课堂新坐标高考数学理科山东专版二轮专题复习练习131古典概型与几何概型含答案解析Word下载.docx
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几何度量法求解几何概型
准确确定度量方式和度量公式是求解几何概型的关键,常见的几何度量涉及的测度主要包括长度、面积、体积、角度等.
提炼3
求概率的两种常用方法
(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件,利用概率加法公式求解概率.
(2)若一个较复杂的事件的对立面的分类较少,可考虑利用对立事件的概率公式,即“正难则反”.它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率.
回访1 古典概型
1.(2016·
全国乙卷)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
A. B.
C.D.
C [从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中,余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有:
红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄,共6种,其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有:
红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄,共4种,故所求概率为P==,故选C.]
2.(2014·
全国卷Ⅰ)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )
A. B.
D [4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有24=16(种),其中仅在周六(周日)参加的各有1种,
∴所求概率为1-=.]
3.(2013·
全国卷Ⅱ)从n个正整数1,2,…,n中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为,则n=________.
8 [由题意知n>4,取出的两数之和等于5的有两种情况:
1,4和2,3,所以P==,即n2-n-56=0,解得n=-7(舍去)或n=8.]
4.(2014·
全国卷Ⅰ)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为________.
[两本不同的数学书用a1,a2表示,语文书用b表示,则Ω={(a1,a2,b),(a1,b,a2),(a2,a1,b),(a2,b,a1),(b,a1,a2),(b,a2,a1)}.于是两本数学书相邻的情况有4种,故所求概率为=.]
回访2 几何概型
5.(2016·
全国乙卷)某公司的班车在7:
30,8:
00,8:
30发车,小明在7:
50至8:
30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( )
A.B.
B [如图,7:
30之间的时间长度为40分钟,而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7:
00之间或8:
20至8:
30之间到达发车站,此两种情况下的时间长度之和为20分钟,由几何概型概率公式知所求概率为P==.故选B.]
6.(2016·
全国甲卷)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )
C [因为x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn都在区间[0,1]内随机抽取,所以构成的n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)都在正方形OABC内(包括边界),如图所示.若两数的平方和小于1,则对应的数对在扇形OAC内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对),故在扇形OAC内的数对有m个.用随机模拟的方法可得=,即=,所以π=.]
7.(2016·
山东高考)在[-1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为________.
[由直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交,得<
3,
即16k2<
9,解得-<
k<
.
由几何概型的概率计算公式可知P==.]
热点题型1 古典概型
题型分析:
古典概型是高考考查概率的核心,问题背景大多是取球、选人、组数等,求解的关键是准确列举基本事件,难度较小.
(1)一个袋子中有5个大小相同的球,其中3个白球与2个黑球,先从袋中任意取出一个球,取出后不放回,然后从袋中任意取出一个球,则第一次为白球、第二次为黑球的概率为( )
A. B.
(2)已知M={1,2,3,4},若a∈M,b∈M,则函数f(x)=ax3+bx2+x-3在R上为增函数的概率是( )
【导学号:
67722027】
(1)B
(2)A [
(1)设3个白球分别为a1,a2,a3,2个黑球分别为b1,b2,则先后从中取出2个球的所有可能结果为(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2),(a2,a1),(a3,a1),(b1,a1),(b2,a1),(a3,a2),(b1,a2),(b2,a2),(b1,a3),(b2,a3),(b2,b1),共20种.
其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),共6种,故所求概率为=.故选B.
(2)记事件A为“函数f(x)=ax3+bx2+x-3在R上为增函数”.
因为f(x)=ax3+bx2+x-3,所以f′(x)=3ax2+2bx+1.
因为函数f(x)在R上为增函数,所以f′(x)≥0在R上恒成立.
又a>
0,所以Δ=(2b)2-4×
3a=4b2-12a≤0在R上恒成立,即a≥.
所以当b=1时,有a≥,故a可取1,2,3,4,共4个数;
当b=2时,有a≥,故a可取2,3,4,共3个数;
当b=3时,有a≥3,故a可取3,4,共2个数;
当b=4时,有a≥,故a无可取值.
综上,事件A包含的基本事件有4+3+2=9(种).
又a,b∈{1,2,3,4},所以(a,b)共有4×
4=16(种).
故所求事件A的概率为P(A)=.故选A.]
利用古典概型求事件概率的关键及注意点
1.关键:
正确列举出基本事件的总数和待求事件包括的基本事件数.
2.注意点:
(1)对于较复杂的题目,列出事件数时要正确分类,分类时应不重不漏.
(2)当直接求解有困难时,可考虑求其对立事件的概率.
[变式训练1] (2016·
广州二模)从数字1,2,3,4,5中任取2个,组成一个没有重复数字的两位数,则这个两位数大于30的概率是( )
C [从数字1,2,3,4,5中任取2个,组成一个没有重复数字的两位数,共有20种不同结果.其中这个两位数大于30的共有12种不同结果,故所求事件的概率P==.]
热点题型2 几何概型
高考试题中几何概型主要考查线段型和面积型.求解几何概型的关键是计算线段的长度、平面图形的面积等,难度较小.
(1)(2016·
东营模拟)在区间[0,2]上随机地取一个数x,则事件“-1≤log≤1”发生的概率为( )
A. B.
(2)某校早上8:
00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7:
30~7:
50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为__________.(用数字作答)
(1)A
(2) [
(1)由-1≤log≤1,得≤x+≤2,解得0≤x≤,所以事件“-1≤log≤1”发生的概率为=,故选A.
(2)设小张和小王到校的时间分别为x和y,则则满足条件的区域如图中阴影部分所示.
故所求概率P==.]
判断几何概型中的几何度量形式的方法
1.当题干涉及两个变量问题时,一般与面积有关.
2.当题干涉及一个变量问题时,要看变量可以等可能到达的区域:
若变量在线段上移动,则几何度量是长度;
若变量在平面区域(空间区域)内移动,则几何度量是面积(体积).
提醒:
数形结合是解决几何概型问题的常用方法,求解时,画图务必准确、直观.
[变式训练2]
(1)(2016·
全国甲卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )
A. B.
C. D.
(2)如图61,圆C内切于扇形AOB,∠AOB=,若向扇形AOB内随机投掷600个点,则落入圆内的点的个数估计值为( )
图61
A.100B.200
C.400D.450
(1)B
(2)C [
(1)如图,若该行人在时间段AB的某一时刻来到该路口,则该行人至少等待15秒才出现绿灯.AB长度为40-15=25,由几何概型的概率公式知,至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为=,故选B.
(2)如图,设OA与圆C相切于点D,连接OC,CD,∠AOB=,则∠COD=,
设圆C的半径为1,可得OC=2,所以扇形的半径为3,
由几何概型可得点在圆C内的概率为P===,故向扇形AOB内随机投掷600个点,则落入圆内的点的个数估计为×
600=400(个).]
热点题型3 互斥事件与对立事件的概率
互斥事件与对立事件的概率常与古典概型等交汇命题,主要考查学生的分析转化能力,难度中等.
(2016·
南昌一模)现有甲、乙、丙、丁4个学生课余参加学校社团文学社与街舞社的活动,每人参加且只能参加一个社团的活动,且参加每个社团是等可能的.
(1)求文学社和街舞社都至少有1人参加的概率;
(2)求甲、乙同在一个社团,且丙、丁不同在一个社团的概率.
[解] 甲、乙、丙、丁4个学生课余参加学校社团文学社与街舞社的情况如下:
文学社
街舞社
1
甲乙丙丁
2
甲乙丙
丁
3
甲乙丁
丙
4
甲丙丁
乙
5
乙丙丁
甲
6
甲乙
丙丁
7
甲丙
乙丁
8
乙丙
甲丁
9
10
11
12
13
14
15
16
共有16种情形,即有16个基本事件.6分
(1)文学社或街舞社没有人参加的基本事件有2个,
故所求概率为=.9分
(2)甲、乙同在一个社团,且丙、丁不同在一个社团的基本事件有4个,故所求概率为=.12分
1.直接求法:
将
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