巧算和速算方法Word格式.doc
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1×
1=1
2+4=6
2×
4=8
14=168
个位相乘,不够两位数要用0占位。
2.头相同,尾互补(尾相加等于10):
一个头加1后,头乘头,尾乘尾。
23×
27=?
解:
2+1=3
2×
3=6
3×
7=21
27=621
3.第一个乘数互补,另一个乘数数字相同:
37×
44=?
3+1=4
4×
4=16
7×
4=28
44=1628
4.几十一乘几十一:
头乘头,头加头,尾乘尾。
21×
41=?
2×
4=8
2+4=6
1×
1=1
41=861
5.11乘任意数:
首尾不动下落,中间之和下拉。
11×
23125=?
2+3=5
1+2=3
2+5=7
2和5分别在首尾
23125=254375
和满十要进一。
6.十几乘任意数:
第二乘数首位不动向下落,第一因数的个位乘以第二因数后面每一个数字,加下一位数,再向下落。
13×
326=?
13个位是3
3×
3+2=11
2+6=12
6=18
326=4238
第二讲常用巧算速算中的思维与方法
(1)
【顺逆相加】用“顺逆相加”算式可求出若干个连续数的和。
例如著名的大数学家高斯(德国)小时候就做过的“百数求和”题,可以计算为
1+2 +……+99+100
所以,1+2+3+4+……+99+100
=101×
100÷
2
=5050
“3+5+7+………+97+99=?
3+5+7+……+97+99=(99+3)×
49÷
2=2499。
这种算法的思路,见于书籍中最早的是我国古代的《张丘建算经》。
张丘建利用这一思路巧妙地解答了“有女不善织”这一名题:
“今有女子不善织,日减功,迟。
初日织五尺,末日织一尺,今三十日织讫。
问织几何?
”
题目的意思是:
有位妇女不善于织布,她每天织的布都比上一天减少一些,并且减少的数量都相等。
她第一天织了5尺布,最后一天织了1尺,一共织了30天。
问她一共织了多少布?
张丘建在《算经》上给出的解法是:
“并初末日织尺数,半之,余以乘织讫日数,即得。
”“答曰:
二匹一丈”。
这一解法,用现代的算式表达,就是
1匹=4丈,1丈=10尺,
90尺=9丈=2匹1丈。
张丘建这一解法的思路,据推测为:
如果把这妇女从第一天直到第30天所织的布都加起来,算式就是:
5+…………+1
在这一算式中,每一个往后加的加数,都会比它前一个紧挨着它的加数,要递减一个相同的数,而这一递减的数不会是个整数。
若把这个式子反过来,则算式便是:
1+………………+5
此时,每一个往后的加数,就都会比它前一个紧挨着它的加数,要递增一个相同的数。
同样,这一递增的相同的数,也不是一个整数。
假若把上面这两个式子相加,并在相加时,利用“对应的数相加和会相等”
这一特点,那么,就会出现下面的式子:
所以,加得的结果是6×
30=180(尺)
但这妇女用30天织的布没有180尺,而只有180尺布的一半。
所以,这妇女30天织的布是
180÷
2=90(尺)
可见,这种解法的确是简单、巧妙和饶有趣味的。
第三讲常用巧算速算中的思维与方法
(2)
方法一:
分组计算
一些看似很难计算的题目,采用“分组计算”的方法,往往可以使它很快地解答出来。
例如:
求1到10亿这10亿个自然数的数字之和。
这道题是求“10亿个自然数的数字之和”,而不是“10亿个自然数之和”。
什么是“数字之和”?
例如,求1到12这12个自然数的数字之和,算式是
1+2+3+4+5+6+7+8+9+1+0+1+1+1+2=5l。
显然,10亿个自然数的数字之和,如果一个一个地相加,那是极麻烦,也极费时间(很多年都难于算出结果)的。
怎么办呢?
我们不妨在这10亿个自然数的前面添上一个“0”,改变数字的个数,但不会改变计算的结果。
然后,将它们分组:
0和999,999,999;
1和999,999,998;
2和999,999,997;
3和999,999,996;
4和999,999,995;
5和999,999,994;
………………
依次类推,可知除最后一个数,1,000,000,000以外,其他的自然数与添上的0共10亿个数,共可以分为5亿组,各组数字之和都是81,如
0+9+9+9+9+9+9+9+9+9=81
1+9+9+9+9+9+9+9+9+8=81
2+9+9+9+9+9+9+9+9+7=81
………………
最后的一个数1,000,000,000不成对,它的数字之和是1。
所以,此题的计算结果是
(81×
500,000,000)+1
=40,500,000,000+1
=40,500,000,001
方法二:
由小推大
计算复杂时,我们可以从数目较小的特殊情况入手,研究题目特点,找出一般规律,再推出题目的结果。
(1)计算下面方阵中所有的数的和。
这是个“100×
100”的大方阵,数目很多,关系较为复杂。
不妨先化大为小,再由小推大。
先观察“5×
5”的方阵,如下图(图4.1)所示。
容易看到,对角线上五个“5”之和为25。
这时,如果将对角线下面的部分(右下部分)用剪刀剪开,如图4.2那样拼接,那么将会发现,这五个斜行,每行数之和都是25。
所以,“5×
5”方阵的所有数之和为25×
5=125,即53=125。
于是,很容易推出大的数阵“100×
100”的方阵所有数之和为1003=1,000,000。
(2)把自然数中的偶数,像图4.3那样排成五列。
最左边的叫第一列,按从左到右的顺序,其他叫第二、第三……第五列。
那么2002出现在哪一列:
列数
一
二
三
四
五
4
6
8
16
14
12
10
18
20
22
24
32
30
28
26
34
36
38
40
………………
图4.3
因为从2到2002,共有偶数2002÷
2=1001(个)。
从前到后,是每8个偶数为一组,每组都是前四个偶数分别在第二、三、四、五列,后四个偶数分别在第四、三、二、一列(偶数都是按由小到大的顺序)。
所以,由1001÷
8=125…………1,可知这1001个偶数可以分为125组,还余1个。
故2002应排在第二列。
方法三:
凑整巧算
用“凑整方法”巧算,常常能使计算变得比较简便、快速。
例如
(1)99.9+11.1=(90+10)+(9+1)+(0.9+0.1)=111
(2)9+97+998+6=(9+1)+(97+3)+(998+2)
=10+100+1000
=1110
(3)125+125+125+125+120+125+125+125
=155+125+125+125+(120+5)+125+125+125-5
=125×
8-5
=1000-5
=995
第四讲常用巧算速算中的思维与方法(3)
巧妙试商
除数是两位数的除法,可以采用一些巧妙试商方法,提高计算速度。
(1)用“商五法”试商。
当除数(两位数)的10倍的一半,与被除数相等(或相近)时,可以直接试商“5”。
如70÷
14=5,125÷
25=5。
当除数一次不能除尽被除数的时候,有些可以用“无除半商五”。
“无除”指被除数前两位不够除,“半商五”指若被除数的前两位恰好等于(或接近)除数的一半时,则可直接商“5”。
例如1248÷
24=52,2385÷
45=53
(2)同头无除商八、九。
“同头”指被除数和除数最高位上的数字相同。
“无除”仍指被除数前两位不够除。
这时,商定在被除数高位数起的第三位上面,再直接商8或商9。
5742÷
58=99,4176÷
48=87。
(3)用“商九法”试商。
当被除数的前两位数字临时组成的数小于除数,且前三位数字临时组成的数与除数之和,大于或等于除数的10倍时,可以一次定商为“9”。
一般地说,假如被除数为m,除数为n,只有当9n≤m<10n时,n除m的商才是9。
同样地,10n≤m+n<11n。
这就是我们上述做法的根据。
例如4508÷
49=92,6480÷
72=90。
(4)用差数试商。
当除数是11、12、13…………18和19,被除数前两位又不够除的时候,可以用“差数试商法”,即根据被除数前两位临时组成的数与除数的差来试商的方法。
若差数是1或2,则初商为9;
差数是3或4,则初商为8;
差数是5或6,则初商为7;
差数是7或8,则初商是6;
差数是9时,则初商为5。
若不准确,只要调小1就行了。
1476÷
18=82(18与14差4,初商为8,经试除,商8正确);
1278÷
17=75(17与12的差为5,初商为7,经试除,商7正确)。
为了便于记忆,我们可将它编成下面的口诀:
差一差二商个九,差三差四八当头;
差五差六初商七,差七差八先商六;
差数是九五上阵,试商快速无忧愁。
恒等变形
恒等变形是一种重要的思想和方法,也是一种重要的解题技巧。
它利用我们学过的知识,去进行有目的的数学变形,常常能使题目很快地获得解答。
(1)1832+68=(1832-32)+(68+32)
=1800+100
=1900
(2)359.7-9.9=(359.7+0.1)-(9.9+O.1)
=359.8-10
=349.8
第五讲常用巧算速算中的思维与方法(4)
拆数加减
在分数加减法运算中,把一个分数拆成两个分数相减或相加,使隐含的数量关系明朗化,并抵消其中的一些分数,往往可大大地简化运算。
(1)拆成两个分数相减。
又如
(2)拆成两个分数相加。
同分子分数加减
同分子分数的加减法,有以下的计算规律:
分子相同,分母互质的两个分数相加(减)时,它们的结果是用原分母的积作分母,用原分母的和(或差)乘以这相同的分子所得的积作分子。
分子相同,分母不是互质数的两个分数相加减,也可按上述规律计算,只是最后需要注意把得数约简为既约(最简)分数。
(注
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- 速算 方法