精品精品学年高二数学理下学期期末试题3.docx
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精品精品学年高二数学理下学期期末试题3
【精品】2018-2019学年高二数学(理)下学期期末试题(3)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.若复数z=2i+,其中i是虚数单位,则复数z的模为( )
A.B.C.D.2
2.( )
A.B.C.πD.2π
3.随机变量ξ的概率分布列为P(ξ=k)=,k=1、2、3、4,其中c是常数,则P则值为( )
A.B.C.D.
4.观察下列各式:
a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=( )
A.28B.76C.123D.199
5.设(5x-)n的展开式中各项系数之和为M,二项式系数之和为N,若M-N=240,则展开式中x的系数为( )
A.-150B.150C.300D.-300
6.将标号为A、B、C、D、E、F的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张卡片,其中标号为A、B的卡片放入同一信封,则不同的放法共有( )
A.12种B.18种C.36种D.54种
7.摄影师要为5名学生和2位老师拍照,要求排成一排,2位老师相邻且不排在两端,不同的排法共有( )
A.1440种B.960种C.720种D.480种
8.如图,阴影部分的面积是( )
A.2B.2-C.D.
9.函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图,则函数y=ax2+bx+的单调递增区间是( )
A.(-∞,-2]B.C.[-2,3]D.
10.已知y=x3+bx2+(b+2)x+3是R上的单调增函数,则b的取值范围是( )
A.b<-1或b>2B.b≤-2或b≥2C.-1<b<2D.-1≤b≤2
11.直线y=a与函数y=x3-3x的图象有相异的三个交点,则a的取值范围是( )
A.-2<a<2B.-2≤a<2C.a<-2或a>2D.a<-2或a≥2
12.若函数f(x)在R上可导,且满足f(x)-xf′(x)>0,则( )
A.3f
(1) (1)>f(3)C.3f (1)=f(3)D.f (1)=f(3) 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.已知直线y=kx+b与曲线y=x3+ax+1相切于点(2,3),则b的值为_______. 14.若函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间[-4,4]上的最大值为10,则其最小值为_______. 15.设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意的x∈(0,1]都有f(x)≥0成立,则实数a的取值范围为________. 16.已知函数f(x)=x-,g(x)=x2-2ax+4,若对任意x1∈[0,1],存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),则实数a的最小值是________. 三、解答题(本大题共6小题,共70分。 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 17.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数. (1)求ξ的分布列; (2)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率. 18.已知复数z=3+bi(b∈R),且(1+3i)·z为纯虚数. (1)求复数z. (2)若w=,求复数w的模|w|. 19.在(-)n的展开式中,第6项为常数项. (1)求n; (2)求含x2的项的系数; (3)求展开式中所有的有理项. 20.已知函数f(x)=x3+ax+b(a,b∈R)在x=2处取得极小值-. (1)求f(x)的单调递增区间; (2)若f(x)≤m2+m+在[-4,3]上恒成立,求实数m的取值范围. 21.设函数f(x)=x+ax2+blnx,曲线y=f(x)过P(1,0),且在P点处的切线斜率为2. (1)求a,b的值; (2)证明: f(x)≤2x-2. 22.设函数f(x)=x(ex-1)-ax2. (1)若a=,求f(x)的单调区间; (2)若当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围. 参考答案 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.解析: 由题意,得z=2i+=2i+=1+i,复数z的模|z|==. 答案: B 2.解析: 令y=,则(x-1)2+y2=1(y≥0),因而dx表示圆(x-1)2+y2=1在x轴上方x∈[0,1]的面积,即圆面积的,即dx=. 答案: A 3.[答案] D [解析] +++ =c =c=1.∴c=. ∴P=P(ξ=1)+P(ξ=2) ==. 4.解析: 记an+bn=f(n),则f(3)=f (1)+f (2)=1+3=4;f(4)=f (2)+f(3)=3+4=7;f(5)=f(3)+f(4)=11.通过观察不难发现f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n∈N*,n≥3),则f(6)=f(4)+f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8)=76;f(10)=f(8)+f(9)=123.所以a10+b10=123. 答案: C 5.[答案] B [解析]令x=1,得M=4n,又N=2n,故4n-2n=240.解得n=4.展开式中的通项为Tr+1= C(5x)4-r(-)r=(-1)r54-rCx4-r,令4-r=1得r=2,∴当r=2时,展开式中x的系数为C52=150.故选B. 6.[答案] B [解析] 由题意,不同的放法共有CC=3×=18种. 7.[答案] B [解析] 2位老师作为一个整体与5名学生排队,相当于6个元素排在6个位置,且老师不排两端,先安排老师,有4A=8种排法,5名学生排在剩下的5个位置,有A=120种,由分步乘法计数原理得4A×A=960种排法. 8.解析: 阴影部分的面积S=(3-x2-2x)dx ==. 答案: C 9.解析: 由题图可知d=0.不妨取a=1, ∵f(x)=x3+bx2+cx, ∴f′(x)=3x2+2bx+c. 由图可知f′(-2)=0,f′(3)=0, ∴12-4b+c=0,27+6b+c=0, ∴b=-1.5,c=-18. ∴y=x2-x-6,y′=2x-. 当x>时,y′>0, ∴y=x2-x-6的单调递增区间为.故选D. 答案: D 10.解析: y′=x2+2bx+(b+2).由于函数在R上单调递增, ∴x2+2bx+(b+2)≥0在R上恒成立, 即Δ=(2b)2-4(b+2)≤0,解得-1≤b≤2. 答案: D 11.解析: 可求得y=x3-3x在x=-1时取极大值2, 在x=1时,取极小值-2, ∴y=a与y=x3-3x的图象有相异的三个公共点时,-2<a<2. 答案: A 12.解析: 选B 由于f(x)>xf′(x),′=<0恒成立,因此在R上单调递减,∴<,即3f (1)>f(3),故答案为B. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.解析: 选C 将点(2,3)分别代入曲线y=x3+ax+1和直线y=kx+b,得a=-3,2k+b=3.又k=y′|x=2=(3x2-3)|x=2=9,∴b=3-2k=3-18=-15. 14.解析: f′(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1). 由f′(x)=0,得x=3或x=-1.又f(-4)=k-76,f(3)=k-27, f(-1)=k+5,f(4)=k-20. 由f(x)max=k+5=10,得k=5, ∴f(x)min=k-76=-71. 答案: B 15.解析: ∵x∈(0,1],f(x)≥0可化为a≥-.设g(x)=-,则g′(x)=.令g′(x)=0,得x=.当0<x<时,g′(x)>0;当<x≤1时,g′(x)<0,∴g(x)在(0,1]上有极大值g=4,它也是最大值,故a≥4. 答案: a≥4 16.解析: 由于f′(x)=1+>0,所以函数f(x)在[0,1]上单调递增,所以当x∈[0,1]时,f(x)min=f(0)=-1.根据题意可知存在x∈[1,2],使得g(x)=x2-2ax+4≤-1,即x2-2ax+5≤0,即a≥+在[1,2]上能成立.令h(x)=+,则要使a≥h(x)在[1,2]上能成立,只需使a≥h(x)min,又易知函数h(x)=+在[1,2]上单调递减(可利用导数判断),所以h(x)min=h (2)=,故只需a≥. 三、解答题(本大题共6小题,共70分。 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 17.解: P(ξ=k)=,k=0,1,2. (1)ξ可能取的值为0,1,2. 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P (2)由 (1),“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为P(ξ≤1)=P(ξ=0)+P(ξ=1)=. 18.解析: (1)(1+3i)·(3+bi)=(3-3b)+(9+b)i. 因为(1+3i)·z为纯虚数, 所以3-3b=0,且9+b≠0, 所以b=1,所以z=3+i. (2)w====-i, 所以|w|==. 19.[解析] (1)Tr+1=C·()n-r·(-)r =C·(x)n-r·(-·x-)r =(-)r·C·x. ∵第6项为常数项, ∴r=5时有=0,∴n=10. (2)令=2,得r=2, ∴所求的系数为C(-)2=. (3)根据通项公式,由题意得: 令=k(k∈Z),则10-2r=3k, 即r==5-k. ∵0≤r≤10,∴0≤5-k≤10,∴-3≤k≤3, 又∵k应为偶数,∴k可取2,0,-2, ∴r=2,5,8,∴第3项、第6项与第9项为有理项. 它们分别为C·(-)2·x2,C(-)5, C·(-)8·x-2. 即x2,-和. 20.解析: (1)f′(x)=x2+a,由f′ (2)=0,得a=-4; 再由f (2)=-,得b=4. 所以f(x)=x3-4x+4,f′(x)=x2-4. 令f′(x)=x2-4>0,得x>2或x<-2. 所以f(x)的单调递增区间为(-∞,-2),(2,+∞). (2)因为f(-4)=-,f(-2)=,f (2)=-, f(3)=1,所以函数f(x)在[-4,3]上的最大值为. 要使f(x)≤m2+m+在[-4,3]上恒成立, 只需m2+m+≥,解得m≥2或m≤-3. 所以实数m的取值范围是(-∞,-3]∪[2,+∞). 21.解析: (1)f′(x)=1+2ax+. 由已知得得 解得a=-1,b=3. (2)证明: f(x)的定义域为(0,+∞), 由 (1)知f(x)=x-x2+3lnx. 设g(x)=f(x)-(2x-2)=2-x-x2+3lnx, 则g′(x)=-1-2x+=-. 令g′(x)=0得x=1或x=-(舍去). 当0<x<1时,g′(x)>0,当x>1时,g′(x)<0. ∴g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减. ∴g(x)max=g (1)=0,∴f(x)-(2x-2)≤0. ∴f(x)≤2x-2. 22.解析: (1)a=时,f(x)=x(ex-1)-x2, f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1). 当x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0; 当x∈(-1,0)时,f′(x)<0; 当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0. 故f(x)在(-∞,-1),(0,+∞)上单调递增, 在(-1,0)上单调递减. (2)f(x)=x(ex-1-ax). 令g(x)=ex-1
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