安徽省池州市学年高三上学期期中调研考试数学理试题Word版含答案Word文件下载.docx
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6.已知某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积为()
A.B.1C.D.3
7.若执行如图所示的框图,输入,则输出的结果等于()
A.B.C.D.4
8.已知是双曲线的左、右焦点,点在上,与轴垂直,,则双曲线的离心率为()
A.B.C.2D.3
9.在中,角的对边分别是,若,的面积记作,则下列结论中一定成立的是()
10.函数在的图像大致为()
A.B.
C.D.
11.已知满足约束条件,若取得最大值的最优解不唯一,则实数的值为()
A.或-1B.或2C.1或2D.-1或2
12.已知定义在上的可导函数满足,设,,则的大小关系是()
A.B.C.D.的大小与的值有关
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知是虚数单位,复数的模等于.
14.在各项均为正数的等比数列中,若,则.
15.若,记,则的值为.
16.如图,角的始边与轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点,角的终边与单位圆交于点,记.若角为锐角,则的取值范围是.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分12分)
已知数列的前项和为.
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)若恰好依次为等比数列的第一、第二、第三项,求数列的前项和.
18.(本小题满分12分)
在某天的上午时段,湛江一间商业银行随机收集了100位客户在营业厅窗口办理业务类型及用时量的信息,相关数据统计如下表1与图2所示.
已知这100位客户中办理型和型业务的共占50%(假定一人一次只办一种业务).
(Ⅰ)确定图2中的值,并求随机一位客户一次办理业务的用时量的分布列与数学期望;
(Ⅱ)若某客户到达柜台时,前面恰有2位客户依次办理业务(第一位客户刚开始办理业务),且各客户之间办理的业务相互独立,求该客户办理业务前的等候时间不超过13分钟的概率.
(注:
将频率视为概率,参考数据:
)
19.(本小题满分12分)
如图,在三棱台中,平面过点,且,平面与三棱台的面相交,交线围成一个四边形.
(Ⅰ)在图中画出这个四边形,并指出是何种四边形(不必说明画法、不必说明四边形的形状);
(Ⅱ)若,二面角等于,求直线与平面所成角的正弦值.
20.(本小题满分12分)
设椭圆的右焦点为,右顶点为,已知,其中为原点,为椭圆的离心率.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)动直线过点,与椭圆交于两点,求面积的最大值.
21.(本小题满分12分)
已知函数,其中为常数.
(Ⅰ)当,且时,判断函数是否存在极值,若存在,求出极值点;
若不存在,说明理由;
(Ⅱ)若,对任意的正整数,当时,求证:
.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
已知极点与直角坐标系原点重合,极轴与轴的正半轴重合,圆的极坐标方程为,直线的参数方程为(为参数).
(Ⅰ)若,直线与轴的交点为是圆上一动点,求的最大值;
(Ⅱ)若直线被圆截得的弦长等于圆的半径的倍,求的值.
23.(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
设函数.
(Ⅰ)求不等式的解集;
(Ⅱ)若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围.
数学(理)试题答案
一、选择题
1-5:
6-10:
11、12:
12.解:
记,则.
所以函数在上单调递减.
由得,
,即.
由的单调性得.
又,
所以,即.
二、填空题
13.14.215.-116.
三、解答题
17.解:
(Ⅰ)当时,.
当时,.
检验时,上式符合.
∴.
(Ⅱ)由题知成等比数列,
,
即,解得.
,公比.
∴
即
18.解:
(Ⅰ)由已知得,∴,∴
所以.
该营业厅一次办理业务的用时组成一个总体,所收集的100位客户一次办理业务的用时量可视为总体的一个容量为100的简单随机样本,将频率视为概率得
的分布列为:
的数学期望为
(Ⅱ)记为事件“该客户在办理业务前的等候时间不超过13分钟”,为该顾客前面第位客户的用时量,
则
由于各客户口的办理业务相互独立,
故该顾客办理业务前的等候时间不超过13分钟的概率为0.411或.
19.解:
(Ⅰ)围成的四边形如图所示,
它是平行四边形;
(Ⅱ),且
∴,
∴是二面角的平面角,
以为轴,为原点建立如图直角坐标系,
由已知,知
又由台体的性质,,
∴是平行四边形,
∴,是的中点,
又,则到平面的距离,
同理是的中点,
则.
设平面的法向量为,则
得一个法向量是,
设直线与平面所成角为,则
∴直线与平面所成角的正弦值为.
20.解:
(Ⅰ)由椭圆的几何性质得,
解得.
(Ⅱ)由题与轴不重合,设的方程是,
即,
因直线与椭圆有相异交点,
,解得或,
令,则.
当时所求面积的最大值是.
21.解:
(Ⅰ)由已知得函数的定义域为,
当时,,
所以,
当时,由得,
此时
当时,单调递减;
当时,单调递增.
当时,在处取得极小值,极小值点为.
(Ⅱ)证:
因为,所以.
当为偶数时,令,
所以当时,单调递增,的最小值为.
因此
所以成立.
当为奇数时,
要证,由于,所以只需证.
令,
则,
当时,单调递增,又,
所以当时,恒有,命题成立.
综上所述,结论成立.
22.解:
(Ⅰ)当时,圆的极坐标方程为,可化为,
化为直角坐标方程为,即.
直线的普通方程为,与轴的交点的坐标为.
圆心与点的距离为,
∴的最大值为.
(Ⅱ)由可得,
∴圆的普通方程为.
直线被圆截得的弦长等于圆的半径的倍,
∴由垂径定理及勾股定理得:
圆心到直线的距离为圆半径的一半,
解得:
或.
23.解:
(Ⅰ)依题意:
原不等式可化为,
当时,,解集为空集;
当时,,解得;
当时,,解得.
综上所述,所求不等式解集为.
(Ⅱ)不等式等价于.
(当且仅当时取等号),
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