考研数学一真题及答案解析 1Word下载.docx
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时,f(x)在x=0处可导
(C)在
处可导时,
(D)f(x)在x=0处可导时,x→0
xy
(C).
f(x,y)
在(0,0)
可微,
f(0,0)=0,
n=(f'
f'
-1)
(0,0),非0
向量α⊥n
(x,y)→(0,0)
存在(B)
(x,y)→(0,0)
存在
存在(D)
(A).
n
∑axn
(4)R为n=1
收敛,r为实数,则()
∑ax
∞
2n
(A)n=1
发散,则r≥R
(B)n=1
收敛,则r≤R
(C)r
≥R2n
,n=1
发散(D)r
≤R2n
,则n=1收敛
(5)若矩阵A由初等列变换为矩阵B,则()
(A)存在矩阵P,使PA=B;
(B)存在矩阵P,使BP=A;
(C)存在矩阵P,使PB=A;
(D)方程组AX=0与BX=0同解;
(B).
l:
x-a2=y-b2=z-c2
1abc
⎛a⎫
i
111ç
⎪
x-a3=y-b3=z-c3
2abc
αi=ç
bi⎪
ç
c⎪
i=1,2,3
(6)已知
322
相交于一点,令
⎝i⎭,
(A)α1可由α2,α3线性表示(B)α2可由α1,α3线性表示
(C)α3可由α1,α2线性表示(D)α1,α2,α3线性无关
P(A)=P(B)=P(C)=1,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=
4
1
12,则A,B,C恰好发生一个的概率为()
3
(A)4
2
(B)3
(C)2
5
(D)12
(7)设为x1,x2,...,x100来自总体X的简单随机样本,其中
====1
P{x0}P{x1}Φ
2,(x)表示标准正态分布函
数,则由中心极限定理可知,
100
∑
P{x≤55}
i=1
的近似值为()
(A)1-Φ
(1)
(B)Φ
(1)
(C)1-Φ(0.2)
(D)Φ(0.2)
二、填空题:
9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答.题.纸.指定位置上.
lim⎡1-1⎤=
⎦.
⎢x
(9)x→0⎣e
【答案】-1
-1ln(1+x)⎥
(10)设
⎧x=
⎪
⎩
⎪⎨y=ln(t+
)
t2+1
则
=
t=1.
【答案】-
(11)设函数
+∞
fx
()
满足
f'
(x)+af'
(x)+f(x)=0
(a>
0),且
f(0)=m,
(0)=n,则
⎰0f(x)dx=.
【答案】am+n
(12)设函数
【答案】4e
f(x,y)=
xyext2dt
0,则
(1,1).
a0-11
0a1-1=
-11a0
(13)行列式1
-10
a.
【答案】a4-4a2.
⎛-π,π⎫
22⎪
Cov(X,Y)=
(14)已知随机变量X服从区间⎝⎭上的均匀分布,Y=sinX,则.
【答案】π.
三、解答题:
15~23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答案写在答.题.纸.指定位置上.
(15)(本题满分10分)
fx,y=x3+8y3-xy
求函数的极值.
⎧x=1
【详解】
=3x2-y=0
y
=24y2-x=0
⇒⎧x=0
⎨y=0
⎪6
⎨
⎪y=1
或⎪⎩12
f
⎧
xx
'
=6x
xy
=-1
⎧x=0
⎧A=0
⎪B=-1
⎪f'
=48y
⎨y=0⎪C=0
又⎩yy
当⎩时⎩,.
AC-B2=-1<
0,不为极值点
⎧x=1
⎪6⎧
A=1
⎧AC-B2=3>
0⎪6
当⎩12
⎪C=4
时,
⎨A=1>
0
⇒⎨
⎩12
,为极小值点
极小值为
111
=-
f(,)
612216
(16)(本题满分10分)
I=4x-y
计算L4x2+y2
dx+
x+y
4x2+y2
dy
其中L为x2+y2=2,方向为逆时针方向.
【详解】补曲线
L:
4x2+y2=ε2
,逆时针方向
I-⎰Pdx+Qdy=⎰⎰∂Q-∂Pdxdy
L∑-∑∂x∂y
11
∂Q4x2+y2-(x+y)8xy2-8xy-4x2
∂x=(4x2+y2)2=(4x2+y2)2,
,
∂P=-(4x2+y2)-2y(4x-y)=y2-8xy-4x2
∂y(4x2+y2)2(4x2+y2)2
⎰4x+y
I=
4x-y
22
L1
x+ydy
ε⎰
1(4x-y)dx+(x+y)dy
ε
=1[1-(-1)]dxdy
2⎰⎰
∑1
=π
(17)(本题满分10分)
(n+1)a
=⎛n+1⎫a
{an}a=1
n+1ç
2⎪n
x<
1n
设数列满足1,
ρ=lim
⎝⎭.证明:
当
n+1
=lim2=1
时幂级数n=1
收敛并求其和函数.
(Ⅰ)
n→∞
n→∞n+1
R=1=1
则ρ
,所以当
1
时,幂级数n=1
axn
收敛.
(Ⅱ)令
S(x)=∑axn
n=1,
∞∞∞
S'
(x)=∑naxn-1=∑(n+1)axn=∑(n+1)axn+a
n=1
nn+1
n=0
n+11
∞n∞n1∞n
=∑(n+)anx
+1=∑nanx
+
∑anx+1
=xS'
(x)+1S(x)+1
(1-x)S'
(x)=1[2+S(x)]
⎰dS(x)=⎰dx
2+S(x)2(1-x)
ln2+S(x)=-1ln1-x+lnC
21
2+S(x)=C
S(x)=-2,(-1<
x<
1)
因为S(0)=0,所以和函数:
.
(18)(本题满分10分)
设∑为曲面
z=x2+y2(1≤x2+y2≤4)
下侧,
f(x)
为连续函数.计算
I=⎰⎰⎡⎣xf(xy)+2x-y⎤⎦dydz+[yf(xy)+2y+x]dzdx+⎡⎣zf(xy)+z⎤⎦dxdy
∑.
【详解】将曲面Z=向xoy面投影得Dxy
Z'
=x,Z'
=y
Dxy为
1≤x2+y2≤4,又
I=-
⎰⎰
1222
Dxy
{[xf(xy)+2x-y](-Z'
)+[yf(xy)+2y+x](-Z'
)+[
f(xy)+
x2+y2]}dxdy
=-⎰⎰
{[-xf(xy)-2x+xy-yf(xy)-2y-xy]+x2+y2
x2+y2[f(xy)+1]}dxdy
=-⎰⎰-
f(xy)-2
x2+y2+
x2+y2dxdy
=⎰⎰
2π2
=⎰dθ⎰r⋅rdr
01
=14π3
(19)(本题满分10分)
设函数
[0,2]
上具有连续导数.
f(0)=f
(2)=0
M=maxfx
{()}
x∈[0,2].
在
ξ∈0,2
证:
(1)存在使
(2)若对任意x∈(0,2),
(ξ)≥M
(x)≤M,则M=0.
(Ⅰ)证明:
(1)M=0时,则f(x)=0,显然成立.
M>
0时,不妨设在点c(∈(0,2))处取得最大值|f(c)|=M.
|f'
(ξ)|==M
由拉格朗日中值定理得,存在ξ1∈(0,c),使得c;
存在ξ2∈(c,2)
使得
(ξ2)|=
=M
2-c;
MM2(c-1)2MM
(-M)(
-M)
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