高中数学必修四北师大版 两角差的余弦函数 两角和与差的正弦余弦函数 课时提升作业 含答案Word文件下载.docx
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+72°
)-sin(180°
-87°
)·
cos(180°
+18°
)
=cos87°
cos72°
-sin87°
(-cos18°
+sin87°
cos18°
sin72°
=cos(87°
-72°
)=cos15°
=cos(45°
-30°
=cos45°
cos30°
+sin45°
sin30°
=×
+×
=.
2.(教材P120练习T4改编)(2016·
温州高一检测)已知sinx+cosx=,则cos=( )
A.-B.C.-D.
【解析】选B.因为sinx+cosx=,
所以sinx+cosx=,
所以coscosx+sinsinx=,
所以cos=.
3.(2016·
新余高一检测)已知f(x)=sin,若cosα=,则f=( )
A.B.
C. D.
【解析】选C.因为cosα=,且0<
α<
,
所以sinα==.
又因为f(x)=sin,
所以f=sin
=sin=(sinα+cosα)=.
4.若3sinx-cosx=2sin(x-),∈(-π,π),则=( )
A.-B.C.D.-
【解析】选B.3sinx-cosx
=2
=2sin=2sin(x-),
所以=2kπ+,k∈Z,
因为∈(-π,π),所以=.
5.(2016·
汉中高一检测)若函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)为奇函数,且在上为减函数,则θ的一个值为( )
A.-B.-C.D.
【解析】选C.因为f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)=2sin为奇函数,故有θ+=kπ,
即θ=kπ-(k∈Z),可淘汰A、D选项,
然后分别将B和C选项代入检验,易知当θ=时,
f(x)=-2sin2x在区间上递减.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.-=________.
【解析】-=
===4.
答案:
4
【补偿训练】如果tanα,tanβ是方程x2-3x-3=0的两根,则=________.
【解析】因为tanα,tanβ是方程x2-3x-3=0的两根,所以tanα+tanβ=3,tanαtanβ=-3,
则=
===-.
-
7.(2016·
金华高一检测)函数f(x)=sin+cos,x∈[0,π],当x=________时,f(x)取到最大值为________.
【解析】函数f(x)=sin+cos
=cosx+sinx=sin,x∈[0,π],
故当x=时,函数f(x)取得最大值为.
8.(2016·
渭南高一检测)已知cosα=,cos(α-β)=,且0<
β<
,则sinβ=________.
【解题指南】根据α,β的范围求出α-β的范围,由平方关系求出sinα和sin(α-β),再由两角差的正弦公式求出sinβ的值.
【解析】因为0<
,所以-<
α-β<
0,
因为cosα=,cos(α-β)=,
所以sinα==,
sin(α-β)=-=-,
则sinβ=sin[α-(α-β)]
=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)
-×
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知向量a=(sinθ,1),b=(cosθ,),且a∥b,其中θ∈.
(1)求θ的值.
(2)若sin(x-θ)=,0<
x<
,求cosx的值.
【解析】
(1)由a∥b,得sinθ×
-cosθ×
1=0,
所以tanθ=,又θ∈,
所以θ=.
(2)sin(x-θ)=,即sin=,
因为0<
x-<
所以cos==,
所以cosx=cos
=coscos-sinsin
10.求证:
-2cos(α+β)=.
【证明】因为sin(2α+β)-2cos(α+β)sinα
=sin[(α+β)+α]-2cos(α+β)sinα
=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα-2cos(α+β)sinα
=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα
=sin[(α+β)-α]=sinβ
两边同除以sinα得,
所以原式得证.
一、选择题(每小题5分,共10分)
合肥高一检测)已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>
0),如果存在实数x1,使得对任意的实数x,都有f(x1)≤f(x)≤f(x1+2015)成立,则ω的最小值为
( )
A.B.C.D.
【解析】选B.要使结论成立,只需保证区间
[x1,x1+2015]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可,
又因为f(x)=sinωx+cosωx=sin,
则2015≥·
,所以ω≥,
则ω的最小值为.
2.函数y=lo的单调递减区间是( )
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
【解题指南】先确定定义域可得2x-≥2kπ,按“同增异减”的原则,确定2kπ≤2x-≤2kπ+,k∈Z,从而可得解.
【解析】选B.因为sin2xcos-cos2xsin=sin>
所以2kπ+π>
2x->
2kπ,
又因为函数y=lo单调递减,
所以由2kπ<
2x-<
2kπ+,k∈Z可解得函数
y=lo的单调递减区间是:
,k∈Z.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.sinα+cos=,则sin=________.
【解析】因为sinα+cos
=sinα+cosα-sinα
=sinα+cosα
=sin=,
即sin=.
4.(2016·
咸阳高一检测)已知sin(π+α)=-,0<
,sin=-,π<
,则α+β的值是________.
【解析】因为sin(π+α)=-sinα=-,
sin=cosβ=-,
所以sinα=,cosβ=-,
,π<
,所以π<
α+β<
2π,
cosα==,
sinβ=-=-,
因为cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
=-,
所以α+β=.
5.已知cosα-2cosβ=-,sinα-2sinβ=,求cos(α-β)的值.
【解题指南】观察式子的结构特征,联想两角差的余弦公式,可以发现:
将已知条件两边平方,可以构造出式子cosαcosβ和sinαsinβ.
【解析】由
得
两式相加,得5-4cos(α-β)=.
所以cos(α-β)=.
6.(2016·
吉安高一检测)已知函数f(x)=Acos(+),x∈R,且f=.
(1)求A的值.
(2)设α,β∈,f=-,f(4β-)=,求cos(α+β)的值.
(1)f=Acos
=Acos=A=,
解得A=2.
(2)f=2cos=2cos
=-2sinα=-,
即sinα=.
f=2cos=2cosβ=,
即cosβ=.
因为α,β∈,
所以cosα==,
sinβ==.
所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
=-.
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