《常微分方程》答案习题4Word文件下载.docx
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另外也是方程的解。
6.
解:
得到
另外也是方程的解。
8.
令
则:
故
10.
令
而故两边积分得到
因此原方程的解为,。
12.
令
则
故方程的解为
14.
那么
求得:
或可写为
16.
令则
即方程的解为
18.
将方程变形后得
同除以得:
令则
即原方程的解为
19.X(
方程可化为2y(
27.
令,,则
,,
,
两边积分得
即为方程的通解。
另外,,即也是方程的解。
28.
两边同除以,方程可化为:
令,则
即,
即
为方程的解。
29.
令,则,
,
那么
即为方程的解。
30.
方程可化为
31.
两边同除以,得
令,,则
将代入得,
故
32.
两边同加上,得(*)
再由,可知
(**)
将(*)/(**)得
整理得
另外,也是方程的解。
33.求一曲线,使其切线在纵轴上之截距等于切点的横坐标。
设为所求曲线上的任一点,则在点的切线在轴上的截距为:
由题意得
也即
两边同除以,得
34.摩托艇以5米/秒的速度在静水运动,全速时停止了发动机,过了20秒钟后,艇的速度减至米/秒。
确定发动机停止2分钟后艇的速度。
假定水的阻力与艇的运动速度成正比例。
,又,由此
其中,解之得
又时,;
时,。
故得,
从而方程可化为
当时,有米/秒
即为所求的确定发动机停止2分钟后艇的速度。
35.一质量为m的质点作直线运动,从速度等于零的时刻起,有一个和时间成正比(比例系数为k1)的力作用在它上面,此质点又受到介质的阻力,这阻力和速度成正比(比例系数为k2)。
试求此质点的速度与时间的关系。
由物理知识得:
根据题意:
故:
即:
(*)式为一阶非齐线性方程,根据其求解公式有
又当t=0时,V=0,故c=
因此,此质点的速度与时间的关系为:
36.解下列的黎卡提方程
(1)
原方程可转化为:
观察得到它的一个特解为:
,设它的任意一个解为,
代入(*)式得到:
由(**)-(*)得:
变量分离得:
两边同时积分:
故原方程的解为
(2)
原方程可化为:
由观察得,它的一个特解为,设它的任意一个解为,故
变量分离再两边同时积分得:
故原方程的解为
(3)
由观察得到,它的一个特解为,设它的任一个解为,故
,该式是一个的伯努利方程
两边同除以得到:
,令,
,根据一阶非齐线性方程的求解公式得:
因此:
原方程的解为:
(4)
由观察得到,它的一个特解为,设它的任一个解为,于是
,这是的伯努利方程
(5)
由观察得,它的一个特解为,故设它的任一个解为,于是
,即.
(6)
由观察得到它的一个特解为,设它的任一个解为,于是
从而:
故原方程的解为:
(7)
由观察得到它的一个特解为,故设它的任一个解为,于是
,这是n=2的佰努利方程,
两边同除以得:
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