二项式定理,利用展开式通项公式求展开式指定项的系数.
11.A
本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题,渗透了传统文化、数学计算等数学素养,“重卦”中每一爻有两种情况,基本事件计算是住店问题,该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题,利用直接法即可计算.
由题知,每一爻有2种情况,一重卦的6爻有情况,其中6爻中恰有3个阳爻情况有,所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=,故选A.
对利用排列组合计算古典概型问题,首先要分析元素是否可重复,其次要分析是排列问题还是组合问题.本题是重复元素的排列问题,所以基本事件的计算是“住店”问题,满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题.
12.C
分析:
写出,然后可得结果
解析:
由题可得
令,则
所以
故选C.
小结:
本题主要考查二项式定理,属于基础题.
13.C
,
由展开式的通项公式可得:
当时,展开式中的系数为;
当时,展开式中的系数为,
则的系数为.
14.C
因为,则展开式中含的项为,展开式中含的项为,故的系数为,选C.
小结:
对于两个二项式乘积的问题,用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项,分析含的项共有几项,进行相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况,尤其是两个二项展开式中的不同.
15.D
4项工作分成3组,可得:
=6,
安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,
可得:
种.
故选D.
16.D
17.;
.
根据二项展开式定理,分别求出的展开式,即可得出结论.
所以,
所以.
故答案为:
18.
利用二项式展开式的通项公式计算即可.
的通项为,
令,则,故;
【点晴】
本题主要考查利用二项式定理求指
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