7A版1988年考研数学试题答案及评分参考Word下载.docx
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=
1
故
<
1即0<
G<
6时,
n→∞
3(n+1)
3
n⋅3n
幂级数收敛.
„„3分
当G=0时,原级数成为交错级数∑(-1)n
,是收敛的.
„„4分
当G=6时,原级数成为调和级数∑
,是发散的.
„„5分
所以,所求的收敛域为[0,6).
(2)已知f(G)=eG2,f[ϕ(G)]=1-G,且ϕ(G)≥0.求ϕ(G)并写出它的定义域.
由e[ϕ(G)]2=1-G,得ϕ(G)=
ln(1-G).
由ln(1-G)≥0,得1-G≥1即G≤0.
所以ϕ(G)=ln(1-G),其定义域为(-∞,0).
(3)设S为曲面G2+y2+z2=1的外侧,计算曲面积分I=⎰⎰G3dydz+y3dGdG+z3dGdy.
s
根据高斯公式,并利用球面坐标计算三重积分,有
I=3⎰⎰⎰(G2
+y2+z2)dv(其中Ω是由S所围成的区域)
„„2分
Ω
2π
π
=3⎰0
dθ
⎰0
dϕ⎰0r2⋅r2sinϕdr
12π
.
=5
1988年•第1页
二、填空题:
(本题满分12分,每小题3分)
(1)
若
f(t)=limt(1
+
)
2tG,则
'
2t
G
f(t)=(2t+1)e
G→∞
2,-1<
G≤0
(2)
设f(G)是周期为2的周期函数,它在区间(-1,1]
上的定f(G)={G3,0<
G≤1,则f(G)的付立叶级
数在G=1处收敛于
2
G3-1
(3)
设f(G)是连续函数,且⎰0
f(t)dt=G,则f(7)=
12
(4)设4G4矩阵A=(α,γ2,γ3,γ4),B=(β,γ2,γ3,γ4),其中,α,β,γ2,γ3,γ4均为4维列向量,
且已知行列式
A
=4,
B
=1,则行列式
A+B
=.
40.
三、选择题(本题满分15分,每小题3分)
若函数y=f(G)有f'
(G
)=
,则当∆G→0时,该函G=G
处的微分dy是
(B)
(A)与∆G等价的无穷小
(B)与∆G同阶的无穷小
(C)比∆G低阶的无穷小
(D)比∆G高阶的无穷小
设y=f(G)是方程y'
-2y'
+4y
=0的一个解,若f(G)>
0,且f'
(G0)=0,则函数
f(G)在点G0
(A)
(A)取得极大值
(B)取得极小值
(C)某个邻域内单调增加
(D)某个邻域内单调减少
设有空间区域Ω:
G2
+y2+z2≤R2
z≥0;
及Ω:
+y2+z2≤R2,G≥0,y≥0,z≥0,则(C)
⎰⎰⎰ΩGdv=4⎰⎰⎰ΩGdv
⎰⎰⎰Ω
ydv=4⎰⎰⎰Ω
ydv
(C)
⎰⎰⎰Ωzdv=4⎰⎰⎰Ωzdv
(D)
Gyzdv=4⎰⎰⎰Ω
Gyzdv
(4)
若∑an(G-1)n在G=-1处收敛,则此级数在G=2处
(A)条件收敛
(B)绝对收敛
(C)发散
(D)收敛性不能确定
(5)n维向量组α1,α2,,αs(3≤s≤n)线性无关的充分必要条件是
(A)有一组不全为0的数k1,k2,,ks,使k1α1+k2α2++ksαs≠0.
(B)α1,α2,,αs中任意两个向量都线性无关.
(C)α1,α2,,αs中存在一个向量,它不能用其余向量线性表出.
(D)α1,α2,,αs中任意一个向量都不能用其余向量线性表出.
四.(本题满分6分)
1988年•第2页
设u=yf(
)+Gg(
y
),其中f,g具有二阶连续导数,求G
∂2u
+y
∂2u
∂G2
∂G∂y
∂u
⎛G
⎫
⎛
y⎫
=f
ç
⎪
+gç
-
g'
⎪.
∂G
⎝y
⎭
⎝G⎭
⎛G⎫
y2
f
⎪+
⎝y⎭
⎛y⎫
=-
f'
⎪-
所以G⋅
⋅
=0.
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