精品高考数学理科习题第八章立体几何852和答案Word文档格式.docx
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(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);
(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.
解
(1)交线围成的正方形EHGF如图:
(2)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EM=AA1=8.
因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.
于是MH==6,所以AH=10.
以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),=(10,0,0),=(0,-6,8).
设n=(x,y,z)是平面EHGF的法向量,则即所以可取n=(0,4,3).
又=(-10,4,8),故|cos〈n,〉|==.
所以AF与平面EHGF所成角的正弦值为.
4.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB⊥AC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=,且点M和N分别为B1C和D1D的中点.
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(1)求证:
MN∥平面ABCD;
(2)求二面角D1-AC-B1的正弦值;
(3)设E为棱A1B1上的点,若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为,求线段A1E的长.
解 如图,以A为原点建立空间直角坐标系,依题意可得A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,-2,0),A1(0,0,2),B1(0,1,2),C1(2,0,2),D1(1,-2,2).
又因为M,N分别为B1C和D1D的中点,得M,N(1,-2,1).
(1)证明:
依题意,可得n=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量.=(0,-,0).
由此可得·
n=0,又因为直线MN⊄平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.
(2)=(1,-2,2),=(2,0,0).
设n1=(x1,y1,z1)为平面ACD1的法向量,则
即不妨设z1=1,可得n1=(0,1,1).
设n2=(x2,y2,z2)为平面ACB1的法向量,则又=(0,1,2),得不妨设z2=1,可得n2=(0,-2,1).
因此有cos〈n1,n2〉==-,于是sin〈n1,n2〉=,
所以,二面角D1-AC-B1的正弦值为.
(3)依题意,可设=λ,其中λ∈[0,1],则E(0,λ,2),从而=(-1,λ+2,1).
又n=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量,由已知,得cos〈,n〉===,整理得λ2+4λ-3=0,又因为λ∈[0,1],解得λ=-2.
所以,线段A1E的长为-2.
5.如图,在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=,PA=AD=2,AB=BC=1.
(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值;
(2)点Q是线段BP上的动点,当直线CQ与DP所成的角最小时,求线段BQ的长.
解 以{,,}为正交基底建立如下图所示的空间直角坐标系A-xyz,则各点的坐标为B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).
(1)因为AD⊥平面PAB,所以是平面PAB的一个法向量,=(0,2,0).
因为=(1,1,-2),=(0,2,-2).
设平面PCD的法向量为m=(x,y,z),
则m·
=0,m·
=0,
即
令y=1,解得z=1,x=1.
所以m=(1,1,1)是平面PCD的一个法向量.
从而cos〈,m〉==,
所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为.
(2)因为=(-1,0,2),设=λ=(-λ,0,2λ)(0≤λ≤1),
又=(0,-1,0),则=+=(-λ,-1,2λ),
又=(0,-2,2),
从而cos〈,〉==.
设1+2λ=t,t∈[1,3],则cos2〈,〉==≤.
当且仅当t=,即λ=时,|cos〈,〉|的最大值为.
因为y=cosx在上是减函数,此时直线CQ与DP所成角取得最小值.
又因为BP==,所以BQ=BP=.
6.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C.
AC=AB1;
(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°
,AB=BC,求二面角A-A1B1-C1的余弦值.
解
(1)证明:
连接BC1,交B1C于点O,连接AO,因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1C⊥BC1,且O为B1C及BC1的中点.又AB⊥B1C,所以B1C⊥平面ABO.
由于AO⊂平面ABO,故B1C⊥AO.
又B1O=CO,故AC=AB1.
(2)因为AC⊥AB1,且O为B1C的中点,所以AO=CO.
又因为AB=BC,所以△BOA≌△BOC.
故OA⊥OB,从而OA,OB,OB1两两互相垂直.
以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.
因为∠CBB1=60°
,所以△CBB1为等边三角形.
又AB=BC,则A,B(1,0,0),B1,C,
=,==,==.
设n=(x,y,z)是平面AA1B1的法向量,
则即
所以可取n=(1,,).设m是平面A1B1C1的法向量,
则
同理可取m=(1,-,).则cos〈n,m〉==.所以二面角A-A1B1-C1的余弦值为.
7.在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD.将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如图.
AB⊥CD;
(2)若M为AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.
∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB⊂平面ABD,AB⊥BD,∴AB⊥平面BCD.
又CD⊂平面BCD,∴AB⊥CD.
(2)过点B在平面BCD内作BE⊥BD,如图.
由
(1)知AB⊥平面BCD,BE⊂平面BCD,BD⊂平面BCD,
∴AB⊥BE,AB⊥BD.
以B为坐标原点,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.依题意,得B(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A(0,0,1),M,则=(1,1,0),=,=(0,1,-1).
设平面MBC的法向量n=(x0,y0,z0),
取z0=1,得平面MBC的一个法向量n=(1,-1,1).
设直线AD与平面MBC所成角为θ,
则sinθ=|cos〈n,〉|==,
即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为.
8.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.
O1O⊥底面ABCD;
(2)若∠CBA=60°
,求二面角C1-OB1-D的余弦值.
如图1,因为四边形ACC1A1为矩形,所以CC1⊥AC.同理DD1⊥BD.
因为CC1∥DD1,
所以CC1⊥BD.
而AC∩BD=O,
因此CC1⊥底面ABCD.由题设知,O1O∥C1C.故O1O⊥底面ABCD.
(2)解法一:
如图1,过O1作O1H⊥OB1于H,连接HC1.
由
(1)知,O1O⊥底面ABCD,
所以O1O⊥底面A1B1C1D1,于是O1O⊥A1C1.
又因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,所以四边形A1B1C1D1是菱形,因此A1C1⊥B1D1,从而A1C1⊥平面BDD1B1,所以A1C1⊥OB1,于是OB1⊥平面O1HC1,进而OB1⊥C1H.
故∠C1HO1是二面角C1-OB1-D的平面角.
不妨设AB=2.因为∠CBA=60°
,所以OB=,OC=1,OB1=.在Rt△OO1B1中,易知O1H==2.而O1C1=1,于是C1H===.
故cos∠C1HO1===.
即二面角C1-OB1-D的余弦值为.
解法二:
因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,所以四边形ABCD是菱形,因此AC⊥BD.
又O1O⊥底面ABCD,从而OB,OC,OO1两两垂直.
如图2,以O为坐标原点,OB,OC,OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系O-xyz.不妨设AB=2.因为∠CBA=60°
,所以OB=,OC=1,于是相关各点的坐标为:
O(0,0,0),B1(,0,2),C1(0,1,2).
易知,n1=(0,1,0)是平面BDD1B1的一个法向量.
设n2=(x,y,z)是平面OB1C1的一个法向量,则即
取z=-,则x=2,y=2,所以n2=(2,2,-).
设二面角C1-OB1-D的大小为θ,易知θ是锐角,于是
cosθ=|cos〈n1,n2〉|===.
故二面角C1-OB1-D的余弦值为.
9.三棱锥A-BCD及其侧视图、俯视图如图所示.设M,N分别为线段AD,AB的中点,P为线段BC上的点,且MN⊥NP.
P是线段BC的中点;
(2)求二面角A-NP-M的余弦值.
如图,取BD中点O,连接AO,CO.
由侧视图及俯视图知,△ABD,△BCD为正三角形,
因此AO⊥BD,OC⊥BD.
因为AO,OC⊂平面AOC,且AO∩OC=O,
所以BD⊥平面AOC.
又因为AC⊂平面AOC,所以BD⊥AC.
取BO的中点H,连接NH,PH.
又M,N分别为线段AD,AB的中点,
所以NH∥AO,MN∥BD.因为AO⊥BD,所以NH⊥BD.
因为MN⊥NP,所以NP⊥BD.
因为NH,NP⊂平面NHP,且NH∩NP=N,所以BD⊥平面NHP.
又因为HP⊂平面NHP,所以BD⊥HP.
又OC⊥BD,HP⊂平面BCD,OC⊂平面BCD,所以HP∥OC.因为H为BO中点,故P为BC中点.
如图,作NQ⊥AC于Q,连接MQ.
由
(1)知,NP∥AC,所以NQ⊥NP.
因为MN⊥NP,所以∠MNQ为二面角A-NP-M的一个平面角.
由
(1)知,△ABD,△BCD为边长为2的正三角形,所以AO=OC=.
由俯视图可知,AO⊥平面BCD.
因为OC⊂平面BCD,所以AO⊥OC,
因此在等腰Rt△AOC中,AC=.
作BR⊥AC于R,在△ABC中,AB=BC,
所以BR=
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- 精品 高考 数学 理科 习题 第八 立体几何 852 答案