川大版高数第三册答案.doc
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第一章行列式
1.
3证明:
.因为:
对换改变排列的奇偶性,即一次变换后,奇排列改变为偶排列,偶排列改变为奇排列当n2时,将所有偶排列变为奇排列,将所有奇排列变为偶排列因为两个数列依然相等,即所有的情况不变。
偶排列与奇排列各占一半。
4
(1)不是行列式的项是行列式的项因为它的列排排列逆序列=(4321)=3+2+0+0=5为奇数,应带负号
(2)不是行列式的项=因为它的列排排列逆序列(34512)=2+2+2+0+0=6为偶数应带正号。
5解:
利用为正负数来做,一共六项,为正,则带正号,为负则带负号来做。
6解:
(1)因为它是左下三角形
===
(2)
=+==0
(3)==32
(4)==
7.证明:
将行列式转化为若零元多于个时,行列式可变为故可知行列式为0.
8.
(1)5=55
习题一
13
(1)
根据“定义法”
(2)
根据“降阶法”
(3)
注:
根据范达蒙行列式原式=
-1 =
(4)
==
14
(1)证明:
(2)证明:
(3)
(4)“递推法”
15.
(1)=+
=(ab+1)(cd+1)-[a(-d)]=(ab+1)(cd+1)+ad
(2)==(4-6)(-1-15)=32
(3)=++
=-a(c-d)-a(d-b)-a(d-c)
=abd
=abd(c-b)(d-b)(c-d)
(4)==
=(
==
16.范达行列式V()==
(1)因为为常数。
所以p(x)是n-1次的多项式
(2)令p(x)=0.得x=.x=......即p(x)的根为
第二章矩阵代数
4.计算下列矩阵乘积
(1)==
(2)==
(3).(1,-1,2)=(1*2+(-1)*1+2*4,1*1+(-1)*1+2*2,1*0+(-1)*3+2*1=
(9,4,1)
(4)(x,y,1)
=(x,y,1)
=
(5)
=
=
5.设A=,B=,求
==
==
==
==
==
6.
(1)A=
n=1时A=
n=2时=
=
n=3时=A=
=
假设
(1当n=1时,=
(2假设当n2时(n为自然数)成立,令n=k,则=成立;
当n=k+1时
=A=
=
=成立
综上当n微自然数时
当n=1时,
当n=2时,
当n=3时,
假设=
当n=1时=
假设n=k+1时
=
=成立
综上当n为自然数时,
当A=2时
n=3时
n=4时
n=5时
假设n时成立
当n=3时
假设n=k时成立
当n=k+1时
=
整理得
成立
所以
综上=
7、已知B=
证明{E,当n为偶数;
B,当n为奇数
证明:
∵
∴
∴={E,当n为偶数;
B,当n为奇数
8、证明两个n阶上三角形矩阵的乘积仍为一个上三角形矩阵。
证明:
设两个n阶上三角形矩阵为A,B,
且A=
B=
根据矩阵乘法,有
AB=
则可知AB为上三角形矩阵
同理,可得BA也为上三角形矩阵。
9、若AB=BA,AC=CA,证明:
A、B、C为同阶矩阵,且A(B+C)=(B+C)A,A(BC)=BCA.
证:
设A=,B=,C=
由题知AB、BA有意义,则可知必有m=s,又由于AB=BA,且AB为m×n阶矩阵,则可知m=n,所以A、B均为n阶矩阵。
同理可知A、C均为n阶矩阵,故可得A、B、C为同阶矩阵
②
③
10、已知n阶矩阵A和B满足等式AB=BA,证明:
(1)
(2)
(3)
11、
12、证明
13、
14、
15、
当n=1时,
当n=2时,
当n=3时,
假设=
当n=1时=
假设n=k+1时
=
=成立
综上当n为自然数时,
当A=2时
n=3时
n=4时
n=5时
假设n时成立
当n=3时
假设n=k时成立
当n=k+1时
=
整理得
成立
所以
综上=
16、
(1)
解:
设
由①②③④得:
得
(2)设
由①②③④,得:
得:
(3)设
由方程组,得:
得
(4)设
得
得:
(5)
设
得
得
19、
(1)
解:
方程组的解为:
(2)
方程组的解为:
(3)
方程组的解为:
(4)
有且仅有或时,无意义;则其他情况
方程组的解为:
(4)
(5)
由
得
(6)
24.证:
A为对称矩阵
A=A’
AA=AA’=E
AA’(A’)=E(A’)
A=(A’)
A为可逆对称矩阵
(A’)=(A)’
A=(A)’
可逆对称矩阵的逆矩阵也是对称矩阵。
25.证:
(1)(A)’=(AA)’=A’A’
A为n阶对称矩阵
A’=A
(A)’=A
A为对称矩阵
(B)’=(BB)’=B’B’
B是n阶反对称矩阵
B’=-B
(B)’=(BB)’=B’B’
B是n阶反对称矩阵
B’=-B
(B)’=(-B)(-B)=B
B是对称矩阵
(AB-BA)’
=(AB)’-(BA)’
=B’A’-A’B’
=-BA-A(-B)
=AB-BA
AB-BA为对称矩阵。
(2)必要性:
AB为反对称矩阵
(AB)’=-AB
又(AB)’=B’A’=-BA
AB=BA
充分性:
AB=BA
(AB)’=B’A’=-BA
AB为反对称矩阵
综上所述:
AB是反对称矩阵的充分必要条件是AB=BA。
26.解:
设矩阵X为x=
则=
Ax=o
=0
即=0
对任意n1矩阵都成立
A=0
27.证:
:
A为正交矩阵
=A
A===
又正交矩阵为可逆矩阵
A=A
:
A===A
=
=
=
=A
28.解:
=
=
时
依次用V左乘和用U右乘消去
得从而得证
29.解:
(1)判断X可逆即:
因A、C可逆,
则即
则X可逆。
(2)设则
由
=
=E
30.证明:
31.解:
(1)
原式=
(2)
(3)
第三章线性方程组
1.证:
假设线性相关,
则不会为0,使得
整理得:
又由,故
由于
故由克莱默法则知:
故结论正确。
2.解:
得:
3、不一定。
原式:
故仅可得到线性无关
将每个向量任意拆分得到的新向量显然不一定仍然线性相关
例如向量成比例或含有零向量
例:
或任一一个为零向量
4、不正确使两等式成立的两组系数一般来说是不相等的,所以不可以做那样的公式提取
即
5、提示:
含有零向量就一定线性相关
极大线性相关组中每一向量都无法用其他组中向量给出,因此可用一极大线性无关组加零向量构成向量组
6.证:
假设线性相关,
由题意知,必存在一组使得
7.证:
设
由于
6、证明:
假设线性相关,则,线性相关(部分相关则全体相关)
所以存在m+1个不完全为0的数满足
本来线性相关,故可为0,可不为0
(1)则无法用线性表出
(2)
而线性相关,根据定义,至少有一个向量可用其他m-1个向量表出,我们不妨设
则
这样得到了的另一种表出式,即表出不唯一
综上,假设成立条件下得到的结论与“可用唯一表出”矛盾
故假设不成立,线性无关
7、将A表示为,B表示为
若线性无关,则必有
同理可证A
P117T8
解:
(1)
由此r=3
解:
(2)
由此r=2
解:
(3)
由此r=3
解:
(4)
由此r=2
解:
(5)
由此r=3
解:
(6)
由此r=5
T9解
(1):
设向量组线性相关,则
由,得:
-
由,得:
=,=
代入式,得:
线性无关
由此r=4
10
(1)证:
由线性相关
则必有一组不全为0的数
使得
既有:
从中
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