流函数与势函数docxWord格式.docx
- 文档编号:14079783
- 上传时间:2022-10-18
- 格式:DOCX
- 页数:9
- 大小:172.18KB
流函数与势函数docxWord格式.docx
《流函数与势函数docxWord格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《流函数与势函数docxWord格式.docx(9页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
每条流线对应一个常数值,所以称函数屮为流函数。
对于不可压缩流体的平面流动,用极坐标表示的连续方程、流函数的微分和速度分量分别为:
dy/
流函数具有明确的物固愿契:
平面流动中两条流线间单位厚度通过的体积流量等于两条流线上的流函数常数之差。
在流函数屮的定义中,为保证流函数变化值(1屮与流量增量值dq、同号,规定绕B点逆时针方向穿过曲线AB的流量为正,反之为负,这里的流量4,.是指通过z方向为单位高度的柱面的体积流量。
通过A点的流线的流函数值屮1,通过B点的流线的流函数值屮2,则通过AB柱面的体积流量为
¥
rw辛
qv=\V-dZ=J\ucos(n7x)+vcos(再y)](S
AA
["
字+v(-务问二j(T-vdx)
A
B
\(1屮=屮2_屮\
屮】
在引出流函数这个概念时,既没有涉及流体是粘性的还是非粘性的,也没有涉及流体是有旋的还是无旋的。
所以,无论是理想流体还是粘性流体,无论是有旋流动还是无旋流动,只要是不可压缩流体的平面流动,就存在流函数,
dvdu.
—=0
对于xoy平面内的无旋流动,有COZ=0,即:
去Oy
口2才屮d2i//门
VV=—r+—r=0
也可得dx创
即不可压缩流体的平面无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程,也是调和函数。
对于极坐标系,该满足拉普拉斯方程为
d2u/1du/1d2u/c
+--+——^=0
dr2rdrr2d02
二、速度势函数
对于无粘性(理想)流体的无旋流动而言,由斯托克斯定理可知,
沿流场中任意封闭周线的速度线积分,即速度环量均为零。
对于无旋流
r=o
动,该封闭周线所包围的速度环量为零,有AL\BL2A
即•念二J必•念+J=o
AL^BI^AAL^BBL^A
Jv=Jv•ds
AL^BAL2B
对于理想流体无旋流动,从参考点A到另一点B的速度线积分与点A至点B的路径无关,上式中ds表示连接点A与点B的任意微元曲线。
也就是说,速度线积分仅仅取决于B点相对于A点的位置,具有单值势函数的特征。
由无旋流动的充要条件可知©
=®
=2=°
上式是皿+咧+w力成为某-函数0(兀yz,『)的全微分的必要且充分条件。
函数0(x,y,z,°
成为速度势函数,简称速度势。
当以t作为参变量时,即流体作定常流动吋,速度势函数的全微分可写
=udx+vdy+wdz
u輕
4
于是可以得到dx
dz
写成矢
量
形式
上式说明了速度势函数的一个昌兮坚圃:
速度在笛卡尔直角坐标系屮三个坐标轴X、y、7方向上的分量等于速度势函数关于相应坐标的偏导数。
d(p_d(jpdxd(pdydcpdzdsdxcisdydsdzds
流场中有速度势(P存在,它关于方向S的偏导数为:
dxdydz=U—+V—+W—dsdsds
=Vcos(K,x)—+cos(K,j)—+cos(K,z)—dsdsds
=K[cos(K?
x)cos(昂x)+cos(E,y)cos($』)+cos(K,z)cos(j,z)]
=7cos/s)=K
上式中cos(r,x)COS0』)cos(r,z)和cos(j,x)cos(j,j)
CO心Z)分别表示速度矢量卢和方向矢量"
对于X、y、Z轴的方向
余弦。
在圆柱坐标系下,径向速度卩厂、切向速度"
°
、轴向速度Vz分别为:
dq>
速度势函数仅仅是一个数学上的概念,没有所对应的物理意义。
在是常流动中速度势与时间无关,仅是空间位置的函数。
当不可压缩流体或可压缩流体作无旋流动时,总有速度势存在,这种流动乂被称为有势流动,即无旋流动等同于有势流动。
在有势流动中,沿曲线AB的切向速度线积分等于终点B与起点A的速
度势之差。
沿任一曲线AB切向速度的线积分「力$可写成
在有势流动中,沿任一封闭周线(A、B点重合)的速度环量为:
如果速度势是单值的和连续的,则沿任一封闭周线的速度环量等于零。
对于不可压缩流体,有%/引二°
有
上式中5x2夕&
2为拉普拉斯算子。
当不可压缩流体作有势流动时,速度势满足拉普拉斯方程。
满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数。
由于拉普拉斯方程7串二“是线性齐次方程,该方程的不同解的叠加后仍然是该方程的解。
设4和卩2是调和函数,则'
I%+勺®
(其中5和C2为任意常数)也是调和函数。
因此,简单的调和函数可以叠加成复杂的调和函数,这为简单无旋流动的叠加提供理论基础。
对于圆柱坐标系,拉普拉斯方程变为
吩护署右甥+黔。
应当指出的是,速度势函数满足拉普拉斯方程的前提条件是不可压缩流体的无旋流动,而并未限制流动是定常或非定常,速度势函数(P也可以是时间的函数。
三、流网
对于不可压缩流体的平面无旋流动(即有势流动),必然同时存在速度势函数(P和流函数屮。
根据它们与速度分量U、V的关系,可以得到(p和屮之间的重要关系式:
dydx
上式称为柯西-黎曼条件。
K1
=
:
c;
c.
流函数线屮二C1,屮=X2…等,构成一簇流线,它们和等势线q)=K】,(p=K2…等构成一张描述平面流动特征的网,称为流网。
流线和等势线"
籤的交点为M。
在等势线"
瓦上,
妇諛+辭"
僚L
由此可得等势线的斜率为
如=陂亦也dy=
有氐®
由此可得流线的斜率为
可得到等势线和流线线簇的斜率的乘积
e(pdy/
_OX_n
■zz—I
dipdydy
氐可知,流场中速度越大,则对应的流线之间及
dn及
可见,在流线与等势线在其交点处相互止交。
习惯上,采用相等的流函数增量来画流线,用相等的速度势函数增量人卩来画等势线,
等势线之间的距离越小,因此,流网可以比较直观地描绘出流动的特征。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 函数 docx