正弦定理和余弦定理Word文档下载推荐.docx
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A为钝角或直角
图形
关系式
a=bsinA
bsinA<
a<
b
a≥b
a>
解的个数
一解
两解
3.三角形常用面积公式
(1)S=a·
ha(ha表示边a上的高);
(2)S=absinC=acsinB=bcsinA;
(3)S=r(a+b+c)(r为三角形内切圆半径).
概念方法微思考
1.在△ABC中,∠A>
∠B是否可推出sinA>
sinB?
提示 在△ABC中,由∠A>
∠B可推出sinA>
sinB.
2.如图,在△ABC中,有如下结论:
bcosC+ccosB=a.试类比写出另外两个式子.
提示 acosB+bcosA=c;
acosC+ccosA=b.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( ×
)
(2)当b2+c2-a2>
0时,三角形ABC为锐角三角形.( ×
(3)在△ABC中,=.( √ )
(4)在三角形中,已知两边和一角就能求三角形的面积.( √ )
题组二 教材改编
2.在△ABC中,acosA=bcosB,则这个三角形的形状为.
答案 等腰三角形或直角三角形
解析 由正弦定理,得sinAcosA=sinBcosB,
即sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A=π-2B,
即A=B或A+B=,
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.
3.在△ABC中,A=60°
,AC=4,BC=2,则△ABC的面积为.
答案 2
解析 ∵=,∴sinB=1,∴B=90°
,
∴AB=2,∴S△ABC=×
2×
2=2.
题组三 易错自纠
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c<
bcosA,则△ABC为( )
A.钝角三角形B.直角三角形
C.锐角三角形D.等边三角形
答案 A
解析 由已知及正弦定理得sinC<
sinBcosA,
∴sin(A+B)<
∴sinAcosB+cosAsinB<
又sinA>
0,∴cosB<
0,∴B为钝角,
故△ABC为钝角三角形.
5.(2018·
桂林质检)在△ABC中,已知b=40,c=20,C=60°
,则此三角形的解的情况是( )
A.有一解B.有两解
C.无解D.有解但解的个数不确定
答案 C
解析 由正弦定理得=,
∴sinB===>
1.
∴角B不存在,即满足条件的三角形不存在.
6.(2018·
包头模拟)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sinA=5sinB,则C=.
答案
解析 由3sinA=5sinB及正弦定理,得3a=5b.又因为b+c=2a,所以a=b,c=b,
所以cosC===-.
因为C∈(0,π),所以C=.
题型一 利用正弦、余弦定理解三角形
例1(2018·
天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos.
(1)求角B的大小;
(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.
解
(1)在△ABC中,由正弦定理=,
可得bsinA=asinB.
又由bsinA=acos,得asinB=acos,
即sinB=cos,所以tanB=.
又因为B∈(0,π),所以B=.
(2)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,
得b2=a2+c2-2accosB=7,故b=.
由bsinA=acos,可得sinA=.
因为a<
c,所以cosA=.
因此sin2A=2sinAcosA=,
cos2A=2cos2A-1=.
所以sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB
=×
-×
=.
思维升华
(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素.
(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系.
跟踪训练1
(1)(2018·
天津河西区模拟)在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin2B-sin2C-sin2A=sinAsinC,则B的大小为( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
答案 D
解析 因为sin2B-sin2C-sin2A=sinAsinC,
所以b2-c2-a2=ac,
即a2+c2-b2=-ac,
则cosB==-,
又0°
<
B<
180°
,则B=150°
.
(2)如图所示,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=BD,BC=2BD,则sinC的值为.
解析 设AB=a,∵AB=AD,2AB=BD,BC=2BD,∴AD=a,BD=,BC=.在△ABD中,cos∠ADB==,∴sin∠ADB=,∴sin∠BDC=.在△BDC中,=,
∴sinC==.
题型二 和三角形面积有关的问题
例2 (2018·
济南模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bcosA-acosB=2c.
(1)证明:
tanB=-3tanA;
(2)若b2+c2=a2+bc,且△ABC的面积为,求a.
(1)证明 根据正弦定理,由已知得
sinBcosA-cosBsinA=2sinC=2sin(A+B),
展开得sinBcosA-cosBsinA=2(sinBcosA+cosBsinA),
整理得sinBcosA=-3cosBsinA,
所以tanB=-3tanA.
(2)解 由已知得b2+c2-a2=bc,
所以cosA===,
由0<
A<
π,得A=,tanA=,∴tanB=-,
π,得B=,所以C=,a=c,
由S=acsin=×
a2=,得a=2.
思维升华
(1)对于面积公式S=absinC=acsinB=bcsinA,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.
(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
跟踪训练2
(1)(2018·
承德质检)若AB=2,AC=BC,则S△ABC的最大值为( )
A.2B.C.D.3
解析 设BC=x,则AC=x.根据三角形的面积公式,
得S△ABC=·
AB·
BCsinB=x.①
根据余弦定理,得
cosB===.②
将②代入①,得
S△ABC=x=.
由三角形的三边关系,得
解得2-2<
x<
2+2,
故当x=2时,S△ABC取得最大值2,故选A.
(2)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,则△ABC的面积是________.
解析 ∵c2=(a-b)2+6,∴c2=a2+b2-2ab+6.①
∵C=,
∴c2=a2+b2-2abcos=a2+b2-ab.②
由①②得-ab+6=0,即ab=6.
∴S△ABC=absinC=×
6×
题型三 正弦定理、余弦定理的应用
命题点1 判断三角形的形状
例3
(1)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,若a=2bcosC,则此三角形一定是( )
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰三角形或直角三角形
解析 方法一 由余弦定理可得a=2b·
,因此a2=a2+b2-c2,得b2=c2,于是b=c,
从而△ABC为等腰三角形.
方法二 由正弦定理可得sinA=2sinBcosC,
因此sin(B+C)=2sinBcosC,
即sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC,
于是sin(B-C)=0,因此B-C=0,即B=C,
故△ABC为等腰三角形.
(2)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为( )
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.不确定
答案 B
解析 由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,
∴sin(B+C)=sin2A,
即sin(π-A)=sin2A,sinA=sin2A.
∵A∈(0,π),∴sinA>
0,∴sinA=1,
即A=,∴△ABC为直角三角形.
引申探究
1.本例
(2)中,若将条件变为2sinAcosB=sinC,判断△ABC的形状.
解 ∵2sinAcosB=sinC=sin(A+B),
∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB,
∴sin(A-B)=0.
又A,B为△ABC的内角.
∴A=B,∴△ABC为等腰三角形.
2.本例
(2)中,若将条件变为a2+b2-c2=ab,且2cosAsinB=sinC,判断△ABC的形状.
解 ∵a2+b2-c2=ab,∴cosC==,
又0<
C<
π,∴C=,
又由2cosAsinB=sinC得sin(B-A)=0,∴A=B,
故△ABC为等边三角形.
命题点2 求解几何计算问题
例4(2018·
云南11校跨区调研)如图,在四边形ABCD中,∠DAB=,AD∶AB=2∶3,BD=,AB⊥BC.
(1)求sin∠ABD的值;
(2)若∠BCD=,求CD的长.
解
(1)因为AD∶AB=2∶3,所以可设AD=2k,
AB=3k.又BD=,∠DAB=,
所以由余弦定理,得()2=(3k)2+(2k)2-2×
3k×
2kcos,解得k=1,所以AD=2,AB=3,
sin∠ABD===.
(2)因为AB⊥BC,所以cos∠DBC=sin∠ABD=,
所以sin∠DBC=,所以=,
所以CD==.
思维升华
(1)判断三角形形状的方法
①化边:
通过因式分解、配方等得出边的相应关系.
②化角:
通过三角恒等变换,得出内角的关系,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.
(2)求解几何计算问题要注意:
①根据已知的边角画出图形并在图中标示;
②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理.
跟踪训练3
(1)(2018·
安徽六校联考)在△ABC中,cos2=(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为( )
A.等边三角形
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