六年级奥数数论整除问题Word文档下载推荐.docx
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7.若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止。
例如,判断133是否7的倍数的过程如下:
13-3×
2=7,所以133是7的倍数;
又例如判断6139是否7的倍数的过程如下:
613-9×
2=595,59-5×
2=49,所以6139是7的倍数,余类推。
8.若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加个位数的4倍,如果和是13的倍数,则原数能被13整除。
如果和太大或心算不易看出是否13的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止。
9.若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的5倍,如果差是17的倍数,则原数能被17整除。
如果差太大或心算不易看出是否17的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止。
10.若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的2倍,如果和是19的倍数,则原数能被19整除。
如果和太大或心算不易看出是否19的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止。
11.若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除,则这个数能被17整除。
12.若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除,则这个数能被19整除.
13.若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除,则这个数能被23整除。
【备注】
(以上规律仅在十进制数中成立.)
三、整除性质
性质1如果数a和数b都能被数c整除,那么它们的和或差也能被c整除.即如果c︱a,
c︱b,那么c︱(a±
b).
性质2如果数a能被数b整除,b又能被数c整除,那么a也能被c整除.即如果b∣a,
c∣b,那么c∣a.
用同样的方法,我们还可以得出:
性质3如果数a能被数b与数c的积整除,那么a也能被b或c整除.即如果bc∣a,那
么b∣a,c∣a.
性质4如果数a能被数b整除,也能被数c整除,且数b和数c互质,那么a一定能被b
与c的乘积整除.即如果b∣a,c∣a,且(b,c)=1,那么bc∣a.
例如:
如果3∣12,4∣12,且(3,4)=1,那么(3×
4)∣12.
性质5如果数a能被数b整除,那么am也能被bm整除.如果b|a,那么bm|am(m为非0整数);
性质6如果数a能被数b整除,且数c能被数d整除,那么ac也能被bd整除.如果b|a,且d|c,那么bd|ac;
四、其他重要结论
1、能被2和5,4和25,8和125整除的数的特征是分别在这个数的未一位、未两位、未三位上。
我们可以概括成一个性质:
未n位数能被(或)整除的数,本身必能被(或)整除;
反过来,末n位数不能被(或)整除的数,本身必不能被(或)整除。
例如,判断19973216、91688169能否能被16整除,只需考虑未四位数能否被16(因为16=)整除便可,这样便可以举一反三,运用自如。
2、利用连续整数之积的性质:
任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之积,因此一定可被2整除;
任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数,所以它们之积一定可以被2整除,也可被3整除,所以也可以被2×
3=6整除。
这个性质可以推广到任意个整数连续之积。
3、一个奇位数,原序数与反序数的差一定是99的倍数,一个偶位数,原序数与反序数的差一定是9的倍数。
4、;
,这样的数一定能被7、11、13整除。
5、等等。
数的整除概念、性质及整除特征为解决一些整除问题带来了很大方便,在实际问题中应用广泛。
要学好数的整除问题,就必须找到规律,牢记上面的整除性质,不可似是而非。
【例1】,要使这个连乘积的最后4个数字都是0,那么在方框内最小应填什么数?
【巩固】从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0?
【例2】把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起,如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零,那么最后出现的自然数最小应该是多少?
【巩固】的结果除以,所得到的商再除以……重复这样的操作,在第____次除以时,首次出现余数.
【例3】11个连续两位数的乘积能被343整除,且乘积的末4位都是0,那么这11个数的平均数是多少?
【巩固】用1~9这九个数字组成三个三位数(每个数字都要用),每个数都是4的倍数。
这三个三位数中最小的一个最大是。
【例4】在方框中填上两个数字,可以相同也可以不同,使432是9的倍数.请随便填出一种,并检查自己填的是否正确。
【巩固】一个六位数被3除余l,被9除余4,这个数最小是。
【例5】连续写出从1开始的自然数,写到2008时停止,得到一个多位数:
1234567891011……20072008,请说明:
这个多位数除以3,得到的余数是几?
为什么?
【巩固】1234567891011121314…20082009除以9,商的个位数字是_________。
【例6】1至9这9个数字,按图所示的次序排成一个圆圈.请你在某两个数字之间剪开,分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数(例如,在1和7之间剪开,得到两个数是和).如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被整除,那么剪开处左右两个数字的乘积是多少?
【巩固】,,,等首位是,个位是,中间数字全部是的数字中,能被整除而不被整除的最小数是。
三、7、11、13系列
【例7】一个4位数,把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.已知这两个4位数的和是以下5个数的一个:
①9865;
②9866;
③9867;
④9868;
⑤9869.这两个4位数的和到底是多少?
【巩固】是77的倍数,则最大为_________?
【例8】三位数的百位、十位和个位的数字分别是5,a和b,将它连续重复写2008次成为:
.如果此数能被91整除,那么这个三位数是多少?
【巩固】称一个两头(首位与末尾)都是的数为“两头蛇数”。
一个四位数的“两头蛇数”去掉两头,得到一个两位数,它恰好是这个“两头蛇数”的约数。
这个“两头蛇数”是。
(写出所有可能)
【例9】学生问数学老师的年龄老师说:
“由三个相同数字组成的三位数除以这三个数字的和,所得结果就是我的年龄。
”老师今年岁。
【巩固】已知两个三位数与的和能被37整除,试说明:
六位数也能被37整除.
【例10】一个4位数,把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.再将新的4位数的千位数字移到右端构成一个更新的四位数,已知最新的4位数与最原先的4位数的和是以下5个数的一个:
②9867;
③9462;
④9696;
【巩固】一个六位数各个数字都不相同,且这个数字能被17整除,则这个数最小是________?
【例11】在六位数1111中的两个方框内各填入一个数字,使此数能被17和19整除,那么方框中的两位数是多少?
【巩固】将数字4,5,6,7,8,9各使用一次,组成一个被667整除的6位数,那么,这个6位数除以667的结果是多少?
【例12】若,试问能否被8整除?
请说明理由.
【巩固】证明能被6整除,那么也能被6整除.
【例13】甲、乙两个三位数的乘积是一个五位数,这个五位数的后四位为1031.如果甲数的数字和为10,乙数的数字和为8,那么甲乙两数之和是_________.
【巩固】有5个不同的正整数,它们中任意两数的乘积都是12的倍数,那么这5个数之和的最小值是________.
【例14】某住宅区有12家住户,他们的门牌号分别是1,2,…,12.他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数,并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除,已知这些电话号码的首位数字都小于6,并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除,问:
这一家的电话号码是什么数?
【巩固】用数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9拼成一个十位数。
要求前1位数能被2整除,前2位数能被3整除,……,前9位数能被10整除.已知最高位数为8.这个十位数是
【例15】在六位数中,不同的字母表示不同的数字,且满足,,,,,依次能被2,3,5,7,11,13整除.则的最小值是;
已知当取得最大值时,,那么的最大值是________.
【巩固】有一个九位数的各位数字都不相同且全都不为0,并且二位数可被2整除,三位数可被3整除,四位数可被4整除,……依此类推,九位数可被9整除.请问这个九位数是多少?
【例16】N是一个各位数字互不相等的自然数,它能被它的每个数字整除.N的最大值是.
【巩固】,,,各代表一个不同的非零数字,如果是的倍数,是的倍数,是的倍数,是的倍数,那么是。
【随练1】若9位数20082008能够被3整除,则里的数是__________
【随练2】六位数能被99整除,是多少?
【随练3】应当在如下的问号“?
”的位置上填上哪一个数码,才能使得所得的整数可被7整除?
【随练4】王老师在黑板上写了这样的乘法算式:
然后说道:
“只要同学们告诉我你们喜欢1,2,3,4,5,6,7,8,9中的哪个数,我在括号里填上适当的乘数,右边的积一定全由你喜欢的数字组成。
”小明抢着说:
“我喜欢3。
”王老师填上乘数“27”结果积就出现九个3;
小宇举手说:
“我喜欢7。
”只见王老师填上乘数“63”,积久出现九个7:
,小丽说:
“我喜欢8。
”那么算式中应填上的乘数是.
【随练5】有四个非零自然数,其中,.如果能被2整除,能被3整除,能被5整除,能被7整除,那么最小是.
【作业1】一个收银员下班前查账时发现:
现金比账面记录少了153元,她知道实际收钱不会错,只能是记账时有一个数点错了小数点,那么记错的那笔帐实际收到的现金是__________元。
【作业2】一个五位数恰好等于它各位数字和的2007倍,则这个五位数是.
【作业3】一个19位数能被13整除,求О内的数字.
【作业4】已知四十一位数(其中5和9各有20个)能被7整除,那么中间方
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