人教版七年级上册数学知识点总结归纳31044Word格式文档下载.docx
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0℃以及有些题目中的基准,比如以海平面为基准,则0米就表示海平面。
1、2有理数
1.有理数的概念
⑴正整数、0、负整数统称为整数(0与正整数统称为自然数)
⑵正分数与负分数统称为分数
⑶正整数,0,负整数,正分数,负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数。
理解:
只有能化成分数的数才就是有理数。
①π就是无限不循环小数,不能写成分数形式,不就是有理数。
②有限小数与无限循环小数都可化成分数,都就是有理数。
3,整数也能化成分数,也就是有理数
引入负数以后,奇数与偶数的范围也扩大了,像-2,-4,-6,-8…也就是偶数,-1,-3,-5…也就是奇数。
2.有理数的分类
⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分
正整数正整数
整数0正有理数
负整数正分数
有理数有理数0(0不能忽视)
正分数负整数
分数负有理数
负分数负分数
总结:
①正整数、0统称为非负整数(也叫自然数)
②负整数、0统称为非正整数
③正有理数、0统称为非负有理数
④负有理数、0统称为非正有理数
3、数轴
⒈数轴的概念
规定了原点,正方向,单位长度的直线叫做数轴。
⑴数轴就是一条向两端无限延伸的直线;
⑵原点、正方向、单位长度就是数轴的三要素,三者缺一不可;
⑶同一数轴上的单位长度要统一;
⑷数轴的三要素都就是根据实际需要规定的。
2、数轴上的点与有理数的关系
⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,正有理数可用原点右边的点表示,负有理数可用原点左边的点表示,0用原点表示。
⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就就是说,有理数与数轴上的点不就是一一对应关系。
(如,数轴上的点π不就是有理数)
3、利用数轴表示两数大小
⑴在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大;
⑵正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数;
⑶两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小。
4、数轴上特殊的最大(小)数
⑴最小的自然数就是0,无最大的自然数;
⑵最小的正整数就是1,无最大的正整数;
⑶最大的负整数就是-1,无最小的负整数
5、a可以表示什么数
⑴a>
0表示a就是正数;
反之,a就是正数,则a>
0;
⑵a<
0表示a就是负数;
反之,a就是负数,则a<
⑶a=0表示a就是0;
反之,a就是0,,则a=0
4、相反数
⒈相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数,其中一个就是另一个的相反数,0的相反数就是0。
⑴相反数就是成对出现的;
⑵相反数只有符号不同,若一个为正,则另一个为负;
⑶0的相反数就是它本身;
相反数为本身的数就是0。
2、相反数的性质与判定
⑴任何数都有相反数,且只有一个;
⑵0的相反数就是0;
⑶互为相反数的两数与为0,与为0的两数互为相反数,即a,b互为相反数,则a+b=0
3、相反数的几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数,就是互为相反数;
互为相反数的两个数,在数轴上的对应点(0除外)在原点两旁,并且与原点的距离相等。
0的相反数对应原点;
原点表示0的相反数。
说明:
在数轴上,表示互为相反数的两个点关于原点对称。
4、相反数的求法
⑴求一个数的相反数,只要在它的前面添上负号“-”即可求得(如:
5的相反数就是-5);
⑵求多个数的与或差的相反数时,要用括号括起来再添“-”,然后化简(如;
5a+b的相反数就是-(5a+b)。
化简得-5a-b);
⑶求前面带“-”的单个数,也应先用括号括起来再添“-”,然后化简(如:
-5的相反数就是-(-5),化简得5)
5、相反数的表示方法
⑴一般地,数a的相反数就是-a,其中a就是任意有理数,可以就是正数、负数或0。
当a>
0时,-a<
0(正数的相反数就是负数)
当a<
0时,-a>
0(负数的相反数就是正数)
当a=0时,-a=0,(0的相反数就是0)
5、绝对值
⒈绝对值的几何定义
一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值,记作|a|。
2、绝对值的代数定义
⑴一个正数的绝对值就是它本身;
⑵一个负数的绝对值就是它的相反数;
⑶0的绝对值就是0、
可用字母表示为:
①如果a>
0,那么|a|=a;
②如果a<
0,那么|a|=-a;
③如果a=0,那么|a|=0。
可归纳为①:
a≥0,<
═>
|a|=a(非负数的绝对值等于本身;
绝对值等于本身的数就是非负数。
)
②a≤0,<
|a|=-a(非正数的绝对值等于其相反数;
绝对值等于其相反数的数就是非正数。
经典考题
如数轴所示,化简下列各数
|a|,|b|,|c|,|a-b|,|a-c|,|b+c|
解:
由题知道,因为a>
0,b<
0,c<
0,a-b>
0,a-c>
0,b+c<
0,
所以|a|=a,|b|=-b,|c|=-c,|a-b|=a-b,|a-c|=a-c,|b+c|=-(b+c)=-b-c
3、绝对值的性质
任何一个有理数的绝对值都就是非负数,也就就是说绝对值具有非负性。
所以,a取任何有理数,都有|a|≥0。
即⑴0的绝对值就是0;
绝对值就是0的数就是0、即:
a=0<
|a|=0;
⑵一个数的绝对值就是非负数,绝对值最小的数就是0、即:
|a|≥0;
⑶任何数的绝对值都不小于原数。
即:
|a|≥a;
⑷绝对值就是相同正数的数有两个,它们互为相反数。
若|x|=a(a>
0),则x=±
a;
⑸互为相反数的两数的绝对值相等。
|-a|=|a|或若a+b=0,则|a|=|b|;
⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。
|a|=|b|,则a=b或a=-b;
⑺若几个数的绝对值的与等于0,则这几个数就同时为0。
即|a|+|b|=0,则a=0且b=0。
(非负数的常用性质:
若几个非负数的与为0,则有且只有这几个非负数同时为0)
已知|a+3|+|2b-2|+|c-1|=0,求a+b+c的值
因为|a+3|≥0,|2b-2|≥0,|c-1|≥0,且|a+3|+|2b-2|+|c-1|=0
所以|a+3|=0,|2b-2|=0,|c-1|=0
即a=-3,b=1,c=1
所以a+b+c=-3+1+1=-1
4、有理数大小的比较
⑴利用数轴比较两个数的大小:
数轴上的两个数相比较,左边的总比右边的小;
⑵利用绝对值比较两个负数的大小:
两个负数比较大小,绝对值大的反而小;
异号两数比较大小,正数大于负数。
5、绝对值的化简
①当a≥0时,|a|=a;
②当a≤0时,|a|=-a
6、已知一个数的绝对值,求这个数
一个数a的绝对值就就是数轴上表示数a的点到原点的距离,一般地,绝对值为同一个正数的有理数有两个,它们互为相反数,绝对值为0的数就是0,没有绝对值为负数的数。
|a|=5,则a=土5
1、3有理数的加减法
1、有理数的加法法则
⑴同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;
⑵绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;
⑶互为相反数的两数相加,与为零;
⑷一个数与零相加,仍得这个数。
2、有理数加法的运算律
⑴加法交换律:
a+b=b+a
⑵加法结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)
在运用运算律时,一定要根据需要灵活运用,以达到化简的目的,通常有下列规律:
①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”;
②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”;
③分母相同的数先相加——“同分母结合法”;
④几个数相加得到整数,先相加——“凑整法”;
⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。
3、加法性质
一个数加正数后的与比原数大;
加负数后的与比原数小;
加0后的与等于原数。
⑴当b>
0时,a+b>
a⑵当b<
0时,a+b<
a⑶当b=0时,a+b=a
4、有理数减法法则
减去一个数,等于加上这个数的相反数。
用字母表示为:
a-b=a+(-b)。
5、有理数加减法统一成加法的意义
在有理数加减法混合运算中,根据有理数减法法则,可以将减法转化成加法后,再按照加法法则进行计算。
在与式里,通常把各个加数的括号与它前面的加号省略不写,写成省略加号的与的形式。
(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5、
与式的读法:
①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的与”
②按运算意义读作“负8减7减6加5”
6、有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧:
Ⅰ、把符号相同的加数相结合(同号结合法)
(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)
原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23)(将减法转换成加法)
=-33+18-15-1+23(省略加号与括号)
=(-33-15-1)+(18+23)(把符号相同的加数相结合)
=-49+41(运用加法法则一进行运算)
=-8(运用加法法则二进行运算)
Ⅱ、把与为整数的加数相结合(凑整法)
(+6、6)+(-5、2)-(-3、8)+(-2、6)-(+4、8)
原式=(+6、6)+(-5、2)+(+3、8)+(-2、6)+(-4、8)(将减法转换成加法)
=6、6-5、2+3、8-2、6-4、8(省略加号与括号)
=(6、6-2、6)+(-5、2-4、8)+3、8(把与为整数的加数相结合)
=4-10+3、8(运用加法法则进行运算)
=7、8-10(把符号相同的加数相结合,并进行运算)
=-2、2(得出结论)
Ⅲ、把分母相同或便于通分的加数相结合(同分母结合法)
--+-+-
原式=(--)+(-+)+(+-)
=-1+0-
=-1
Ⅳ、既有小数又有分数的运算要统一后再结合(先统一后结合)
(+0、125)-(-3)+(-3)-(-10)-(+1、25)
原式=(+)+(+3)+(-3)+(+10)+(-1)
=+3-3+10-1
=(3-1)+(-3)+10
=2-3+10
=-3+13
=10
Ⅴ、把带分数拆分后再结合(先拆分后结合)
-3+10-12+4
原式=(-3+10-12+4)+(-+)+(-)
=-1++
-
Ⅵ、分组结合
2-3-4+5+6-7-8+9…+66-67-68+69
原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+…+(66-67-68+69)
=0
Ⅶ、先拆项后结合
(1+3+5+7…+99)-(2+4+6+8…+100)
1、4有理数的乘除法
1、有理数的乘法法则
法则一:
两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;
(“同号得正,异号得负”专指“两数相乘”的情况,如果因数超过两个,就必须运用法则三)
法则二
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