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。
二、极限
1.数列的极限:
(确定常数)
注:
若数列存在极限,称其收敛;
否则称之为发散。
2.函数的极限:
1)同时成立;
等函数当时的极限要分别考虑
2)
用于求分段函数在分段点处的极限
3.极限性质:
惟一性,有界性,保号性
极限存在准则:
单调有界,夹逼定理
4.无穷小与无穷大
1)无穷小:
以零为极限的量称为无穷小量,即
无穷大:
(此时极限不存在);
2)无穷大与无穷小的关系:
在自变量的同一变化过程中,
①若是无穷小且,则是无穷大;
②若是无穷大,则是无穷小。
3)无穷小的运算性质:
①有限个无穷小之和、积仍为无穷小;
②有界函数与无穷小之积为无穷小。
4)无穷小的比较:
设(即:
为无穷小)
①若,称是的高阶无穷小,记作;
②若,(),称与是同阶无穷小;
③若,称与是等价无穷小,记为
5)常用的等价无穷小
当时,,
.
推广:
当时,有
6)等价无穷小应用:
利用等价无穷小代换求极限
设且存在,则。
1)只在乘除因子中用,加减运算时不适用,例:
不能直接代换。
2)洛必达法则只是极限存在的充分条件而非必要的。
5.两个重要极限
1)
①当时,
这里将换成结论仍成立
②当时,,及中任意两个商的极限为1。
2)或
①当时,(为常数)
②当时,(为常数)
6.洛必达法则:
若,在邻域内可导,且
则:
使用法则时注意:
①只有才能使用,只要是可多次使用;
②每用完一次,要将式子整理化简后再用法则;
③为简便运算,往往先对等式恒等变形或用等价无穷小代换后再用法则。
7.与极限有关的典型例题
1)是初等函数,是其定义域内的一点,用代入法:
例
2)有理分式函数的极限
例,
3)无穷小与有界函数之积仍为无穷小
例
4)未定型“”
①因式分解:
约去零因子
②含有根式:
有理化
③洛必达法则:
(存在)
例(先代换,令,再用法则)
例(先代换,令,再用法则)
④重要极限:
例(极限存在部分先计算,能用等价无穷小代换的先代换再用法则)
例(两个重要极限都用到)
5)未定型“”
①有理函数用公式:
(抓大头)
②洛必达法则
例(不能使用洛必达)
③分子分母同除因子:
例
6)未定型
①分式:
通分
②含根式:
有理化
③作代换:
7)未定型:
化为或
例(化为)
例(化为)
8)指数型:
利用对数恒等式化为:
对还可利用重要极限
9)分段函数在分段点的极限:
用左右极限及极限存在的充要条件考虑
例,求
例,求
若的极限式中含有,特别是的,一定分别求出时的极限,两者相等,则极限存在,否则不存在。
10)数列无限项和的极限:
利用极限存在准则(夹逼定理)
11)数列敛散性的判定和证明
例设,试证数列极限存在,并求此极限。
12)积分上限函数的极限:
用洛必达法则
13)某些特定的极限:
用导数的定义求
例设,求
14)已知极限,求常数
例设,求常数。
15)已知一个极限,求另一个极限
例设,求
16)无穷小阶的比较
例时,,求
三、连续
1.定义:
在点连续
2.在处连续的充要条件:
适用于判断分段函数在分段点的连续性
3.基本初等函数在定义域内连续;
一切初等函数在其定义域内连续函数。
4.函数的间断点(在点不连续):
函数在没有定义,或,或不存在;
6.间断点的分类:
1)第一类间断点:
左右极限存在但不相等(跳跃间断点)
左右极限存在相等,但函数在该点没定义(可去间断点)
左右极限存在相等,但不等于函数值(可去间断点)
2)第二类间断点:
左右极限中至少有一个不存在。
7.闭区间上连续函数的性质(用于证明题中)
1)有界性:
闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得最大值与最小值。
2)零点定理:
设函数在闭区间上连续,且,那么在内至少存在一点,使。
3)介值定理:
设函数在闭区间上连续,且在这区间的端点,
那么对于之间的任意一个数,在开区间内至少有一点,使得
8.典型例题
1)讨论函数的连续性
例讨论的连续性。
解:
,的连续区间
2)设,求的间断点并判别其类型。
,所以为间断点;
且,所以是第二类间断点。
9.有关闭区间上连续函数的证明题
命题证明有两种方法:
1)直接法:
其程序是先用最值定理,再用介值定理
例设在上连续,且,证明:
在内至少存在一个,使得,其中为任意常数。
证一:
因为在上连续,所以在上有最大值和最小值,则
,由于,于是有
,所以由介值定理,在上至少存在一个,使
,即。
2)间接法:
先构造辅助函数,验证满足零值定理条件,然后由零值定理得出命题。
辅助函数的作法:
1把结论中的(或)改写成;
2移项,使等式右边为零,令左边的式子为,此即为所求的辅助函数。
证二:
令,由题设可知在上连续,
因为,,所以当时,
又,有,所以由零点定理可知,至少存在一个,使,即。
例设在上连续,且。
证明:
在上至少存在一个,使得。
复习提纲(导数与微分)
一、导数
1.导数的定义
1)设函数在点的某邻域内有定义,
或(几种等价定义)
求某点处的导数,尤其是分段函数在分段点的导数用第二种等价定义较方便。
2)导函数:
导函数值(导数):
,,
3)若极限不存在,则在点处不可导。
2.单侧导数
1)或;
或;
2)函数在点处可导的充要条件是
常用来判别分段函数在一点的可导性
3.导数的几何意义、物理意义与经济意义
1)几何意义:
在点处切线的斜率:
过点的切线方程为:
若,法线方程为:
若,则切线:
法线:
2)物理意义:
物体在的瞬时速度:
3)经济意义:
在经济学中称为边际函数。
4.可导与连续的关系
可导连续;
连续未必可导,如函数在点连续但不可导。
5.函数的求导法则
显函数直接求,隐函数两边求,抽象函数复合求,复合函数逐层求,参数方程分别求,一点处导数定义,幂指函数乘除因子对数求,高阶导数逐阶求。
二、微分
1.微分的概念
1)定义设函数在点的某一邻域内有定义,且也属于该邻域。
如果函
数的增量,其中是与无关的常数,是无穷小量,为较高阶的无穷小量,则称函数在点处可微分,并称为函数在点处的微分。
记为或。
2)在点处可微分函数在点可导,此时。
3)微分的几何意义:
函数在点处的微分,在几何上表示当自变量有改变量时,曲线在点沿切线的纵坐标的改变量。
2.微分的运算
1)微分的基本运算公式:
2)一阶微分形式的不变性:
无论是自变量还是中间变量,都有总成立。
3)在点处连续、有极限以及可微、可导之间的关系:
可微可导连续有极限
3.微分在近似计算中的应用
1)设在点处可导,则当很小时,有
2)常用的近似公式:
当很小时,有
,,,
三、导数与微分典型运算
1.与导数定义有关的命题
步骤:
1)写出导数定义式;
2)再凑成要求的定义式
例设存在,求
例设在连续,且,求
例设对任间有,且,证明当时,有
例设在内有定义,对任意,恒有,当时,,试判断在处是否存在?
2.求各类一元函数的导数
1)复合函数
步骤:
①分解函数
②若,则
若,则
③再将中间变量回代
例,设,求
2)隐函数:
①写明等式两边同时对求导,
②对含有的函数要先对求导再乘上(要记住是的复合函数)
③解出的表达式。
例确定,求
3)参数方程导数
①先分别求出
②写出公式
③若要求二阶的话,先进行整理
例设求
4)对数求导法
①等式两边同时取对数
②等式两边同时对求导(即利用隐函数求导方法),左边是
③整理,将代入。
例,求
例设确定是的函数,求
若一函数不能直接用法则或上述方式求得,则将其分成几个函数分别求,然后再用法则
例求:
()
5)求高阶导数
①先求出一阶,并整理;
②再求二阶,三阶等。
(每做一次,先整理后再求更高阶)
常用高阶导数公式
①
②,
③,
6)求导数值
①求出导函数
②再将代入
例,求及(注:
本题点导数要用定义求)
7)求切法线方程
①写出切点
②求出,得或(此为参数方程)
③写出切、法线方程公式,再代入
例求在点处的切法线方程。
例曲线的切线与轴和轴围成一个图形,记切点的横坐标为,试求切线方程和平面图形的面积,当切点沿曲线趋于无穷远时,该面积的变化趋势如何?
例已知是周期为的连续函数,它在的某邻域内满足关系式
,其中是当时比高阶的无穷小,且在处可导,求曲线在点处的切线方程。
()
例设曲线在点处的切线与轴交点坐标为,求
8)求微分
①先求出;
②
例设函数由方程确定,求
9)微分的近似计算
①将化成(为一较小的数),再设
②求出,进而求出
③写出近似公式
④将代入进行计算
例计算
10)分段函数在分段点的连续与可导性
①改写函数,写出其在分段点处函数值
②连续性:
验证,成立则连续;
③可导性:
验证,成立则可导。
例,讨论在处连续与可导性
例设,试确定的值,使函数在点连续可导。
例设,其中在点处连续,证明当时在
处可导.(利用函数在点处可导的充要条件)
11)积分上限函数的导数
例设为连续函数,且,求
例设为连续函数,求
例设为连续函数,求,求
四、导数的应用
1.函数的单调性
1)如果函数在区间内可导且,则在内是严格单调增加;
2)如果函数在区间内可导且,则在内是严格单调减少。
3)利用导数求函数单调区间步骤:
①写出函数的定义域
②求出
③求出或不存在的点,这些点将定义域分成若干小区间
④列表讨论在小区间上的符号正负,得到函数的单调区间。
2.函数的极值
函数在点的邻域内有定义
1),有,则为一个极大值,是一个极大值点;
2),有,则为一个极小值,是一个极小值点;
①极值是考虑函数在局部范围内取值情况;
②使函数取得极值的点称为函数的极值点。
3)极值存在的必要条件:
设函数在处可导且在处取得极值,则。
4)极值存在的第一充分条件:
设函数
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