初三二次函数动点问题教师版Word文件下载.docx
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(3)当t为何值时,以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似?
4、如图1,已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E,顶点M的坐标为(2,4);
矩形ABCD的顶点A与点O重合,AD、AB分别在x轴、y轴上,且AD=2,AB=3.
(1)求该抛物线的函数关系式;
(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动,设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图2所示).①当t=
时,判断点P是否在直线ME上,并说明理由;
②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S,试问S是否存在最大值?
若存在,求出这个最大值;
若不存在,请说明理由.
5.已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点B(12,0)和C(0,-6),对称轴为x=2.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点D在线段AB上且AD=AC,若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动,同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动,问是否存在某一时刻,使线段PQ被直线CD垂直平分?
若存在,请求出此时的时间t(秒)和点Q的运动速度;
(3)在
(2)的结论下,直线x=1上是否存在点M使,△MPQ为等腰三角形?
若存在,请求出所有点M的坐标,若不存在,请说明理由.
6、如图,二次函数y=x2axb的图像与x轴交于A(
,0)、B(2,0)两点,且与y轴交于点C;
(1)求该拋物线的解析式,并判断△ABC的形状;
(2)在x轴上方的拋物线上有一点D,且以A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形,请直接写出D点的坐标;
(3)在此拋物线上是否存在点P,使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形?
若存在,求出P点的坐标;
若不存在,说明理由。
7.如图,抛物线y=ax2+bx+c经过原点O,与x轴交于另一点N,直线y=kx+4与两坐标轴分别交于A、D两点,与抛物线交于点B(1,m)、C(
2,2).
(1)求直线与抛物线的解析式.
(2)若抛物线在x轴上方的部分有一动点P(x,y),设∠PON=
,求当△PON的面积最大时tan
的值.
(3)若动点P
保持
(2)中的运动线路,问是否存在点P,使得△POA的面积等于△PON的面积的
?
若存在,请求出点P的坐标;
答案:
1、
2、解
(1)∵抛物线
的对称轴是直线
∴由对称性可得A点的坐标为(-6,0)
(2)∵点C(0,8)在抛物线
的图象上
将A(-6,0)、B(2,0)代入表达式得
解得
∴所求解析式为
[也可用
代入C(0,8)求出
]
(3)依题意,AE=m,则BE=8-m∵OA=6,OC=8,∴AC=10∵EF//AC
∴
≌
过点F作FG⊥AB,垂足为G,则
(4)存在.理由如下:
∴当m=4时,S有最大值,S最大值=8
∵m=4∴点E的坐标为(——-2,0)
为等腰三角形
3、解:
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴OC=AB=4.∴A(4,2),B(0,2),C(-4,0).∵抛物线y=ax2+bx+c过点B,∴c=2.
由题意,有
∴所求抛物线的解析式为
.
(2)将抛物线的解析式配方,得
.∴抛物线的对称轴为x=2.∴D(8,0),E(2,2),F(2,0).
欲使四边形POQE为等腰梯形,则有OP=QE.即BP=FQ.∴t=6-3t,即t=
(3)欲使以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似,
∵∠PBO=∠BOQ=90°
,∴有
或
,即PB=OQ或OB2=PB·
QO.
①若P、Q在y轴的同侧.当PB=OQ时,t=8-3t,∴t=2.当OB2=PB·
QO时,t(8-3t)=4,即3t2-8t+4=0.解得
②若P、Q在y轴的异侧.当PB=OQ时,3t-8=t,∴t=4.当OB2=PB·
QO时,t(3t-8)=4,即3t2-8t-4=0.解得
.∵t=
<
0.故舍去,∴t=
.∴当t=2或t=
或t=4或t=
秒时,以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似.
4、解:
(1)
(2)①点P不在直线ME上②依题意可知:
P(
),N(
,
)
当
时,以P、N、C、D为顶点的多边形是四边形PNCD,依题意可得:
=
+
∵抛物线的开口方向:
向下,∴当
,且
时,
时,点P、N都重合,此时以P、N、C、D为顶点的多边形是三角形.依题意可得,
=3综上所述,以P、N、C、D为顶点的多边形面积S存在最大值21/4.
5、解:
(1)方法一:
∵抛物线过点C(0,-6)∴c=-6,即y=ax2
+bx-6
由
解得:
∴该抛物线的解析式为
方法二:
∵A、B关于x=2对称∴A(-8,0)设
C在抛物线上,∴-6=a×
8×
,即a=1/16
∴该抛物线解析式为:
(2)存在,设直线CD垂直平分PQ,在Rt△AOC中,AC=
=10=AD∴点D在抛物线的对称轴上,连结DQ,如图:
显然∠PDC=∠QDC,由已知∠PDC=∠ACD∴∠QDC=∠ACD,∴DQ∥AC
DB=AB-AD=20-10=10∴DQ为△ABC的中位线
∴DQ=
AC=5AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5
∴t=5÷
1=5(秒)∴存在t=5(秒)时,线段PQ被直线CD垂直平分
在Rt△BOC中,BC=
=
∴CQ=
∴点Q的运动速度为每秒
单位长度.
(3)存在.如下图,过点Q作QH⊥x轴于H,则QH=3,PH=9在Rt△PQH中,PQ=
1MP=MQ,即M为顶点,设直线CD的直线方程为y=kx+b(k≠0),则:
,解得:
∴y=3x-6当x=1时,y=-3
∴M1(1,-3)
②当PQ为等腰△MPQ的腰时,且P为顶点,设直线x=1上存在点M(1,y),由勾股定理得:
42+y2=90,即y=±
∴M2(1,
);
M3(1,-
2PQ为等腰△MPQ的腰时,且Q为顶点.过点Q作QE⊥y轴于E,交直线x=1于F,则F(1,-3)设直线x=1存在点M(1,y)由勾股定理得:
,即y=-3±
∴M4(1,-3+
M5(1,-3-
综上所述,存在这样的五个点:
M1(1,-3);
M2(1,
M4(1,-3+
6、
(1)根据题意,将A(
,0),B(2,0)代入y=x2axb中,得
,解这个方程,得a=
,b=1,∴该拋物线的解析式为y=x2
x1,当x=0时,y=1,∴点C的坐标为(0,1)。
∴在△AOC中,AC=
在△BOC中,BC=
AB=OAOB=
2=
,∵AC2BC2=
5=
=AB2,∴△ABC是直角三角形。
(2)点D的坐标为(
,1)。
(3)存在。
由
(1)知,ACBC。
若以BC为底边,则BC//AP,如图1所示,可求得直线BC的解析式为y=
x1,直线AP可以看作是由直线BC平移得到的,所以设直线AP的解析式为y=
xb,把点A(
,0)代入直线AP的解析式,求得b=
,∴直线AP的解析式为y=
x
∵点P既在拋物线上,又在直线AP上,∴点P的纵坐标相等,即x2
x1=
,解得x1=
,x2=
(舍去)。
当x=
时,y=
∴点P(
)。
若以AC为底边,则BP//AC,如图2所示。
可求得直线AC的解析式为y=2x1。
直线BP可以看作是由直线AC平移得到的,所以设直线BP的解析式为y=2xb,把点B(2,0)代入直线BP的解析式,求得b=4,
∴直线BP的解析式为y=2x4。
∵点P既在拋物线上,又在直线BP上,∴点P的纵坐标相等,即x2
x1=2x4,解得x1=
,x2=2(舍去)。
当x=
时,y=9,∴点P的坐标为(
,9)。
综上所述,满足题目条件的点P为(
)或(
7、解:
(1)将点C(2,2)代入直线y=kx+4,可得k=-1所以直线的解析式为y=-x+4当x=1时,y=3,所以B点的坐标为(1,3)
将B、C、O三点的坐标分别代入抛物线y=ax2+bx+c,
可得
,所以所求的抛物线为y=-2x2+5x
(2)因为ON的长是一定值,所以当点P为抛物线的顶点时,△PON的面积最大,又该抛物线的顶点坐标为(
),此时tan∠PON=
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