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2.应注意的问题
1应用虚位移原理,一般都是以整个系统为研究对象,不宜选取分离体。
2计算弹性力在虚位移中的虚功时,弹性力的大小与虚位移的大小无关。
3在计算转动刚体(或平面运动刚体)上的主动力的虚功时,如果把主动力的虚功转化为主动力对转动轴(或瞬时转动轴)之力矩的虚功,可能简便些。
三、典型例题分析
例1图示曲柄连杆机构,在曲柄OA上作用一力偶矩为M的力偶,欲使机构在图示位置保持平衡,试求加于滑块B上的水平力P应为多大?
已知OA=a,AB=b,在图示位置AB与水平线的夹角=30º
解:
这是属于求主动力的平衡条件的问题。
作用于系统和主动力有P和M。
系统受完整约束,有一个自由度,当机构有虚位移时,OA作定轴转动,曲柄AB作平面运动,滑块B作平动。
令OA杆的虚位移为δ,则A点虚位移为rA,B点虚位移为rB,AB杆的虚位移为绕瞬心C的微小转角δ,机构的虚位移如图。
根据虚位移原理得:
PrB-Mδ=0 (1)
代入(1)式得:
15-1图示曲柄式压缩机的销钉B上作用有水平力F,此力位于平面ABC内。
作用线平分
。
设AB=BC,
,各处摩擦及杆重不计,求对物体的压缩力。
解:
令B有虚位移
,而C有铅直向上的虚位移
,如图(a)。
将
及
向BC方向投影,为简单起见,以
表示
的绝对值
,以
,则有
即
(1)
由虚位移原理得
(2)
将式
(1)代入
(2)得
15-3挖土机挖掘部分示意如图。
支臂DEF不动,A、B、D、E、F为铰链,液压油缸AD伸缩时可通过连杆AB使挖斗BFC绕F转动,EA=FB=a。
当
时杆
,此时油缸推力为F。
不计构件重量,求此时挖斗可克服的最大阻力矩M。
由虚功原理:
(1)
式中
(2)
A、B的虚位移向AB投影
(3)
式
(2),(3)代入
(1)得
15-5在图示机构中,当曲柄OC绕O轴摆动时,滑块A沿曲柄滑动,从而带动杆AB在铅直导槽K内移动。
已知:
OC=a,OK=l,在点C处垂直于曲柄作用一力F1;
而在点B沿BA作用一力F2。
求机构平衡时F2与F1的关系。
用解析法解,选取
为广义坐标,则滑块A的约束方程
(1)
由虚位称原理
(2)
把式
(1)代入
(2)得
因
,于是有
故
15-7图示滑套D套在光滑直杆AB上,并带动杆CD在铅直滑道上滑动,已知
时弹簧为原长,弹簧刚性系数为5kN/m。
求在任意位置平衡时,应加多大的力偶矩M?
解:
解除弹簧约束,代之以弹性力F及
已知
时弹簧原长为0.3m,在任意
角时,弹簧
,此时弹簧的缩短量为
故弹性力
取x轴沿AB杆,设D点沿杆的坐标为xD,而选取
为广义坐标,则滑块D的约束方程为
,
另外有xB=常量,
由虚位移原理
把F及
的表达式代入上式得
把k=5000N/m代入求得
15-9在图示机构中,曲柄AB和连杆BC为均质杆,具有相同的长度和重量W1。
滑块C的重量为W2,可沿倾角为
的导轨AD滑动。
设约束都是理想的,求系统在铅垂面内的平衡位置。
取
为广义坐标,另作坐标系Axy,设AB=BC=l
因
对坐标的变分:
由虚位移原理
,故有
15-11图示均质杆AB长为2l,一端靠在光滑的铅直墙壁上,另一端放在固定光滑曲面DE上。
欲使细杆能静止在铅直平面的任意位置,问曲面的曲线DE的形式应是怎样的?
作坐标系Dxy,由于杆AB只受主动力W作用,根据虚位移原理
,故yC=常量
杆在铅直位置时yC0=l,yC=l
杆在任意位置时yC=yA+lcos
即
消去
得DE曲线方程
由方程知,DE曲线为中心在(0,l)长短半轴分别为2l和l的椭圆的一部分。
如坐标系Dxy向上平移l距离,则DE曲线方程与书中答案一致。
15-13半径为R的滚子放在粗糙水平面上,连杆AB的两端分别与轮缘上的A点和滑块B铰接。
现在滚子上施加矩为M的力偶,在滑块上施加力F,使系统于图示位置处平衡。
设力F为已知,忽略滚动摩阻和各构件的重量,不计滑块和各铰链处的摩擦,试求力偶矩M以及滚子与地面间的摩擦力Fs。
作功力M,F,虚功方程为:
向AB投影:
M=2RF
,Fs=F
15-15试用虚位移原理求图示桁架中杆3的内力。
将BD杆解除代之以力F及
令C点有虚位移
,则B点必有虚位移
D点必有虚位移
由虚位移原理
(1)
由图(a)可见,ACD框的转轴在A点,
CB杆的瞬心在E点
故
及
所以
(2)
由式
(1)、
(2)得
(拉力)
例15-4在水平面内运动的行星齿轮机构如图15-4所示。
均质系杆OA的质量为m1,它可绕端点O转动,另一端装有质量为m2,半径为r的均质小齿轮,小齿轮沿半为R的固定大齿轮纯滚动。
当系杆受力偶M的作用时,试求系杆的角加速度。
图15-4
【解】
机构具有一个自由度,选系杆的转角φ为广义坐标。
设系杆对O轴的转动惯量为JO,小齿轮对其质心A的转动惯量为JA,小齿轮的绝对角速度为
,则A点的速度为
小齿轮的角速度
系统的动能等于系杆的动能和小齿轮的动能之和,即
与广义坐标对应的广义力
将上两式代入拉氏方程
例题2三铰拱如图所示,求支座B的约束反力。
(1)求支座B的铅垂反力,解除支座B的铅垂约束,代之约束反力YB,如图所示,该系统有一个自由度:
AC绕A定轴转动,BC做平面运动,瞬心为A,画虚位移图如图。
利用虚位移图,rC=(AC)1=(AC)2
1=2=利用虚位移图计算虚功W(m)=m1
W(P)=aP2
由虚位移原理,m+aP-2aYB=0
m
YB
a
1
B
A
(2)求支座B的水平反力,解除支座B的水平约束,代之约束反力XB,如图所示,该系统有一个自由度:
AC绕A定轴转动,
BC做平面运动,瞬心为I,画虚位移图如图。
利用虚位移图得:
rC=(AC)1=(IC)2
1=2=利用虚位移图计算虚功W(m)=m1W(P)=aP2
W(XB)=2aXB2由虚位移原理得:
m1+aP2+2aXB2=0
例题3组合梁结构受荷载如图示,P1=10kN,q=1.6kN/m,P2=15kN,M=40kN•m,求固定端支座A的约束反力。
MA=7.685kNm
(2)求固定端支座A的水平反力,解除固定端约束,代之以水平反力XA和滑块A,该滑块固结于A端,只能水平方向自由滑动,如图所示,作用在系统上的主动力有XA、M、P1、P2以及均布荷载的合力Q。
该系统有一个自由度:
AB做平动,CD做定轴转动,BC做平面运动,瞬心为I。
画虚位移图如图。
由虚位移图得:
rA=
BI=8,
由虚位移原理得:
例4求图示桁架1、2杆的内力。
W(S1)=-0.87aS11
W(P)=-aP1
W(P)=-2aP1
W(S2)=-0.87aS22
0.87aS1-aP1-2aP1-0.87aS2=0
S1=1.15P
SG=SF=S=
W(P)=-aP3
W(P)=aP1
利用虚位移图计算虚功
1=3
rH=I1H2=BH3
rG=AG1=I1G2
s2=0
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