大一下高数下册知识点Word下载.docx
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4)方向余弦:
5)投影:
,其中为向量与的夹角。
(二)数量积,向量积
1、数量积:
1)
2)
2、向量积:
大小:
,方向:
符合右手规则
运算律:
反交换律
(三)曲面及其方程
1、曲面方程的概念:
2、旋转曲面:
面上曲线,
绕轴旋转一周:
3、柱面:
表示母线平行于轴,准线为的柱面
4、二次曲面
1)椭圆锥面:
2)椭球面:
旋转椭球面:
3)单叶双曲面:
4)双叶双曲面:
5)椭圆抛物面:
6)双曲抛物面(马鞍面):
7)椭圆柱面:
8)双曲柱面:
9)抛物柱面:
(四)空间曲线及其方程
1、一般方程:
2、参数方程:
,如螺旋线:
3、空间曲线在坐标面上的投影
,消去,得到曲线在面上的投影
(五)平面及其方程
1、点法式方程:
法向量:
,过点
2、一般式方程:
截距式方程:
3、两平面的夹角:
,,
4、点到平面的距离:
(六)空间直线及其方程
1、一般式方程:
2、对称式(点向式)方程:
方向向量:
3、参数式方程:
4、两直线的夹角:
5、直线与平面的夹角:
直线与它在平面上的投影的夹角,
第九章多元函数微分法及其应用
(一)基本概念
1、距离,邻域,内点,外点,边界点,聚点,开集,闭集,连通集,区域,闭区域,有界集,无界集。
2、多元函数:
(1)定义:
设n维空间内的点集D是R2的一个非空子集,称映射f:
D→R为定义在D上的n元函数。
当n≥2时,称为多元函数。
记为
U=f(x1,x2,…,xn),(x1,x2,…,xn)∈D。
3、二次函数的几何意义:
由点集D所形成的一张曲面。
如z=ax+by+c的图形为一张平面,而z=x2+y2的图形是旋转抛物线。
4、极限:
设二元函数f(p)=f(x,y)的定义域D,p0(x0,y0)是D的聚点D,假如存在函数A对于随意给定的正数ε,总存在正数δ,使得当点p(x,y)∈D∩∪(p0,δ)时,都有Ⅰf(p)-AⅠ=Ⅰf(x,y)-AⅠ﹤ε成立,那么就称常数A为函数f(x,y)当(x,y)→(x0,y0)时的极限,记作
多元函数的连续性与不连续的定义
5、有界闭合区域上二元连续函数的性质:
(1)在有界闭区域D上的多元连续函数,必定在D上有界,且能取得它的最大值和最小值;
(2)在有界区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。
6、偏导数:
设有二元函数z=f(x,y),点(x0,y0)是其定义域D内一点。
把y固定在y0而让x在x0有增量△x,相应地函数z=f(x,y)有增量(称为对x/y的偏增量)假如△z与△x/△y之比当△x→0/△y→0时的极限存在,那么此极限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x/y的偏导数记作
7、混合偏导数定理:
假如函数的两个二姐混合偏导数fxy(x,y)和fyx(x,y)在D内连续,那么在该区域内这两个二姐混合偏导数必相等。
8、方向导数:
其中为的方向角。
9、全微分:
假如函数z=f(x,y)在(x,y)处的全增量△z=f(x△x,y△y)-f(x,y)可以表示为△z=A△x+B△y+o(ρ),其中A,B不依靠于△x,△y,仅与x,y有关,
当Ρ→0,此时称函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微分,A△x+B△y称为函数z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分,记为
(二)性质
1、函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系:
微分法
1)定义:
2)复合函数求导:
链式法则
若,则
3)隐函数求导:
两边求偏导,然后解方程(组)
(三)应用
1、极值
1)无条件极值:
求函数的极值
解方程组求出全部驻点,对于每一个驻点,令
1若,,函数有微小值,
若,,函数有极大值;
2若,函数没有极值;
3若,不定。
2)条件极值:
求函数在条件下的极值
令:
———Lagrange函数
解方程组
2、几何应用
1)曲线的切线与法平面
曲线,则上一点(对应参数为)处的
切线方程为:
法平面方程为:
2)曲面的切平面与法线
曲面,则上一点处的切平面方程为:
法线方程为:
第十章重积分
(一)二重积分
1、定义:
2、性质:
(6条)
3、几何意义:
曲顶柱体的体积。
4、计算:
1)直角坐标
2)极坐标
(二)三重积分
3、计算:
-------------“先一后二”
-------------“先二后一”
2)柱面坐标
3)球面坐标
曲面的面积:
第十二章无穷级数
(一)常数项级数
1)无穷级数:
部分和:
,
正项级数:
交织级数:
2)级数收敛:
若存在,则称级数收敛,否则称级数发散
3)肯定收敛:
收敛,则肯定收敛;
条件收敛:
收敛,而发散,则条件收敛。
定理:
若级数肯定收敛,则必定收敛。
1)级数的每一项同乘一个不为零的常数后,不影响级数的收敛性;
2)级数与分别收敛于和s与σ,,则收敛且,其和为s+σ
3)在级数中随意加上,去掉或改变有限项,级数仍旧收敛;
4)级数收敛,随意对它的项加括号后所形成的级数仍收敛且其和不变。
5)必要条件:
级数收敛即.
3、审敛法
存在;
2)收敛有界;
3)比较审敛法:
,为正项级数,且
若收敛,则收敛;
若发散,则发散.
4)比较法的推论:
,为正项级数,若存在正整数,当时,,而收敛,则收敛;
若存在正整数,当时,,而发散,则发散.
做题步骤:
找比较级数(等比数列,调和数列,p级数1/np);
比较大小;
是否收敛。
5)比较法的极限形式:
设,为正项级数,
(1)若,而收敛,则收敛;
(2)若或,而发散,则发散.
6)比值法:
为正项级数,设,则当时,级数收敛;
则当时,级数发散;
当时,级数可能收敛也可能发散.
7)根值法:
8)极限审敛法:
为正项级数,若或,则级数发散;
若存在,使得,则级数收敛.
莱布尼茨审敛法:
,满意:
,且,则级数收敛。
随意项级数:
肯定收敛,则收敛。
常见典型级数:
几何级数:
p-级数:
(二)函数项级数
函数项级数,收敛域,收敛半径,和函数;
2、幂级数:
收敛半径的求法:
,则收敛半径
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