最新高二数学暑假预科讲义 第六讲 空间向量 基础学生版.docx
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最新高二数学暑假预科讲义第六讲空间向量基础学生版
空间向量的概念与运算
考点1:
空间向量的运算
1.向量的加法、减法与数乘向量运算与平面向量类似;
2.空间向量的基本定理:
共线向量定理:
对空间两个向量,(),的充要条件是存在实数,使.
共面向量:
通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
共面向量定理:
如果两个向量,不共线,则向量与向量,共面的充要条件是,存在唯一的一对实数,,使.
空间向量分解定理:
如果三个向量,,不共面,那么对空间任一向量,存在唯一一个有序实数组,,,使.
表达式,叫做向量,,的线性表示式或线性组合.
上述定理中,,,叫做空间的一个基底,记作,其中都叫做基向量.
由此定理知,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
四点共面定理:
设点为空间任意一点,点是空间不共线的三点,又点满足等式:
,其中,
则四点共面的充要条件是.
3.两个向量的夹角:
已知两个非零向量,在空间任取一点,作,,则叫做向量与的夹角,记作.通常规定.
在这个规定下,两个向量的夹角就被唯一确定了,并且.
如果,则称与互相垂直,记作.
4.两个向量的数量积:
已知空间两个向量,,定义它们的数量积(或内积)为:
空间两个向量的数量积具有如下性质:
⑴;⑵;⑶.
空间两个向量的数量积满足如下运算律:
⑴;⑵;⑶.
题型一:
空间向量的运算
例1.1.(2020春•和平区期中)在下列条件中,使与,,一定共面的是
A.B.
C.D.
例1.2.(2019秋•龙岩期末)如图所示,在平行六面体中,,,,是的中点,点是上的点,且,用表示向量的结果是
A.B.C.D.
例1.3.(2019秋•泰安期末)如图,平行六面体中,与交于点,设,则
A.B.C.D.
例1.4.(2020•东湖区校级一模)如图:
在平行六面体中,为与的交点.若,,,则下列向量中与相等的向量是
A.B.C.D.
例1.5.(2016秋•大石桥市校级期中)设、是两个不共线的向量,已知,,,若、、三点共线,求的值为 .
例1.6.(2009春•北林区校级期末)若中,,,2,,,1,,,0,,则的值为
A.B.C.D.
例1.7.(2019秋•天津期末)已知空间向量,,若,则实数
A.B.C.1D.2
例1.8.(2019秋•深圳期末)若向量,1,,,1,,且,则实数的值是
A.B.0C.D.1
例1.9.(2016秋•伊春区校级期末),1,,,,,如果与为共线向量,则 .
例1.10.(2016秋•湛江期末)已知空间三点,1,、,0,、,,,则与的夹角的大小是 .
考点2:
用空间向量证明平行垂直
1.直线的方向向量与平面的法向量的概念;
2.线、面平行与垂直:
(设直线的方向向量分别为,平面的法向量分别为)
⑴线线的平行关系:
∥(或与重合)∥;
线面的平行关系:
∥或存在实数,使
(其中为平面内的两个不共线的向量)
面面的平行关系:
∥(,重合)∥;
⑵线线垂直:
;
⑶线面垂直:
;
⑷面面垂直:
;
题型二:
空间向量证明线面平行、垂直
例2.(2019秋•河西区期末)若两个向量,2,,,2,,则平面的一个法向量为
A.,2,B.,2,C.,2,D.,2,
例3.1(2019•西湖区校级模拟)给出下列命题:
①直线的方向向量为,,,直线的方向向量,1,,则与垂直;
②直线的方向向量,1,,平面的法向量,,,则;
③平面、的法向量分别为,1,,,0,,则;
④平面经过三点,0,,,1,,,2,,向量,,是平面的法向量,则.
其中真命题的是 .(把你认为正确命题的序号都填上)
例3.2(2019秋•滁州期末)设直线的方向向量为,平面的法向量为,,则使成立的是
A.,,,,1,B.,,,,1,
C.,1,,,,D.,,,,1,
例3.3(2019秋•咸阳期末)若直线的方向向量为,平面的法向量为,0,,则
A.B.C.D.与斜交
例3.4(2018秋•西城区期末)平面经过三点,0,,,2,,,0,,则平面的法向量可以是
A.,0,B.,0,C.,1,D.,1,
例3.5(2017秋•让胡路区校级期末)若直线的一个方向向量,平面的一个法向量为,则
A.B.C.D.、都有可能
例4.(2017秋•寿光市校级月考)已知正四棱锥如图所示,在向量,,,,不能作为底面的法向量的是 .
例5.(2019秋•河东区期末)如图在正方体中,、分别是棱,的中点.求证:
为平面的一个法向量.
考点3:
用空间向量求点面距离与线面角
1.设直线的方向向量分别为,则所成角满足:
,
2.空间中的点面距离
⑴体积法
⑵空间向量法:
定点到平面的距离,可设平面的法向量为,面内一点,
则点到平面的距离为
3.设直线的方向向量为,平面的法向量为,则与所成角满足:
();
题型三:
空间向量求点面距离
例6.1.(2020•武侯区校级模拟)如图示,三棱椎的底面是等腰直角三角形,,且,,则点到面的距离等于
A.B.C.D.
例6.2.(2019秋•宿州期末)如图,四面体中,,,两两垂直,,点是的中点,若直线与平面所成角的正弦值为,则点到平面的距离
A.B.C.D.
例6.3.(2019秋•浏阳市期末)在正方体中,是的中点,若,则点到平面的距离等于
A.B.C.D.3
例6.4.(2019秋•仓山区校级期末)在空间直角坐标系中,四面体的顶点坐标分别是,0,,,2,,,2,,,2,.则点到面的距离是
A.B.C.D.
题型四:
空间向量求线面角
例7.1(2019秋•景德镇期末)如图,在棱长为1的正方体中,为中点,则直线
与平面所成角的正弦值是
A.B.C.D.
例7.2(2019秋•罗庄区期末)如图,在正方体中,,分别是上底棱的中点,与平面所成的角的大小是
A.B.C.D.
例7.3(2019秋•张家口期末)长方体中,,,为棱的中点,则直线与平面所成角的余弦值为
A.B.C.D.
例7.4(2019秋•益阳期末)如图,在长方体中,,,与平面所成角的余弦值是
A.B.C.D.
例7.5(2019秋•唐山期末)如图,三棱柱中,底面,,,则直线与平面所成角的正弦值是
A.B.C.D.
考点4:
用空间向量求二面角
例8.1(2019秋•德州期末)如图,在直三棱柱中,,,则异面直线与所成角为 ;二面角的余弦值是 .
例8.2(2019秋•揭阳期末)如图长方体中,,,则二面角的大小为
A.B.C.D.
例8.3(2020春•东海县期中)《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鱉臑,如图,在鱉臑中,平面,,且,则二面角的大小是
A.B.C.D.
课后综合巩固练习
1.(2019•西湖区校级模拟)给出下列命题:
①直线的方向向量为,,,直线的方向向量,1,,则与垂直;
②直线的方向向量,1,,平面的法向量,,,则;
③平面、的法向量分别为,1,,,0,,则;
④平面经过三点,0,,,1,,,2,,向量,,是平面的法向量,则.
其中真命题的是 .(把你认为正确命题的序号都填上)
2.(2020•武侯区校级模拟)如图示,三棱椎的底面是等腰直角三角形,,且,,则点到面的距离等于
A.B.C.D.
3.(2019秋•景德镇期末)如图,在棱长为1的正方体中,为中点,则直线
与平面所成角的正弦值是
A.B.C.D.
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