学年新教材高中数学第2章一元二次函数方程和不等式21等式性质与不等式性质教学案新人教A版必修第.docx
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学年新教材高中数学第2章一元二次函数方程和不等式21等式性质与不等式性质教学案新人教A版必修第.docx
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学年新教材高中数学第2章一元二次函数方程和不等式21等式性质与不等式性质教学案新人教A版必修第
2.1等式性质与不等式性质
(教师独具内容)
课程标准:
1.梳理等式的性质,理解不等式的概念,掌握不等式的性质,能运用不等式的性质比较大小.2.能运用不等式的性质证明不等式和解决简单的实际问题.
教学重点:
1.不等式的性质.2.用不等式的性质证明不等式.
教学难点:
用作差法比较代数式的大小.
【知识导学】
知识点一 等式的性质
(1)如果a=b,那么a+c=b+c.
(2)如果a=b,那么ac=bc或=(c≠0).
(3)如果a=b,b=c,那么a=c.
知识点二 作差比较法
(1)理论依据:
a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔a (2)方法步骤: ①作差;②整理;③判断符号;④下结论. 知识点三 两个实数大小的比较 (1)a>b⇔a-b>0; (2)a=b⇔a-b=0; (3)a 知识点四 不等式的性质 (1)如果a>b,那么bb,即a>b⇔b (2)如果a>b,且b>c,那么a>c,即a>b,b>c⇒a>c. (3)如果a>b,那么a+c>b+c. (4)如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac (5)如果a>b,c>d,那么a+c>b+d. (6)如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd; 如果a>b>0,c (7)如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n≥2). (8)如果a>b>0,那么>(n∈N,n≥2). 【新知拓展】 1.关于不等式性质的理解 两个同向不等式可以相加,但不可以相减,如a>b,c>d不能推出a-c>b-d. 2.常用的结论 (1)a>b,ab>0⇒<; (2)b<0; (3)a>b>0,c>d>0⇒>; (4)若a>b>0,m>0,则>;<(b-m>0);<;>(b-m>0). 3.比较大小的方法 比较数(式)的大小常用作差与0比较. 作差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形,前者将“差”化为“积”,后者将“差”化为一个完全平方式或几个完全平方式的“和”,也可二者并用. 4.利用不等式求范围应注意的问题 求指定代数式的取值范围,必须依据不等式的性质进行求解,同向不等式具有可加性与可乘性,但是不能相减或相除,解题时必须利用性质,步步有据,避免改变代数式的取值范围. 1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若x2=0,则x≥0.( ) (2)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a (3)若a>b,则ac2>bc2.( ) (4)若a>b>0,则>.( ) (5)若x>1,则x3+2x与x2+2的大小关系为x3+2x>x2+2.( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√ 2.做一做 (1)已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是( ) A.a>b>-b>-aB.a>-b>-a>b C.a>-b>b>-aD.a>b>-a>-b (2)设b A.a-c>b-dB.ac>bd C.a+c>b+dD.a+d>b+c (3)已知x<1,则x2+2与3x的大小关系是________. 答案 (1)C (2)C (3)x2+2>3x 题型一作差法比较大小 例1 比较下列各组中两数的大小: (1)已知a,b为正数,且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2; (2)已知x<1,比较x3-1与2x2-2x; (3)已知x,y均为正数,设m=+,n=,比较m与n的大小. [解] (1)(a3+b3)-(a2b+ab2) =a3+b3-a2b-ab2 =a2(a-b)-b2(a-b) =(a-b)(a2-b2) =(a-b)2(a+b). ∵a>0,b>0且a≠b,∴(a-b)2>0,a+b>0, ∴(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,即a3+b3>a2b+ab2. (2)x3-1-(2x2-2x)=x3-2x2+2x-1 =(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2 =(x-1)(x2-x+1)=(x-1). ∵x<1,∴x-1<0.又2+>0, ∴(x-1)<0,∴x3-1<2x2-2x. (3)∵m-n=+-=-==. 又x,y均为正数, ∴x>0,y>0,xy>0,x+y>0,(x-y)2≥0. ∴m-n≥0,即m≥n(当x=y时,等号成立). [变式探究] 若将本例 (2)中“x<1”改为“x∈R”,则x3-1与2x2-2x的大小又如何呢? 解 由例题知x3-1-(2x2-2x)=(x-1),∵2+>0, ∴当x-1<0,即x<1时,x3-1<2x2-2x; 当x-1=0,即x=1时,x3-1=2x2-2x; 当x-1>0,即x>1时,x3-1>2x2-2x. 金版点睛 作差比较法的四个步骤 (1)比较x3+6x与x2+6的大小; (2)已知a,b∈R,x=a3-b,y=a2b-a,试比较x与y的大小. 解 (1)(x3+6x)-(x2+6)=x(x2+6)-(x2+6)=(x-1)(x2+6). ∵x2+6>0, ∴当x>1时,x3+6x>x2+6; 当x=1时,x3+6x=x2+6; 当x<1时,x3+6x (2)x-y=a3-b-a2b+a=a2(a-b)+a-b =(a-b)(a2+1). 当a>b时,x-y>0,所以x>y; 当a=b时,x-y=0,所以x=y; 当a<b时,x-y<0,所以x<y. 题型二不等式的性质及应用 例2 下列命题正确的是________. ①<且c>0⇒a>b; ②a>b且c>d⇒ac>bd; ③a>b>0且c>d>0⇒>; ④>⇒a>b. [解析] ①⇒<;当a<0,b>0时,满足已知条件,但推不出a>b,∴①错误. ②当a=3,b=1,c=-2,d=-3时,命题显然不成立.∴②错误. ③⇒>>0⇒>成立.∴③正确. ④显然c2>0,∴两边同乘以c2得a>b.∴④正确. [答案] ③④ 金版点睛 解决这类问题,主要是根据不等式的性质判定,其实质是看是否满足性质所需的条件,若要判断一个命题是假命题,可以从条件入手,推出与结论相反的结论,也可举出一个反例予以否定. (1)判断下列命题是否正确,并说明理由: ①若>,则ad>bc; ②设a,b为正实数,若a- (2)若a ①<;②>. 解 (1)①由>,所以->0, 即>0,所以或 即ad>bc且cd>0或ad ②因为a-0,b>0,所以a2b-b (2)①成立.由a 所以<. ②成立.因为a 所以>. 题型三利用不等式的性质证明不等式 例3 (1)已知a>b,e>f,c>0,求证: f-ac (2)已知a>b>0,c <; (3)已知bc-ad≥0,bd>0.求证: ≤. [证明] (1)∵a>b,c>0,∴ac>bc. ∴-ac<-bc. ∵f (2)∵c 又a>b>0,∴a-c>b-d>0. ∴0<<.再由0 (3)∵bc-ad≥0,∴ad≤bc,又∵bd>0, ∴≤.∴+1≤+1.∴≤. 金版点睛 利用不等式的性质证明不等式的实质与技巧 (1)实质: 就是根据不等式的性质把不等式进行变形,要注意不等式的性质成立的条件. (2)技巧: 若不能直接由不等式的性质得到,可先分析需要证明的不等式的结构.然后利用不等式的性质进行逆推,寻找使其成立的充分条件. (1)已知c>a>b>0,求证: >; (2)已知a,b,x,y都是正数,且>,x>y,求证: >. 证明 (1)∵a>b,∴-a<-b,又c>a>b>0,∴0 ∴>>0.又∵a>b>0,∴>. (2)∵a,b,x,y都是正数,且>,x>y,∴>,故<,则+1<+1,即<. ∴>. 题型四利用不等式的性质求取值范围 例4 (1)已知2 (2)已知-≤α<β≤,求,的取值范围. [解] (1)∵3≤b<10,∴-10<-b≤-3. 又2 又<≤,∴<≤. (2)∵-≤α<β≤, ∴-≤<,-<≤. 两式相加得-<<. ∵-≤<,-<≤,-≤-<, 两式相加得-≤<. 又α<β,∴<0,∴-≤<0. [变式探究] 将本例 (1)中,条件不变,求a+b,ab的取值范围. 解 由2
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