届广西高三联考数学理试题解析版Word文件下载.docx
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【详解】因为,所以所求切线的斜率为.
A
4.跑步是一项有氧运动,通过跑步,我们能提高肌力,同时提高体内的基础代谢水平,加速脂肪的燃烧,养成易瘦体质.小林最近给自己制定了一个200千米的跑步健身计划,他第一天跑了8千米,以后每天比前一天多跑0.5千米,则他要完成该计划至少需要()
A.16天B.17天C.18天D.19天
【分析】根据题意可得,每天跑步的路程依次成等差数列,且首项为8,公差为0.5,然后利用等差数列的前n项和公式求解.
【详解】依题意可得,他从第一天开始每天跑步的路程(单位:
千米)依次成等差数列,且首项为8,公差为0.5,
设经过天后他完成健身计划,则,
整理得.
因为函数在为增函数,且,,
B
5.明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图
(1)所示,清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图
(2)所示,北宋的一个汝窑椭圆盘如图(3)所示,这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图
(1)、
(2)、(3)中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别、、,设图
(1)、
(2)、(3)中椭圆的离心率分别为、、,则()
A.B.
C.D.
【分析】根据椭圆的离心率公式可知,椭圆的长轴长与短轴长的比值越大,离心率越大,比较出三个椭圆的长轴长与短轴长的比值大小,由此可得出结论.
【详解】因为椭圆的离心率,
所以椭圆的长轴长与短轴长的比值越大,离心率越大.
因为,,,则,所以.
A.
【点睛】方法点睛:
求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下:
(1)定义法:
通过已知条件列出方程组,求得、的值,根据离心率的定义求解离心率的值;
(2)齐次式法:
由已知条件得出关于、的齐次方程,然后转化为关于的方程求解;
(3)特殊值法:
通过取特殊位置或特殊值,求得离心率.
6.已知函数,且,则()
A.且B.且
C.且D.且
【答案】C
【分析】首先利用导数判断函数的单调性,再根据单调性,比较函数值.
【详解】,
当时,,函数单调递增,
,且,
.
C
7.下列各项中,是的展开式的项为()
A.15B.C.D.
【分析】求得二项式展开式的通项公式,由此确定正确选项.
【详解】的展开式的通项公式为,
由于无解,故A选项错误.
当时,,所以B选项错误.
当时,,C选项正确.
当时,,所以D选项错误.
8.执行如图所示的程序框图,则输出的()
A.10B.15C.20D.25
【分析】根据框图,模拟程序运行即可求解.
【详解】第一次执行程序,;
第二次执行程序,;
第三次执行程序,;
第四次执行程序,,跳出循环输出,
故输出的.
9.已知函数,则()
A.的最小正周期为
B.的图象关于y轴对称
C.的图象不关于对称
D.的图象关于对称
【分析】A用周期性来判断,B用奇偶性来判断,CD选项利用对称性来判断.
A选项,和的最小正周期都是,所以的最小正周期是,A选项错误.
B选项,和都是奇函数,所以是奇函数,图象关于原点对称,B选项错误.
C选项,,
,
所以的图象关于对称,C选项错误.
D选项,,
所以的图象关于对称,D选项正确.
D.
【点睛】判断函数图象关于点对称,则需判断.
10.在三棱柱中,D为侧棱的中点,从该三棱柱的九条棱中随机选取两条,则这两条棱所在直线至少有一条与直线异面的概率是()
【分析】作出图形,找出与共面的棱,利用组合计数原理以及古典概型的概率公式可求得结果.
【详解】如图,这九条棱中,与共面的是、、、、,共五条,故所求概率.
B.
11.已知双曲线的左、右焦点分别为,M为C左支上一点,N为线段上一点,且,P为线段的中点.若(O为坐标原点),则C的渐近线方程为()
【分析】首先由条件可知,再结合中位线的性质和双曲线的定义,计算求得,即可得到双曲线的渐近线方程.
【详解】因为,所以,所以,又,所以,所以,则.故的渐近线方程为.
【点睛】关键点点睛:
本题考查利用几何关系求双曲线的渐近线方程,关键是观察出是的中位线,即可求得,再利用双曲线的定义,问题即可解决.
12.如图,函数的图象由一条射线和抛物线的一部分构成,的零点为,若不等式对恒成立,则a的取值范围是()
【分析】由条件可知,的图象是由向左平移个单位长度得到,再利用数形结合,分析图象的临界条件,得到的取值范围.
【详解】当时,,图象过点和,即,
解得:
,,即,
当时,设抛物线,代入点得,,即,
所以,
的图象是由向左平移个单位长度得到,因为,对恒成立,所以的图象恒在的上方,当两图象如图所示,相切时,
抛物线,,
与直线相切,即,解得:
,,
切点代入得,
得,所以,解得:
或.
本题考查根据不等式恒成立,求参数的取值范围,本题的关键是数形结合,分析临界条件,利用直线与抛物线相切,求参数的取值范围.
二、填空题
13.复数的实部为___________.
【答案】
【分析】利用复数的乘法化简复数,由此可得出复数的实部.
【详解】,因此,复数的实部为.
故答案为:
14.在数列中,,则___________.
【分析】根据已知条件求得,用累乘法求得.
【详解】依题意,,
即,
所以
【点睛】累乘法求数列的通项公式,主要把握住.
15.如图,正四棱锥的每个顶点都在球M的球面上,侧面是等边三角形.若半球O的球心为四棱锥的底面中心,且半球与四个侧面均相切,则半球O的体积与球M的体积的比值为___________.
【分析】过四棱锥顶点和底面对棱中点作截面,此截面截半球得半圆,半圆与正四棱锥的截面等腰三角形的腰相切,由此可用棱锥的棱长表示半球半径,作正四棱锥对角面,对角面等腰三角形的外接圆是球的大圆,从而又可用棱锥棱长表示球的半径,由体积公式求得体积后得比值.
【详解】取中点,中点,作截面,把截面另外画出平面图形,如图,则半球的半个大圆与的两腰相切,是中点,为切点,
设正四棱锥底面边长为,则,,,,
由对称性知正四棱锥的对角面的外接圆是正四棱锥外接球的大圆,
,,,所以,是外接圆直径,所以球的半径为,
.
本题考查球的体积,考查棱锥的内切球与外接球问题,解题关键是作出正棱锥的截面,此截面截球的大圆,从而易得球半径与棱锥的棱长之间的关系.
三、双空题
16.若x,y满足约束条件则的最大值为___________,的最小值为___________.
【答案】2
【分析】作出可行域,作出直线,平移该直线可得的最大值,利用的几何意义可求得其最小值.
【详解】作出可行域,如图内部(含边界),作直线,在中,,表示直线的纵截距的相反数,直线向下平移,纵截距减小,增大,平移直线,当直线过时,取得最大值为2.
表示可行域内点到原点距离的平方,
原点到直线的距离为,所以的最小值是.
2;
本题考查简单的线性规划问题,解题方法是数形结合结合思想,首先作出值域,目标函数是一次函数时,作出对应的直线,平移该直线得最优解,目标函数不是一次函数,利用其几何意义如直线的斜率,两点间的距离等求解.
四、解答题
17.的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知.
(1)若,求;
(2)当A取得最大值时,求的面积.
(1);
(2).
【分析】
(1)利用正弦定理求得的值,由此求得的值.
(2)利用余弦定理求得,结合基本不等式求得的最大值,由此求得此时的面积.
【详解】
(1)由正弦定理,得,解得
(2)由余弦定理得.
因为,
当且仅当时,等号成立,
所以,则,则A的最大值为.
此时,的面积.
18.某社区为丰富居民的业余文化生活,打算在周一到周五连续为该社区居民举行“社区音乐会”,每晚举行一场,但若遇到风雨天气,则暂停举行.根据气象部门的天气预报得知,在周一到周五这五天的晚上,前三天每天出现风雨天气的概率均为,后两天每天出现风雨天气的概率均为,每天晚上是否出现风雨天气相互独立.已知前两天的晚上均出现风雨天气的概率为,且这五天至少有一天晚上出现风雨天气的概率为.
(1)求该社区能举行4场音乐会的概率;
(2)求该社区举行音乐会场数X的数学期望.
(1)根据已知条件求得,根据相互独立事件概率计算公式计算出所求概率.
(2)求得的分布列,由此求得的数学期望.
(1)依题意.
所以该社区能举行4场音乐会的概率为:
(2)的可能取值为,
所以的分布列为:
3
【点睛】求解此类题目,要注意分类加法计数原理的应用.
19.如图,在四棱锥中,四边形为平行四边形,以为直径的圆O(O为圆心)过点A,且底面,M为的中点.
(1)证明:
平面平面.
(2)求二面角的余弦值.
(1)证明见解析;
(1)先证平面,得,,结合得平面,然后可证得面面垂直;
(2)建立如图所示的空间直角坐标系,用空间向量法求二面角的余弦值.
由题意知点A为圆O上一点,则.
由底面,平面,知.又,平面.因此平面,平面,则,又,则.
因为,M为的中点,所以.
又,平面,所以平面.
因为平面,所以平面平面.
(2)解:
如图,以为原点,的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系,
则,,,,,.
设为平面的法向量,
则即
令,得.
由
(1)可知,平面,则平面的一个法向量,
由图可知二面角为锐角,故二面角的余弦值为.
本题考查证明面面垂直,考查求二面角.求二面角的方法:
(1)几何法(定义法):
根据定义作出二面角的平面角并证明,然后解三角形得出结论;
(2)空间向量法:
建立空间直角坐标系,写出各点为坐标,求出二面角两个面的法向量,由两个平面法向量的夹角得二面角(它们相等或互补).
20.已知F为抛物线的焦点,直线与C交于A,B两点且.
(1)求C的方程.
(2)若直线与C交于M,N两点,且与相交于点T,证明:
点T在定直线上.
(2)证明见解析.
(1)解:
设,,直线方程与抛物线方程联立方程组消去后应用韦达定理得,利用焦半径公式及韦达定理的结果可求得得抛物线方程;
(2)设,,,把两点坐标代入抛物线方程相减琍,同理可得,然后求得交点的横坐标为常数即证(由.化为坐标表示后相加即可得).
设,,由,得,
则,
从而,
解得,故的方程为.
(2)证明:
设,,,.
因为,所以.
根据得,则,
同理得.
又两式相加
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